福建省莆田市城厢区莆田文献中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1. 下列图形中，和是同位角的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了同位角的定义；
两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，由此即可判断．
【详解】解：和是同位角的是D选项，
故选：D．
2. 在平面直角坐标系中，点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了第三象限点坐标的特征．熟练掌握第三象限点坐标为是解题的关键．
根据第三象限点坐标为，进行判断作答即可．
【详解】解：由题意知，位于第三象限，
故选：C．
3. 下列实数：1，、、、、、（每相邻两个3之间2的个数依次增加一个），其中无理数有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了无理数，根据无理数的定义即可求解，熟记：“无限不循环小数叫做无理数”是解题的关键．
【详解】解：其中是无理数的是、、（每相邻两个3之间2的个数依次增加一个），
故选C．
4. 下列说法错误的是（ ）
A. 的平方根是B. C. 4的算术平方根是2D. 9的立方根是3
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平方根、立方根以及算术平方根，根据平方根、立方根以及算术平方根的定义逐一判断即可．
【详解】解：A、 的平方根是，说法正确，不符合题意；
B、 ，说法正确，不符合题意；
C、4的算术平方根是2，说法正确，不符合题意；
D、 9的立方根是，原说法错误，符合题意；
故选D．
5. 下列命题是假命题的有（ ）个．
①直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离；
②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④有理数与数轴上点一一对应；
⑤圆周率是一个无理数．
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】由点到直线的距离的含义可判断①，根据作已知直线的垂线可判断②，由平行公理可判断③，由实数与数轴可判断④，由无理数的含义可判断⑤，从而可得答案．
【详解】解：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离；故①是假命题；
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；故②是假命题；
过直线外一点有且只有一条直线与已知点线平行；故③是真命题；
实数与数轴上的点一一对应；故④是假命题；
圆周率是一个无理数；故⑤是真命题；
综上，有3个命题是假命题，
故选：C．
【点睛】本题考查的是基本概念，点到直线的距离，平行公理，作已知直线的垂线，实数与数轴，无理数的概念，掌握以上基本概念是解本题的关键．
6. 如图，将沿着某一方向平移一定的距离得到，则下列的结论：中，正确的有（ ）
A ①②③④B. ①②③C. ①②④D. ①②
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平移的性质，平行线的性质．根据平移的性质，平行线的性质进行判断即可．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
【详解】解：由平移的性质可得，，，，
∴，
∴①②③④正确，
故选A．
7. 若，且m为整数，则m的值是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】估算无理数的大小即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
8. 如图，某人从A地出发，沿正东方向前进至B处后右转，再直行至C处．此时他想仍按正东方向行走，则他应（ ）
A. 先左转，再直行B. 先左转，再直行
C. 先右转，再直行D. 先右转，再直行
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，关键是掌握平行线的性质：两直线平行同位角相等．
由两直线平行，同位角相等，即可求解．
【详解】解：由题意知：，，
，
他应该先左转，再直行．
故选：A．
9. 在平面直角坐标系中，若，且直线轴，则m的值是（ ）
A. B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形，根据直线轴得，进而可求解，掌握平行于y轴的直线上的点的特征是正确解决本题的关键．
【详解】解：因为直线轴，，
所以，
解得：，
故选B．
10. 如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，按这样的运动规律，经过第2024次运动后，动点P的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查点的规律探究，根据图象可知，的横坐标为，纵坐标以四个数为一组，进行循环，进行求解即可．
【详解】解：由图可知：的横坐标为，纵坐标以四个数为一组，进行循环，
∵，
∴经过第2024次运动后，动点P的坐标是，
故答案为：C．
二．填空题（每小题4分，共16分）
11. 计算的结果是________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据算术平方根的定义：一个非负数的平方等于，则叫做的算术平方根，求解即可．
【详解】解：．
故答案为：2
12 如图，直线被直线所截，若，当_________时， ．
【答案】100
【解析】
【分析】本题考查平行线的判定，根据对顶角相等，同旁内角互补，两直线平行，进行求解即可．
【详解】解：如图：
当时，，
∵，
∴；
故答案为：100．
13. 设一个正数的两个平方根是和，则这个正数为 _____．
【答案】9
【解析】
【分析】本题考查平方根，根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，可得：，据此求出a的值，进而求出这个正数即可．
【详解】解：∵一个正数的两个平方根是和，
∴，
解得：，
∴这个数为，
故答案为：9．
14. 在平面直角坐标系中，点P在第一象限内，且P点到x轴的距离是3，到y轴的距离是2，则点P的坐标为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查象限内点的符号特征，点到坐标轴的距离，根据第一象限内点的横纵坐标均为正，点到坐标轴的距离为横纵坐标的绝对值，进行求解即可．
【详解】解：∵点P在第一象限内，且P点到x轴的距离是3，到y轴的距离是2，
∴，
∴点P的坐标为；
