四川省容城名校联盟2024届高三数学上学期第一次联考文科试题

这是一份四川省容城名校联盟2024届高三数学上学期第一次联考文科试题，共13页。试卷主要包含了54，10等内容，欢迎下载使用。

考试时间120分钟，满分150分
注意事项：
1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号和考籍号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”。
2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。
3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则
A．B．C．D．
2．已知幂函数的图象过点，则
A．B．C．D．
3．已知为虚数单位，，则的模为
A．B．C．D．
4．在中，“”是“为锐角三角形”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．在等比数列中，，是方程两根，若，则的值为
A．B．C．D．
6．已知，，，，若存在非零实数使得，则的最小值为
A．B．C．D．
7．已知函数，则函数的图象可能是
ABCD
8．已知平行四边形，若点是边的三等分点（靠近点处），点是边的中点，直线与相交于点，则
A．B．C．D．
9．已知，若，则
A．B．C．D．
10．已知函数，若时，恒成立，则实数的取值范围为
A．B．C．D．
11．若，，，则，，的大小关系为
A．B．C．D．
12．已知函数若有个实数解，则实数的取值范围为
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．函数则_______．
14．已知数列的前项和为，且，则_______．
15．设是定义在上的偶函数，且当时，，则不等式的解集为_______．
16．已知函数，当时，恒成立，则实数的最大值为_______．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
某地区运动会上，有甲、乙两位田径运动员进入了男子100m决赛，某同学决定运用高中所学的知识对该次决赛的情况进行预测，为此，他收集了这两位运动员近几年的大赛100m成绩（单位：秒），若比赛成绩小于10秒则称为“破十”．
甲：10.54，10.49，10.31，10.37，9.97，10.25，10.11，10.04，9.97，10.03；
乙：10.32，10.06，9.99，9.83，9.91；
（1）求甲成绩的中位数与平均数（平均数的结果保留3位小数）；
（2）从乙的5次成绩中任选3次，求恰有2次成绩“破十”的概率；
18．（12分）
已知的内角，，所对的边分别为，，，且．
（1）求角；
（2）若边上的中线长为2，求面积的最大值．
19．（12分）
如图，在直三棱柱中，底面是以为底边的等腰直角三角形，，．
（1）求证：平面平面；
（2）求点到平面的距离．
20．（12分）
已知椭圆的左、右焦点分别为，，短半轴长为，点在椭圆上运动，且的面积最大值为．
（1）求椭圆的方程；
（2）当点为椭圆的上顶点时，设过点的直线交椭圆于，两点，直线，的斜率分别为，，求证：为定值．
21．（12分）
已知函数，．
（1）当时，求在处的切线方程；
（2）当时，设函数，求证：有解．
（二）选考题：共10分。请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）．
（1）求直线和曲线的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线相交弦的中点坐标为，求直线的极坐标方程．
23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）
已知定义域为的函数.
若，求函数的最小值；
2024届高三第一次联考
文科数学参考答案及评分标准
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．14．15．16．
三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）
解：（1）甲的成绩从低到高依次为10.54，10.49，10.37，10.31，10.25，10.11，10.04，10.03，9.97，9.97，
所以这10次成绩的中位数为，………………3分
平均数为；
………………6分
（2）设10.32，10.06，9.99，9.83，9.91依次为，，，，，
从乙的5次成绩中任选3次的基本事件有，，，，，，
，，，共10种，………………9分
恰有两次成绩“破十”的基本事件是，，，，，
共6种，………………11分
设恰有两次成绩“破十”的概率为，则．………………12分
18．（12分）
解：（1）由得：，………………2分
由余弦定理，………………4分
又，………………5分
所以；………………6分
，
………………8分
化简得：，解得：，………………10分
，
所以面积的最大值为．………………12分
19．（12分）
解：（1）在中，，又平面，故，………………3分
又，
所以平面，平面，
故平面平面，………………6分
（2），………………8分
，………………10分
由等体积法：，
得：，
解得：．………………12分
20．（12分）
解：（1），的面积最大值为，且，
，，，………………2分
椭圆的方程为：；………………4分
（2）①当直线斜率不存在时，，，，
，………………6分
②当直线斜率存在时，设直线方程为，，，，
由联立解得：………………8分
，由韦达定理知：，，
，，………………9分
，………………11分
综上所述，为定值．………………12分
21．（12分）
解：（1），
，………………1分
，
，………………2分
，
在处的切线方程为：，即；………………4分
（2）当时，，………………5分
，………………6分
令，
函数单调递增，
故存在唯一，使得，即，………………8分
当时，，单调递减，………………9分
当时，，单调递增，………………10分
故，………………11分
故有解．………………12分
22．（10分）
解：（1）直线l的参数方程为，（为参数），
转换为直角坐标方程为，………………2分
曲线C的参数方程为，（为参数），
转换为直角坐标方程为；………………5分
（2）方法一（几何意义）：
将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，整理得关于t的方程
，………………7分
因为曲线截直线所得线段的中点在内，
所以方程有两个解，设为，，
则，故，
所以直线的斜率，………………8分
所以直线l的直角坐标方程，
所以直线l的极坐标方程．………………10分
方法二（点差法）：
设直线与曲线的两个交点分别为，，
代入椭圆方程得，两式作差，………………8分
所以直线的直角坐标方程，
所以直线的极坐标方程．………………10分
23．（10分）
解：（1）方法一（几何意义）：
当时，，
即数轴上任意一点到1和3的距离之和，
当时，；………………5分
方法二（去绝对值）
，结合函数图象知；………………5分
（2）依题意知，恒成立，
，………………6分
由绝对值三角不等式得：，
即，………………8分
，即或，
解得或，
又，
所以，
所以的最小值为．………………10分
解析：
1．解：集合A：由，解得：或，故，集合B：函数的定义域为：，则，故选C．
2．解：，则，故选C．
3．解：由得，，所以，，，故选A．
4．解：在中，，则，不能说明就是锐角三角形；但是锐角三角形时，可得．所以“”是“为锐角三角形”的必要不充分条件，故选B．
5．解：由韦达定理：，由等比数列的等积性知，，所以，，故选B．
6．解：易知，则，，，，
，
当且仅当，即时取等号，故选B．
7．解：为偶函数，为奇函数，故为奇函数，排除B，D；又时，，故选A．
8．解：易知：，，设，由M，H，N三点共线可得：，，故选C．
9．解：由得：，故，
所以，故选D．
10．解：时，，，解得：，故选A．
11．解：依题意，，，，，所以，，的大小关系为，故选D．
12．解：，根据相关图象，要使有3个实数解，只需：，即，故选B．
13．解：，．
14．解：由可知，数列为等差数列，，又．
15．解：易知，，当是单调递增函数，由即，解得．
16．解：由可得，，
令
，
令
，
令，
，
所以在上单调递减，所以，
，所以在上单调递减，
所以，
，
在上单调递减，
，
所以实数m的最大值为．
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
C
C
A
B
B
B
A
C
D
A
D
B