初中数学人教版八年级上册第十三章 轴对称13.1 轴对称13.1.1 轴对称同步练习题

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1．如图所示，这是我国四所著名大学的校徽图案，如果忽略各个图案中的文字、字母和数字，只关注图形，其中不是轴对称图形的是（ ）
A．北京大学校徽 B．清华大学校徽
C．中山大学校徽 D．中国大学校徽
【答案】D
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据轴对称图形的定义判断即可。
2．点P（a+b，2a﹣b）与点Q（﹣2，﹣3）关于x轴对称，则a+b=（ ）
A．13B．23C．﹣2D．2
【答案】C
【解析】【解答】∵点P（a+b，2a﹣b）与点Q（﹣2，﹣3）关于x轴对称，
∴a+b=﹣2且2a﹣b=3，
∴a= 13 ，b=﹣ 73 ，
∴a+b= 13 ﹣ 73 =﹣2，
故答案为：C.
【分析】根据关于x轴对称的点的坐标变化特征“横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数”可求得a、b的值，再求和即可求解.
3．下列说法正确是（ ）
A．等腰三角形的角平分线、中线和高三线重合
B．等角对等边
C．等腰三角形一定是锐角三角形
D．等腰三角形两个底角相等
【答案】D
【解析】【解答】A、等腰三角形的底边上的角平分线、中线和高三线重合，不符合题意．
B、等角对等边必须在三角形中．不符合题意．
C、等腰三角形可以是等腰直角三角形或钝角三角形，不符合题意．
D、等腰三角形的两个底角相等．符合题意．
故答案为：D
【分析】等腰三角形的性质：等腰三角形的底边上的角平分线、中线和高三线重合，在同一个三角形中等角对等边，等腰三角形的顶角可以是锐角，直角，钝角，故等腰三角形可以是等腰直角三角形或钝角三角形，等腰三角形的两底角相等，根据性质即可一一判断。
4．等腰三角形的一个外角为80°， 则它的底角为( )
A．100°B．80°C．40°D．100或40°
【答案】C
【解析】【解答】解：∵等腰三角形的一个外角为80°
∴等腰三角形的一个内角为180°-80°=100°
∵三角形的内角和为180°
∴100°的内角为等腰三角形的顶角
∴等腰三角形的底角=（180°-100°）÷2=40°。
故答案为：C.
【分析】根据三角形外角的性质求出等腰三角形的一个内角，继而根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理求出底角即可。
5．甲，乙两位同学用尺规作“过直线l外一点C作直线l的垂线”时，第一步两位同学都以C为圆心，适当长度为半径画弧，交直线l于D，E两点（如图）；第二步甲同学作∠DCE的平分线所在的直线，乙同学作DE的中垂线．则下列说法正确的是（ ）
A．只有甲的画法正确B．只有乙的画法正确
C．甲，乙的画法都正确D．甲，乙的画法都错误
【答案】C
【解析】【解答】解：∵CD＝CE，
∴∠DCE的平分线垂直DE，DE的垂直平分线过点C，
∴甲，乙的画法都符合题意．
故答案为：C．
【分析】先求出∠DCE的平分线垂直DE，DE的垂直平分线过点C，再计算求解即可。
6．在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为20cm，则AB边的取值范围是（ ）
A．1cm＜AB＜4cmB．5cm＜AB＜10cm
C．4cm＜AB＜8cmD．4cm＜AB＜10cm
【答案】B
【解析】【解答】解：∵在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为20cm，
∴设AB=AC=x cm，则BC=（20﹣2x）cm，
∴2x>20−2x20−2x>0 ，
解得5cm＜x＜10cm．
故选：B．
【分析】设AB=AC=x，则BC=20﹣2x，根据三角形的三边关系即可得出结论．
7．点（﹣3，2）关于x轴的对称点是（ ）
A．（﹣3，﹣2）B．（3，2）
C．（﹣3，2）D．（3，﹣2）
【答案】A
【解析】【解答】解：点（﹣3，2）关于x轴的对称点的坐标是：（﹣3，﹣2）．
故选A．
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质，进而得出答案．
8．如图, ∠AOB=30°， 点P是内一点，在 ∠AOB 的两边上分别有点 R、Q (均不同于O)，当 ΔPQ R 周长最小时， ∠QPR 的大小是（ ）
A．30°B．60°C．90°D．120°
【答案】D
【解析】【解答】解：分别作P关于OA、OB的对称点M、N，连接MN交OA、OB交于Q、R，连接OM、ON，
此时△PQR的周长为MN的长，根据两点之间线段最短，可知此时△PQR的周长最短.
