2025版高考数学一轮总复习考点突破训练题第8章平面解析几何第1讲直线的倾斜角斜率与直线的方程考点3直线方程的应用

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(3)当|MA|·|MB|取最小值时，直线l的方程；
(4)当|MA|2＋|MB|2取得最小值时，直线l的方程．
[解析] 设直线的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1(a>0，b>0)，
则eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)＝1.
(1)∵eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)≥2eq \r(\f(2,ab))⇒eq \f(1,2)ab≥4，当且仅当eq \f(2,a)＝eq \f(1,b)＝eq \f(1,2)，即a＝4，b＝2时，△AOB面积S＝eq \f(1,2)ab有最小值为4.此时，直线l的方程是eq \f(x,4)＋eq \f(y,2)＝1.即x＋2y－4＝0.
(2)a＋b＝(a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,a)＋\f(1,b)))＝3＋eq \f(2b,a)＋eq \f(a,b)≥3＋2eq \r(\f(2b,a)·\f(a,b))＝3＋2eq \r(2).故a＋b的最小值为3＋2eq \r(2)，此时eq \f(2b,a)＝eq \f(a,b)，求得b＝eq \r(2)＋1，a＝2＋eq \r(2).此时，直线l的方程为eq \f(x,2＋\r(2))＋eq \f(y,\r(2)＋1)＝1.即x＋eq \r(2)y－2－eq \r(2)＝0.
(3)解法一：设∠BAO＝θ，则sin θ＝eq \f(1,|MA|)，cs θ＝eq \f(2,|MB|)，∴|MA|·|MB|＝eq \f(2,sin θcs θ)＝eq \f(4,sin 2θ)，显然当θ＝eq \f(π,4)时，|MA|·|MB|取得最小值4，此时kl＝－1，所求直线的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0.
解法二：|MA|·|MB|＝－eq \(MA,\s\up6(→))·eq \(MB,\s\up6(→))＝－(a－2，－1)·(－2，b－1)＝2a＋b－5＝(2a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,a)＋\f(1,b)))－5＝eq \f(2b,a)＋eq \f(2a,b)≥4.当且仅当a＝b＝3时取等号，∴|MA|·|MB|的最小值为4，此时直线l的方程为x＋y－3＝0.
解法三：若设直线l的方程为y－1＝k(x－2)，则Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2k－1,k)，0))，B(0,1－2k)，∴|MA|·|MB|＝eq \r(\f(1,k2)＋1)·eq \r(4＋4k2)＝2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,k)＋－k))≥4，当且仅当－k＝－eq \f(1,k)，即k＝－1时，取等号．故|MA|·|MB|的最小值为4，此时直线l的方程为x＋y－3＝0.
(4)同(3)|MA|＝eq \f(1,sin θ)，|MB|＝eq \f(2,cs θ)，
∴|MA|2＋|MB|2＝eq \f(1,sin2θ)＋eq \f(4,cs2θ)
＝(sin2θ＋cs2θ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,sin2θ)＋\f(4,cs2θ)))
＝5＋eq \f(cs2θ,sin2θ)＋eq \f(4sin2θ,cs2θ)≥9.
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(当且仅当cs2θ＝2sin2θ，即tan2θ＝\f(1,2)时取等号))
∴|MA|2＋|MB|2的最小值为9，
此时直线的斜率k＝－eq \f(\r(2),2)，
故所求直线的方程为y－1＝－eq \f(\r(2),2)(x－2)，
即eq \r(2)x＋2y－2(eq \r(2)＋1)＝0.
注：本题也可设直线方程为y－1＝k(x－2)(k<0)求解．
名师点拨：
求解与直线方程有关的最值问题，考查函数思想，即利用直线方程中x，y的关系，将问题转化为关于x或y的函数，借助函数性质求解．或利用直线过已知点，则点的坐标适合直线方程，借助基本不等式求解(注意取最值时等号成立的条件)．
【变式训练】
直线l过点M(1,2)，且分别与x，y轴正半轴交于A、B两点，O为原点．求|OA|＋2|OB|的最小值及此时直线l的方程．
[解析] 设直线l：eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1，且a>0，b>0.
∵直线过点(1,2)，∴eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)＝1，
∴|OA|＋2|OB|＝a＋2b＝(a＋2b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(2,b)))＝5＋eq \f(2b,a)＋eq \f(2a,b)≥9，
当且仅当eq \f(2b,a)＝eq \f(2a,b)即a＝b＝3时取等号，
∴此时直线l：x＋y－3＝0，
故|OA|＋2|OB|的最小值为9，此时直线l的方程x＋y－3＝0.