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四川省阆中中学校2023-2024学年高一下学期4月期中学习质量检测数学试题（原卷版+解析版）
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这是一份四川省阆中中学校2023-2024学年高一下学期4月期中学习质量检测数学试题（原卷版+解析版），文件包含四川省阆中中学校2023-2024学年高一下学期4月期中学习质量检测数学试题原卷版docx、四川省阆中中学校2023-2024学年高一下学期4月期中学习质量检测数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共20页， 欢迎下载使用。
（满分：150分 时间：120分钟 命题教师：蒲 燕 审题教师：薛成林）
一､ 单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知，，则（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量数量积的坐标表示并结合三角函数的和差角公式即可求解.
【详解】因为，，
所以.
故选：C.
2. 设表示“向东走10km”，表示“向南走5km”，则所表示的意义为（ ）
A. 向东南走B. 向西南走
C. 向东南走D. 向西南走
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量加法的可交换性与意义即可得解.
【详解】因为表示“向东走10km”，表示“向南走5km”，
所以所表示的意义为“向东走10km”，再“向南走10km”，
等价于向东南走.
故选：A.
3. 如图，在中，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量的线性运算求得正确答案.
【详解】
.
故选：A
4. 在中，若，且，则的面积为（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题中条件结合余弦定理先求得，进而利用面积公式求解.
【详解】由，
故，
故选：D
5. 已知平面向量，，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量在向量上的投影向量的定义求解即可.
【详解】设与的夹角为，
则在上的投影向量为.
故选：B.
6. 若是方程的两个根，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据韦达定理可得，结合两角和与差的正、余弦公式以及切弦互化计算即可求解.
【详解】因为是方程的两个实根，
所以，
则.
故选：B
7. 的内角的对边分别为．已知 ，，则为（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用三角恒等变换可得，进而可求得，由余弦定理得，可求的值.
【详解】由，可得，
所以，因为，所以，
所以，因为，所以，
在中，由余弦定理得，
所以，所以，解得.
故选：C.
8. 阆中熊猫乐园承载着许多人的回忆，将乐园的摩天轮图（1）所示抽象成图（2）所示的平面图形．已知摩天轮的半径为40米，其中心点距地面45米，摩天轮按逆时针方向匀速转动，每24分钟转一圈．摩天轮上一点距离地面的高度为（单位：米），若从摩天轮的最低点处开始转动，则与转动时间（单位：分钟）之间的关系为．则摩天轮转动8分钟后，求点距离地面的高度（ ）
A. 50米B. 60米C. 65米D. 75米
【答案】C
【解析】
【分析】由图易得振幅，平衡轴，周期，再由题意知函数经过点，代入解得初相，从而可得函数，即可得当分钟时，点距离地面的高度米.
【详解】由题意知：摩天轮上一点距离地面的高度为（单位：米）与转动时间（单位：分钟）之间的关系为．
所以由图可知，，，于是，
由于点是从摩天轮的最低点处开始按逆时针开始转动，则当时，，
代入点得，，又，解得，
又由函数的周期，解得，则，
当（分钟）时，（米）.
故选：C
二､ 多项选择题．（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列各式中值为的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用二倍角正弦公式即可判断选项A；利用二倍角余弦公式即可判断选项B；利用辅助角公式可判断选项C；利用两角差的正切公式可判断选项D.
【详解】对于A：，故A正确；
对于B：，故B不正确；
对于C：；故C正确；
对于D：，故D正确.
故选：ACD.
10. 下列说法中正确的是（ ）
A. 在中，若，则是等腰或直角三角形
B. 已知向量，若与夹角为锐角，则
C.
D. 若平面向量两两的夹角相等，且，则
【答案】AC
【解析】
【分析】对于A，由正弦定理得，得或，即可判断；对于B，举特例时，夹角不是锐角，即可判断；对于C，利用三角恒等变换化简求值即可判断；对于D，由平面向量两两的夹角相等，则夹角为或，分两种情况求出即可判断.
【详解】对于，由正弦定理得，得，
因为中，所以得或，即或，
所以是等腰或直角三角形，故A正确；
当，即时与共线，夹角不为锐角，故B错误；
因为
，故C正确；
由向量两两的夹角相等，得或，
当时，，
当时，
，故D错误；
故选：AC.
11. 中，内角，， 的对边分别为，，，为的面积，且，，下列选项正确的是（ ）
A.
