14.3 因式分解（讲+练）【14大题型】-【重要笔记】2022-2023学年八年级数学上册重要考点精讲精练(人教版)

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14.3 因式分解一、单选题1．同学们把多项式 2x2−4xy+2x 提取公因式 2x 后，则另一个因式应为（　　） A．x−2y B．x−2y+1 C．x−4y+1 D．x−2y−12．下列多项式中不能用公式进行因式分解的是（　　） A．a2+a+ 14 B．a2+b2-2ab C．−a2+25b2 D．−4−b23．把多项式3m（x﹣y）﹣2（y﹣x）2分解因式的结果是（　　）A．（x﹣y）（3m﹣2x﹣2y） B．（x﹣y）（3m﹣2x+2y）C．（x﹣y）（3m+2x﹣2y） D．（y﹣x）（3m+2x﹣2y）4．如图，长与宽分别为a、b的长方形，它的周长为14，面积为10，则a3b+2a2b2+ab3的值为（　　） A．2560 B．490 C．70 D．495．计算-22021+(-2)2020所得的结果是(　　) A．-22020 B．-2 2021 C．22020 D．-26．若c2﹣a2﹣2ab﹣b2＝10，a+b+c＝﹣5，则a+b﹣c的值是（　　） A．2 B．5 C．20 D．97．已知n是正整数，则下列数中一定能整除 (2n+3)2−25 的是 ()A．6 B．3 C．4 D．58．观察下列分解因式的过程： x2−2xy+y2−16=(x−y)2−16=(x−y+4)(x−y−4) ，这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法，已知a，b，c满足 a2−b2−ac+bc=0 ，则以a，b，c为三条线段首尾顺次连接围成一个三角形，下列描述正确的是（　　） A．围成一个等腰三角形 B．围成一个直角三角形C．围成一个等腰直角三角形 D．不能围成三角形二、填空题9．下列因式分解正确的是　 　（填序号）①x2−2x=x(x−2)；②x2−2x+1=x(x−2)+1；③x2−4=(x+4)(x−4)；④4x2+4x+1=(2x+1)210．分解因式：ax2﹣4axy+4ay2=　 　． 11．已知：m+n=5，mn=4，则：m2n+mn2=　 　 ．12．因式分解：1－a2＋2ab－b2 ＝　 　.13．边长为a、b的长方形，它的周长为14，面积为10，则 a2b+ab2 的值为　 　．14．若△ABC的三条边a，b，c满足关系式：a4＋b2c2﹣a2c2﹣b4＝0，则△ABC的形状是　 　.15．甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则多项式x2+ax+b分解因式的正确结果为　 　．三、解答题16．因式分解：（1）a3−36a（2）14x2+xy+y2（3）(a2+4)2−16a217．把下列各式因式分解：（1）x2（y﹣2）﹣x（2﹣y）（2）25（x﹣y）2+10（y﹣x）+1（3）（x2+y2）2﹣4x2y2（4）4m2﹣n2﹣4m+1．18．已知二次三项式x2+px+q的常数项与（x-1）（x-9）的常数项相同，而它的一次项与（x-2）（x-4）的一次项相同，试将此多项式因式分解． 19．给出三个多项式：12x2+2x﹣1，12x2+4x+1，12x2﹣2x．请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解．四、综合题20．已知 a2−3a+1=0 ，求 （1）a2+1a2 的值。 （2）已知a是 4+5 的小数部分，b是 −5+5 的小数部分，c是 2+3 的整数部分，求代数式 a2c−b2c 的值 21．求值（1）先化简再求值：5x2-(x-2)(3x+1)-2(x+1)(x-5)，其中x=-1． （2）已知a+b=4，ab=2，求a3b+2a2b2+ab3的值． 22．观察猜想：如图，大长方形是由四个小长方形拼成的（1）请根据此图填空：x2+(p+q)x+pq=x2+px+qx+pq=（　 　）（　 　）.说理验证：事实上，我们也可以用如下方法进行变形：x2+(p+q)x+pq=x2+px+qx+pq=(x2+px)+(qx+pq)=　 　=（　 　）（　 　）于是，我们可以利用上面的方法进行多项式的因式分解.尝试运用：例题：把x2+3x+2分解因式.解：x2+3x+2=x2+(2+1)x+2×1=(x+2)(x+1).（2）请利用上述方法将下面多项式因式分解：x2−7x+12；因式分解把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.注意：（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式.（2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.（3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.题型1：因式分解的概念1.下列各式从左到右的变形中，是因式分解且完全正确的是（　　） A．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4 B．x2﹣2x﹣3＝x（x﹣2）﹣3C．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2 D．x3﹣x＝x（x2﹣1）【变式1-1】下列各式的变形中，属于因式分解的是(　　)A．(x+1)(x−3)=x2−2x−3 B．x2−y2=(x+y)(x−y)C．x2−xy−1=x(x−y) D．x2−2x+2=(x−1)2+1【变式1-2】下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　） A．a(x+y)=ax+ay B．a2−4=(a+2)(a−2)C．−x4+16=(x2−4)(4+x2) D．2a2+2=2a(a+1a)公因式：多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.注意：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.（3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.题型2：找公因式2.代数式 15a3b3(a−b) ， 5a2b(b−a) ， −120a3b3(a2−b2) 中的公因式是（　　） A．5a2b(b−a) B．5a2b2(b−a)C．5ab(b−a) D．120a3b3(b2−a2)【变式2-1】多项式m2－4n2与m2－4mn＋4n2的公因式是（　　）A．（m＋2n）（m－2n) B．m＋2nC．m－2n D．