∴OM＝ON＝OP，∠MOA=∠POA，∠BOP=∠NOP，
∠MON＝∠MOP＋∠NOP＝2∠AOB＝2×30°＝60°，
∴△MON为等边三角形，
∴∠OMN＋∠ONM＝120°，
∴∠OMN＝∠OPQ，∠ONM＝∠OPR，
∴∠OMN＋∠ONM＝∠OPQ＋∠OPR，
∴∠OPQ＋∠OPR＝120°，
∴∠QPR＝120°，
故答案为：D.
【分析】分别作P关于OA、OB的对称点M、N，连接MN交OA、OB交于Q、R，连接OM、ON，此时△PQR的周长为MN的长，根据两点之间线段最短，可知此时△PQR的周长最短；利用轴对称的性质可证得OM＝ON＝OP，∠MOA=∠POA，∠BOP=∠NOP，结合已知条件易证△MON为等边三角形，利用等边三角形的性质可得到∠OMN＋∠ONM＝120°；再证明∠OPQ＋∠OPR＝120°，即可求解。
9．等腰三角形一边长等于5，一边长等于8，它的周长是（ ）
A．18B．21C．18或21D．13
【答案】C
【解析】【解答】解：分两种情况：
∵当腰为5时，5＋5＞8，能构成三角形，
∴此时三角形的周长=5+5+8=18；
当腰为8时，5＋8＞8，所以能构成三角形，周长是：8＋8＋5＝21.
∴三角形的周长为18或21.
故答案为：C.
【分析】分5为腰、5为底，利用等腰三角形的性质以及三角形三边关系判断是否能构成三角形，进而求出周长.
10．如图，在 3×3 的网格中，每一个小正方形的边长都是1，点 A ， B ， C ， D 都在格点上，连接 AC ， BD 相交于 P ，那么 ∠APB 的大小是（ ）
A．80°B．60°C．45°D．30°
【答案】C
【解析】【解答】解：取格点 E，F，M ，连接 MD，MB ，
由已知条件可知： MF=BE，DF=EM，∠DFM=∠MEB=90° ，
∴ΔDFM≅ΔMEB ，
∴MD=MB，∠DMF=∠MBE ，
同理可得： ΔACB≅ΔBME ，
∴∠CAB=∠MBE ，
∴AC//BM ，
∴∠APB=∠PBM ，
∵∠BME+∠MBE=90° ，
∴∠BME+∠DMF=90° ，
∴∠DMB=90° ，
∴ΔDMB 是等腰直角三角形，
∴∠DBM=45° ，
即 ∠APB=45° ，
故答案为： C ．
【分析】取格点 E，F，M ，连接 MD，MB ，先证明 ΔDFM≅ΔMEB ，得出 MD=MB，∠DMF=∠MBE ，再证明 AC//BM 得出 ∠APB=∠PBM ，最后证明 ΔDMB 是等腰直角三角形，得出 ∠DBM=45° ，从而得出 ∠APB=45° 即可．
二、填空题
11．如图，点P为∠BAC内的一点，点E、F分别是点P关于AB、AC的对称点，若EF=2013cm．则△QPK的周长是 ．
【答案】2013cm
【解析】【解答】∵点E、F分别是点P关于AB、AC的对称点，
∴EQ=PQ，PK=FK，
∴△QPK的周长=EQ+QK+KF=EF=2013（cm），
∴△QPK的周长=2013cm．
【分析】根据轴对称的性质，由点E、F分别是点P关于AB、AC的对称点，得出EQ=PQ，PK=FK，根据三角形的周长计算方法及等量代换即可得出答案。
12．在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝5，点P在AD上，连接CP，PB，则PC+PB的最小值为 ．
【答案】13
【解析】【解答】解：如图，作点B关于AD的对称点B'，则BP＝B'P，
∴PC+PB＝PC+PB'， AB=AB′=6 ， BB′=AB+AB′=12
∴当P、C、B'三点共线时，即PC+PB'＝B'C时，PC+PB'最小，
在Rt△BCB'中，由勾股定理得：
B′C=BB′2+BC2=13
∴PC+PB的最小值为13．
故答案为：13．
【分析】如图，作点B关于AD的对称点B'，则BP＝B'P，当P、C、B'三点共线时，即PC+PB'＝B'C时，PC+PB'最小，利用勾股定理求出B'C的长即可。
13．如图，△ABC中，AC=8，BC=6，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则△BCD的周长是
【答案】14
【解析】【解答】 ∵DM 垂直平分AB
∴AD=BD
则△BCD的周长 =BC+BD+DC=BC+AD+DC=BC+AC=6+8=14
故答案为：14.