B. 若，则只有一解
C. 若为锐角三角形，则取值范围是
D. 若为锐角三角形，则的面积的取值范围
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用平面向量数量积公式及三角形面积公式可判定A，直接解三角形可判定B，利用角的范围结合正弦定理可判定C，利用正弦定理将边化角，再由面积公式、三角恒等变换公式及正弦函数的性质求出的范围，即可判断D.
【详解】对于A，因为，所以，则，
因为，所以，故A正确；
对于B，因为，则，，故只有一解，故B正确；
对于C，若锐角三角形，则，，
则，则，即，
由正弦定理可知，故C错误；
对于D，由正弦定理可知，
所以，，
所以
，
因为，所以，即，
所以，故D正确.
故选：ABD.
第Ⅱ卷（非选择题 92分）
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，答案填在答题卡对应题号后的横线上）
12. 已知，则______．
【答案】
【解析】
【分析】利用二倍角的余弦公式直接求值.
【详解】由二倍角余弦公式，得：.
故答案为：
13. 万丈悬梯高可攀，白塔座落嘉陵边．白塔作为阆中市的标志性建筑之一．当你登临顶层，会欣赏到阆中AAAAA风景的全貌．感觉人仿佛在凌空飞翔．现有一数学兴趣小组，如图，测量河对岸的白塔高，可以选取与塔底 在同一水平面内的两个测量基点与．现测得米，在点C测得塔顶的仰角为，则测得的塔高为_______米．
【答案】30
【解析】
【分析】求得可求得，进而由余弦定理可得，由，可求塔高.
【详解】在中，由得
所以米，
在中，由余弦定理可得
，所以，
在，可得，
所以米.
故答案为：30.
14. 已知向量满足，与的夹角为，则当实数变化时，的最小 值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】设向量，求得，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】设向量，因为且与的夹角为，
则
，所以当时，的最小值为.
故答案为：.
四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知，．
（1）求；
（2）若，且，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用同角三角函数平方关系及两角差的余弦公式即可求解；
（2）根据（1）的结论及同角三角函数的平方关系，结合两角和的正弦公式及三角函数的特殊值对应特殊角注意角的范围即可求解.
【小问1详解】
由，得．
，
．
【小问2详解】
由，得，
由，得，
．
又
16. 已知向量，，．
（1）若与向量垂直，求实数的值；
（2）若向量，且与向量平行，求实数的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量垂直列方程，化简求得的值.
（2）根据向量平行列方程，化简求得的值.
【小问1详解】
向量，，．
，，
与向量垂直，
，
解得．
【小问2详解】
向量，，
与向量平行，
，
解得．
17. 已知函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）若时，恒成立，求实数的取值范围；
（3）将函数的图像的横坐标缩小为原来的，再将其横坐标向右平移个单位，得到函数的图像．若，函数有且仅有5个零点，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）化简得到， 结合最小正周期的求法，即可求解；
（2）由时，结合三角函数的性质，求得取得最小值，根据题意，即可求得实数的取值范围；
（3）由，得到，结合三角函数的性质，即可求解.
【小问1详解】
解：因为，
所以的最小正周期.
【小问2详解】
解：当时，可得，
当，即时，取得最小值，
因为时，恒成立，所以，
即实数的取值范围为.
【小问3详解】
解：由题意，函数，
因为，所以，
又因为函数有且仅有5个零点，则满足，解得，
所以实数的取值范围．
18. 如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标． 设，
（1）求的模长；
（2）设，若，求实数的值；
（3）若，，有同学认为“”的充要条件是“”，你认为是否正确？若正确，请给出证明，若不正确，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）充要条件为
【解析】
【分析】（1）利用向量的线性运算两边平方可求；
（2）设，可得，可求实数的值；
（3）由，可得，运算可知不正确.
【小问1详解】
因，
所以两边平方得，
故；
【小问2详解】
因，由共线定理，存在唯一的实数，有
则，故，
所以；
【小问3详解】
不正确
证明：因为，所以，即，
则有，
所以“”的充要条件是“”,
所以“”的充要条件是“”是不正确的.
19. 已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且．
（1）求；
（2）若的面积为；
①已知E为BC的中点，求底边BC上中线AE长的最小值；
②求内角A的角平分线AD长的最大值．
【答案】（1）
（2）长的最小值为，的最大值
【解析】
【分析】（1）由正弦定理和余弦定理得到，进而求出；
（2）由面积公式求出，进而根据向量的模长公式结合不等式即可求解的最值，根据三角形面积公式，结合等面积法，利用基本不等式可求解的最值.