（m＋2n）（m－2n）2【变式2-2】多项式15a2b2+5a2b﹣20a2b2中各项的公因式是　 　． 提公因式法把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法。注意：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即 .（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误.题型3：提公因式法分解因式3.（1）分解因式：a2-3a； （2）分解因式：3x2y-6xy2．【变式3-1】分解因式：（1）a（x-2y）-b（2y-x）； （2）x（x+y）（x-y）-x（x+y）2．【变式3-2】因式分解（1）-3x3y2+6x2y3-3xy4； （2）3x（a-b）-6y（b-a）．题型4：提公因式法与整体思想4.已知xy=-3，满足x+y=2，求代数式x2y+xy2的值．【变式4-1】已知a+b=3，ab=2，求代数式a2b+2a2b2+ab2的值．【变式4-2】若a=-5，a+b+c=-5.2，求代数式a2（-b-c）-3.2（c+b）的值．公式法——平方差公式两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：注意：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.（2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.（3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.题型5：平方差公式法分解因式5.因式分解：（1）a2-9； （2）25−14m2【变式5-1】因式分解：（1）a4-b4． （2）-x4+16．【变式5-2】把（a2-a）2-（1-a）2因式分解．公式法——完全平方公式两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．即，.形如，的式子叫做完全平方式.要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方. （3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.（4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.题型6：完全平方公式法分解因式6.因式分解：（1）x2-4x+4．（2）16m2-8mn+n2．（3）4x2+20x+25；【变式6-1】因式分解：（1）（x-y）2-6（x-y）+9（2）（x2+9）2-36x2【变式6-2】因式分解：（1）（a2+b2）2-4a2b2．（2）−x3+x2y−14xy2；（3）（7x2+2y2）2-（2x2+7y2）2．题型7：十字相乘法分解因式7.因式分解：（1）x2-3x+2；（2）x2-2x-15（3）x2-7x+12．【变式7-1】因式分解：（1）（x2+4x）2-（x2+4x）-20．题型8：分组分解法分解因式8.因式分解：（1）x2+4x-a2+4．（2）9-x2+2xy-y2．【变式8-1】因式分解：（1）x3+3x2y-4x-12y.（2）x2-4xy+4y2-1（3）2x2-4xy+3x-6y【变式8-2】因式分解：（1）1-x2+2xy-y2（2）25（x+y）2-36（x-y）2题型9：利用因式分解简便运算9.计算：（1）2022+202×196+982（2）652-352；【变式9-1】利用因式分解简化计算：（1）2002-400×199+1992（2）2.22+4.4×17.8+17.82．【变式9-2】利用因式分解计算：（1）9002-894×906；（2）2.68×15.7-31.4+15.7×1.32．题型10：利用因式分解求系数的值10.已知多项式2x -x +m有一个因式(2x+1),求m的值.【变式10-1】已知x2+mx-15=（x+3）（x+n），求n+m的值．【变式10-2】将多项式x2-3x+2分解因式x2-3x+2=（x-2）（x-1），说明多项式x2-3x+2有一个因式为x-1，还可知：当x-1=0时x2-3x+2=0．利用上述阅读材料解答以下两个问题：（1）若多项式x2+kx-8有一个因式为x-2，求k的值；（2）若x+2，x-1是多项式2x3+ax2+7x+b的两个因式，求a、b的值．题型11：利用因式分解求代数式的值11.已知a+b=5，ab=3，求代数式a3b+2a2b2+ab3的值．【变式11-1】根据已知条件，求出下列代数式的值：（1）已知x+2y=4，xy=1，求代数式x2+4y2+3xy的值；（2）已知m2+m-1=0，求代数式m3+2m2+2022的值．【变式11-2】已知a+b=32，ab=-43，求代数式a3b+2a2b2+ab3的值．题型12：利用因式分解解决整除问题12.求证：对于任意自然数n，（n+7）2-（n-5）2都能被24整除. 【变式12-1】如果n是正整数，求证：3n+2-2n+2+3n-2n能被10整除. 【变式12-2】求证：当n是整数时，两个连续奇数的平方差 (2n+1)2−(2n−1)2 是8的倍数 题型13：因式分解与几何问题13.如图，边长为a、b的矩形，它的周长为14，面积为10，计算a2b+2ab+ab2的值．【变式13-1】现有若干张长方形和正方形卡片,如图所示.请运用拼图的方法,选取图中相应的种类和一定数量的卡片拼成一个大长方形,使它的面积等于a2+4ab+3b2,并根据拼成图形的面积,把多项式a2+4ab+3b2因式分解.【变式13-2】如图，长为 m，宽为 x(m>x)的大长方形被分割成 7 小块，除阴影 A，B 外，其 余 5 块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短一边长为 y．记阴影 A 与 B 的面积差 为 S．（1）分别用含 m，x，y的代数式表示阴影 A，B 的面积；（2）先化简 S，再求当 m=6，y=1 时 S的值； （3）当 x取任何实数时，面积差 S 的值都保持不变，问 m 与 y应满足什么条件？ 题型14：因式分解与三角形问题14.△ABC的三边长分别为a，b，c，且2a+ab＝2c+bc，请判断△ABC是等边三角形、等腰三角形，还是直角三角形？并说明理由．【变式14-1】若△ABC的三边长分别为a、b、c，且b2+2ab=c2+2ac，判断△ABC的形状.【变式14-2】已知在 △ABC 中，三边长分别为a，b，c，且满足等式 a2+bc−ac−b2=0， 请判断 △ABC 的形状，并写出你的理由. 【变式14-3】已知三角形的三边长分别为 a，b，c，且满足等式 a2+b2+c2=ab+bc+ac，试猜想 该三角形的形状，并证明你的猜想．