【分析】由线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离线段解题即可.
14．如图，在3×3的网格中，每个网格线的交点称为格点.已知图中A，B两个格点，请在图中再寻找另一个格点C，使△ABC成为等腰三角形，则满足条件的点C有 个.
【答案】8
【解析】【解答】解：如图，
AB是腰长时，红色的4个点可以作为点C，AB是底边时，黑色的4个点都可以作为点C，
所以，满足条件的点C的个数是4+4＝8.
故答案为8.
【分析】分AB是腰长、AB是底边，结合等腰三角形的性质进行解答.
15．如图的4×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称 为格点三角形，在网格中与△ABC全等的格点三角形一共有 个．
【答案】31
【解析】【解答】解：①直接平移，网格中与△ABC全等的格点三角形有3种情况，如图，
②根据大正方形的的对称性，找到4条对称轴，则每个图形有4种情况与之对应，一共有4×4=16种情况，
③结合①②，即先平移再找4次轴对称，则共有3×4=12种情况
综上所述，一共有3+16+12=31个
故答案为：31.
【分析】 根据全等三角形的判定知：在3×3的网格中，与△ABC全等的格点三角形一共有7个，而网格中共有3×3的网格4个，分三种情况：①直接平移，网格中与△ABC 全等的格点三角形有3种情况；②根据大正方形的的对称性，找到4条对称轴，则每个图形有4种情况与之对应，一共有4×4=16种情况；③结合①②，即先平移再找4次轴对称，则共有3×4=12种情况；将三种情况所得结论相加即可求解.
三、解答题
16．如图，在△ABC中，已知其周长为26㎝.
（1）在△ABC中，用直尺和圆规作边AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D，E（不写作法，但须保留作图痕迹）.
（2）连接EB，若AD为4㎝，求△BCE的周长.
【答案】（1）解：如图所示：D，E即为所求；
（2）解：∵DE垂直平分AB，
∴AD=BD=4cm，AE=BE，
∴△BCE的周长为：EC+BE+BC=AC+BC=26-AB=26-8=18（cm）.
【解析】【分析】（1）分别以A、B为圆心，以大于12AB的长为半径画弧，过两弧交点画直线即得结论；
（2）由线段垂直平分线的性质可得AD=BD=4cm，AE=BE，根据△BCE的周长为EC+BE+BC
=AC+BC=26-AB，据此计算即可.
17．在平面直角坐标系中，若点P（2a+b，3a-b）和点Q（-2,3）关于x轴对称，求a与b的和.
【答案】∵点P（2a+b，3a-b）和点Q（-2,3）关于x轴对称
∴可知点P和点Q的横坐标相等，纵坐标互为相反数
∴可得方程组： 2a+b=−23a−b=−3 ，
解得： a=−1b=0
∴a+b=−1
【解析】【分析】根据关于x轴对称的点，“其横坐标不变，纵坐标互为相反数”，再进行求解即可.
18．如图，在 ΔABC 和 ΔDCB 中， ∠A=∠D=90° ， AC=BD ，AC与BD相交于点O.
（1）求证： ΔABC≅ΔDCB ；
（2）ΔOBC 是何种三角形？
【答案】（1）证明：∵∠A＝∠D＝90°，
∴在Rt△ABC和Rt△DCB中， AC=BDBC=CB ，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）
（2）解：△OBC是等腰三角形，
理由：∵Rt△ABC≌Rt△DCB，
∴∠ACB＝∠DBC，
∴OB＝OC，
∴△OBC是等腰三角形.
【解析】【分析】（1）利用“HL”证明两个三角形全等；
（2）根据全等三角形的性质可得∠ACB＝∠DBC， 再利用“等角对等边”即可判断出△OBC的形状.
19．△ABC和△ECD都是等边三角形
（1）如图1，若B、C、D三点在一条直线上，求证：BE=AD；
（2）保持△ABC不动，将△ECD绕点C顺时针旋转，使∠ACE=90°（如图2），BC与DE有怎样的位置关系？说明理由．
【答案】（1）解：∵△ABC和△ECD都是等边三角形，∴AC=BC，EC=DC，∠ACB=∠ECD=60°. ∴∠ACB+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠ACD=∠BCE. ∴△ACD≌△BCE. ∴AD=BE.