【小问1详解】
由正弦定理，得，即，
故，
因为，所以，
所以；
【小问2详解】
①由（1）知，
因为的面积为，所以，解得，
由于，所以
，
当且仅当时，等号取得到，所以；
②因为为角的角平分线，所以，
由于，
所以，
由于,所以，
由于，
又，所以
由于，当且仅当时，等号取得到，
故，故，
（满分：150分 时间：120分钟 命题教师：蒲 燕 审题教师：薛成林）
一､ 单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知，，则（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量数量积的坐标表示并结合三角函数的和差角公式即可求解.
【详解】因为，，
所以.
故选：C.
2. 设表示“向东走10km”，表示“向南走5km”，则所表示的意义为（ ）
A. 向东南走B. 向西南走
C. 向东南走D. 向西南走
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量加法的可交换性与意义即可得解.
【详解】因为表示“向东走10km”，表示“向南走5km”，
所以所表示的意义为“向东走10km”，再“向南走10km”，
等价于向东南走.
故选：A.
3. 如图，在中，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量的线性运算求得正确答案.
【详解】
.
故选：A
4. 在中，若，且，则的面积为（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题中条件结合余弦定理先求得，进而利用面积公式求解.
【详解】由，
故，
故选：D
5. 已知平面向量，，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量在向量上的投影向量的定义求解即可.
【详解】设与的夹角为，
则在上的投影向量为.
故选：B.
6. 若是方程的两个根，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据韦达定理可得，结合两角和与差的正、余弦公式以及切弦互化计算即可求解.
【详解】因为是方程的两个实根，
所以，
则.
故选：B
7. 的内角的对边分别为．已知 ，，则为（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用三角恒等变换可得，进而可求得，由余弦定理得，可求的值.
【详解】由，可得，
所以，因为，所以，
所以，因为，所以，
在中，由余弦定理得，
所以，所以，解得.
故选：C.
8. 阆中熊猫乐园承载着许多人的回忆，将乐园的摩天轮图（1）所示抽象成图（2）所示的平面图形．已知摩天轮的半径为40米，其中心点距地面45米，摩天轮按逆时针方向匀速转动，每24分钟转一圈．摩天轮上一点距离地面的高度为（单位：米），若从摩天轮的最低点处开始转动，则与转动时间（单位：分钟）之间的关系为．则摩天轮转动8分钟后，求点距离地面的高度（ ）
A. 50米B. 60米C. 65米D. 75米
【答案】C
【解析】
【分析】由图易得振幅，平衡轴，周期，再由题意知函数经过点，代入解得初相，从而可得函数，即可得当分钟时，点距离地面的高度米.
【详解】由题意知：摩天轮上一点距离地面的高度为（单位：米）与转动时间（单位：分钟）之间的关系为．
所以由图可知，，，于是，
由于点是从摩天轮的最低点处开始按逆时针开始转动，则当时，，
代入点得，，又，解得，
又由函数的周期，解得，则，
当（分钟）时，（米）.
故选：C
二､ 多项选择题．（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列各式中值为的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用二倍角正弦公式即可判断选项A；利用二倍角余弦公式即可判断选项B；利用辅助角公式可判断选项C；利用两角差的正切公式可判断选项D.
【详解】对于A：，故A正确；
对于B：，故B不正确；
对于C：；故C正确；
对于D：，故D正确.
故选：ACD.
10. 下列说法中正确的是（ ）
A. 在中，若，则是等腰或直角三角形
B. 已知向量，若与夹角为锐角，则
C.
D. 若平面向量两两的夹角相等，且，则
【答案】AC
【解析】
【分析】对于A，由正弦定理得，得或，即可判断；对于B，举特例时，夹角不是锐角，即可判断；对于C，利用三角恒等变换化简求值即可判断；对于D，由平面向量两两的夹角相等，则夹角为或，分两种情况求出即可判断.
【详解】对于，由正弦定理得，得，
因为中，所以得或，即或，
所以是等腰或直角三角形，故A正确；
当，即时与共线，夹角不为锐角，故B错误；
因为
，故C正确；
由向量两两的夹角相等，得或，
当时，，
当时，
，故D错误；
故选：AC.
11. 中，内角，， 的对边分别为，，，为的面积，且，，下列选项正确的是（ ）
A.
B. 若，则只有一解
C. 若为锐角三角形，则取值范围是
D. 若为锐角三角形，则的面积的取值范围
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用平面向量数量积公式及三角形面积公式可判定A，直接解三角形可判定B，利用角的范围结合正弦定理可判定C，利用正弦定理将边化角，再由面积公式、三角恒等变换公式及正弦函数的性质求出的范围，即可判断D.