故答案为：．
15. 如图，在三角形中，，那么点A到的距离为________
【答案】##6厘米
【解析】
【分析】本题主要考查了点到直线的距离，点到直线的距离即为该点到该直线垂线段的长度，据此求解即可．
【详解】解：∵，，
∴点A到的距离为，
故答案为：．
16. 已知点A、B、C在数轴上表示的数a、b、c的位置如图所示：化简：
_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查实数与数轴，化简绝对值，开方运算，先根据点在数轴上的位置，判断数和式子的符号，进而化简运算即可．
【详解】解：由图可知：，且，
∴，
∴原式；
故答案为：．
三．解答题（共9小题，共86分）
17. 计算：
（1）；
（2）
【答案】（1）0 （2）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算、立方根、实数的混合运算：
（1）根据二次根式的混合运算、立方根、绝对值、有理数的乘方运算法则即可求解；
（2）二次根式的混合运算及绝对值的运算法则即可求解；
熟练掌握其运算法则是解题的关键．
【小问1详解】
解：原式
．
【小问2详解】
原式
．
18. 解方程
（1）；
（2）
【答案】（1），；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查了解方程，平方根和立方根的应用，能够根据方程特点灵活选用不同的解法是解题的关键．
（1）直接用开平方法求解即可；
（2）开立方后可得一个一元一次方程，求解即可．
【小问1详解】
解： ，
∴，
∴，
解得：，．
【小问2详解】
解：，
∴，
∴．
19. 已知，c是8的立方根，求的平方根
【答案】
【解析】
【分析】本题考查求一个数平方根，根据立方根，算术平方根和平方根的定义和性质，求出的值，进而求出的平方根即可．
【详解】解：由题意可得
∴，
∴，
∴，
∵c是8的立方根
∴
∴
∴的平方根是．
20. 如图，已知与相交于点平分
（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查与角平分线有关的计算，找准角度之间的等量关系，是解题的关键．
（1）先求出的度数，再根据角平分线平分角，求出的度数即可；
（2）设，得到，根据，列出方程进行求解即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∵平分，
∴；
【小问2详解】
∵，
∴设，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
21. 如图，在四边形中，平分交线段于点E，
（1）证明：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的定义，以及平行线的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先由平分，得出，结合，得出，即可作答．
（2）由，得出，结合，即可作答．
【小问1详解】
解：证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：由（1）得，
∴，
∴．
22. 已知：，，．

（1）在坐标系中描出各点，画出；
（2）求的面积；
（3）设点P在x轴上，且与的面积相等，求点P的坐标；
【答案】（1）见解析 （2）
（3）或
【解析】
【分析】本题主要考查了图形与坐标，网格图与三角形的面积：
（1）在平面直角坐标系中描出，，，再收尾连接即可求解；
（2）利用分割法即可求解；
（3）根据，可得，进而可求解；
利用分割法求三角形面积是解题的关键．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求．
【小问2详解】
．
【小问3详解】
由题意得，
在x轴上，，
，
，
，
或．
23. 一块长方形空地面积为2800平方米，其长宽之比为．
（1）求这块长方形空地的周长；
（2）如图，在空地内修建“T字型”走道（横向走道宽度不变）后将空地分割成两个花坛（花坛1为正方形，花坛2为长方形，其长宽之比为），花坛的总面积为2166平方米，宽度为米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行？
【答案】（1）220m
（2）不能
【解析】
【分析】本题考查算术平方根的实际应用：
（1）设长为，宽为，根据长方形空地面积为2800平方米，列出方程，求出长和宽，再利用周长公式进行计算即可；
（2）设花坛2的宽为，则花坛1的边长和花坛2的长均为，根据花坛的总面积为2166平方米，列出方程，求出的值，进行判断即可．
【小问1详解】
解：∵长方形的长和宽之比为，
∴设长为，宽为，
由题意，得：，
∴，
∴或（舍去）；
∴长为m，宽为m
∴长方形的周长为；
【小问2详解】
设花坛2的宽为，则花坛1的边长和花坛2的长均为，
由题意，得：，
∴，
∴或（舍去）；
∴花坛1边长为38m，花坛2长为38m，宽为19m
∵
∴不能正常通行．
24. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”．
（1）点的“长距”为 ；
（2）若点是“完美点”，求a的值；
（3）若点是“完美点”，求点的长距．
【答案】（1）5 （2）或
（3）5或19
【解析】
【分析】本题考查点到坐标轴的距离：
（1）根据长距的定义，进行判断即可；
（2）根据完美点的定义，列出方程进行求解即可；
（3）根据完美点的定义，求出的值，进而求出点坐标，进而求出点的长距即可．
【小问1详解】
解：∵，，
∴点的“长距”为5；
故答案：5；
【小问2详解】
由题意，得：，
∴或；
∴或；
【小问3详解】
由题意，得：，
∴或，
∴或，
当时，，
∵，
∴长距为5；
当时，，
∵，
∴长距为19；
综上：点长距为5或19．
25. 【问题情境】已知，，平分交于点．
【问题探究】
（）如图，，，，试判断与的位置关系，并说明理由；
【问题解决】
（）如图，，若，时，求的度数；
【问题拓展】
（）如图，若，试说明．
【答案】（），理由见解析；（）；（）证明见解析．
【解析】
【分析】（）根据平行线的判定得，再根据平行线的性质、角平分线定义及角的和差计算可得角相等，最后根据内错角相等判定两条直线平行；
（）根据平行线的判定和性质得的度数，再运用角平分线定义求得的度数，进一步求得的度数，再根据平行线的判定得，由平行线的性质可得，代入计算即可求解；
（）同理（）即可求证；
本题考查了平行线的性质与判定，平行公理的推论，掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
【详解】（）解：，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（）证明：∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．