（2）解：BC垂直平分DE，理由如下： 如图，延长BC交DE于M， ∵∠ACB=60°，∠ACE=90°，∴∠ECM=180°-∠ACB-∠ACE=30°. ∵∠DCM=∠ECD-∠ECM=30°，∴∠ECM=∠DCM. ∵△ECD是等边三角形，∴CM垂直平分DE，即BC垂直平分DE．
【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质易证∠BCE=∠ACD，然后用边角边可证 △ACD≌△BCE ，根据全等三角形的性质即可求得AD=BE；
（2） 延长BC交DE于M， 由等边三角形的性质和平角的性质可求得 ∠DCM=∠ECD-∠ECM=30°， 再根据等边三角形的三线合一即可求得CM是DE的垂直平分线。
20．如图，△ABD、△AEC都是等边三角形，直线CD与直线BE交于点F．
（1）求证：CD=BE；
（2）求∠CFE的度数．
【答案】（1）证明：∵△ABD、△AEC都是等边三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠DBA=∠ADB=60°，∠CAE=60°，
∵∠DAB=∠DAC+∠CAB，∠CAE=∠BAE+∠CAB，
∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，
AD=AB∠DAC=∠BAEAC=AE
∴△DAC≌△BAE，
∴CD=BE
（2）解：∵△DAC≌△BAE，
∴∠ADC=∠ABE，
∴∠CFE=∠BDF+∠DBF=∠BDF+∠DBA+∠ABF=∠BDF+∠DBA+∠ADC=∠BDA+∠DBA=60°+60°=120°
【解析】【分析】（1）利用△ABD、△AEC都是等边三角形，证明△DAC≌△BAE，即可得到CD=BE；（2）由△DAC≌△BAE，得到∠ADC=∠ABE，再由∠CFE=∠BDF+∠DBF=∠BDF+∠DBA+∠ABF，即可解答．
21．如图， △ABC 和 △ADE 是共顶点A的两个全等的等边三角形．
（1）该图形显然是轴对称图形．请你仅用无刻度的直尺画出该图形的对称轴l（不必写出作法，但要保留作图痕迹，标注对称轴l）
（2）在备用图1中，连接BD，CE，求证： BD=CE ；
（3）在备用图2中，连接BE，CD，求证： BE//CD ．
【答案】（1）解：先连接BD、CE，相交于点O，再过点A、O作直线，如图所示：
则直线 l 即为所作；
（2）证明：如图，
∵△ABC 和 △ADE 是两个全等的等边三角形，
∴AB=AE=AC=AD,∠BAC=∠EAD=60° ，
∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD ，即 ∠BAD=∠EAC ，
在 △ABD 和 △AEC 中， AB=AE∠BAD=∠EACAD=AC ，
∴△ABD≅△AEC(SAS) ，
∴BD=CE ；
（3）证明：如图，
∵△ABC 和 △ADE 是两个全等的等边三角形，
∴AB=AE=AC=AD,∠ABC=∠ACB=∠BAC=∠EAD=60° ，
∴∠1=∠2,∠3=∠4,∠CAD+∠BAE=360°−∠BAC−∠EAD=240° ，
∴∠1=12(180°−∠CAD)=90°−12∠CAD∠3=12(180°−∠BAE)=90°−12∠BAE ，
∴∠1+∠3=90°−12∠CAD+90°−12∠BAE ，
=180°−12(∠CAD+∠BAE) ，
=180°−12×240° ，
=60° ，
∴∠1+∠3+∠ABC+∠ACB=60°+60°+60°=180° ，
即 (∠1+∠ACB)+(∠3+∠ABC)=180° ，
∴∠BCD+∠EBC=180° ，
∴BE//CD ．
【解析】【分析】（1） 先连接BD、CE，相交于点O，再过点A、O作直线即可求解；（2）先根据等边三角形的性质、全等三角形的性质得到AB=AE=AC=AD,∠BAC=∠EAD=60°，再根据角的和差可得∠BAD=∠EAC，再利用“SAS”证明全等即可；（3）先根据等边三角形的性质、全等三角形的性质得到AB=AE=AC=AD,∠ABC=∠ACB=∠BAC=∠EAD=60°，然后根据三角形的内角和及角的和差求出∠1+∠3=60°，从而可得∠BCD+∠EBC=180°，即可判断BE//CD。