【详解】对于A，因为，所以，则，
因为，所以，故A正确；
对于B，因为，则，，故只有一解，故B正确；
对于C，若锐角三角形，则，，
则，则，即，
由正弦定理可知，故C错误；
对于D，由正弦定理可知，
所以，，
所以
，
因为，所以，即，
所以，故D正确.
故选：ABD.
第Ⅱ卷（非选择题 92分）
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，答案填在答题卡对应题号后的横线上）
12. 已知，则______．
【答案】
【解析】
【分析】利用二倍角的余弦公式直接求值.
【详解】由二倍角余弦公式，得：.
故答案为：
13. 万丈悬梯高可攀，白塔座落嘉陵边．白塔作为阆中市的标志性建筑之一．当你登临顶层，会欣赏到阆中AAAAA风景的全貌．感觉人仿佛在凌空飞翔．现有一数学兴趣小组，如图，测量河对岸的白塔高，可以选取与塔底 在同一水平面内的两个测量基点与．现测得米，在点C测得塔顶的仰角为，则测得的塔高为_______米．
【答案】30
【解析】
【分析】求得可求得，进而由余弦定理可得，由，可求塔高.
【详解】在中，由得
所以米，
在中，由余弦定理可得
，所以，
在，可得，
所以米.
故答案为：30.
14. 已知向量满足，与的夹角为，则当实数变化时，的最小 值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】设向量，求得，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】设向量，因为且与的夹角为，
则
，所以当时，的最小值为.
故答案为：.
四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知，．
（1）求；
（2）若，且，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用同角三角函数平方关系及两角差的余弦公式即可求解；
（2）根据（1）的结论及同角三角函数的平方关系，结合两角和的正弦公式及三角函数的特殊值对应特殊角注意角的范围即可求解.
【小问1详解】
由，得．
，
．
【小问2详解】
由，得，
由，得，
．
又
16. 已知向量，，．
（1）若与向量垂直，求实数的值；
（2）若向量，且与向量平行，求实数的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量垂直列方程，化简求得的值.
（2）根据向量平行列方程，化简求得的值.
【小问1详解】
向量，，．
，，
与向量垂直，
，
解得．
【小问2详解】
向量，，
与向量平行，
，
解得．
17. 已知函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）若时，恒成立，求实数的取值范围；
（3）将函数的图像的横坐标缩小为原来的，再将其横坐标向右平移个单位，得到函数的图像．若，函数有且仅有5个零点，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）化简得到， 结合最小正周期的求法，即可求解；
（2）由时，结合三角函数的性质，求得取得最小值，根据题意，即可求得实数的取值范围；
（3）由，得到，结合三角函数的性质，即可求解.
【小问1详解】
解：因为，
所以的最小正周期.
【小问2详解】
解：当时，可得，
当，即时，取得最小值，
因为时，恒成立，所以，
即实数的取值范围为.
【小问3详解】
解：由题意，函数，
因为，所以，
又因为函数有且仅有5个零点，则满足，解得，
所以实数的取值范围．
18. 如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标． 设，
（1）求的模长；
（2）设，若，求实数的值；
（3）若，，有同学认为“”的充要条件是“”，你认为是否正确？若正确，请给出证明，若不正确，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）充要条件为
【解析】
【分析】（1）利用向量的线性运算两边平方可求；
（2）设，可得，可求实数的值；
（3）由，可得，运算可知不正确.
【小问1详解】
因，
所以两边平方得，
故；
【小问2详解】
因，由共线定理，存在唯一的实数，有
则，故，
所以；
【小问3详解】
不正确
证明：因为，所以，即，
则有，
所以“”的充要条件是“”,
所以“”的充要条件是“”是不正确的.
19. 已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且．
（1）求；
（2）若的面积为；
①已知E为BC的中点，求底边BC上中线AE长的最小值；
②求内角A的角平分线AD长的最大值．
【答案】（1）
（2）长的最小值为，的最大值
【解析】
【分析】（1）由正弦定理和余弦定理得到，进而求出；
（2）由面积公式求出，进而根据向量的模长公式结合不等式即可求解的最值，根据三角形面积公式，结合等面积法，利用基本不等式可求解的最值.
【小问1详解】
由正弦定理，得，即，
故，
因为，所以，
所以；
【小问2详解】
①由（1）知，
因为的面积为，所以，解得，
由于，所以
，
当且仅当时，等号取得到，所以；
②因为为角的角平分线，所以，
由于，
所以，
由于,所以，
由于，
又，所以
由于，当且仅当时，等号取得到，
故，故，
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