2025版高考数学一轮总复习考点突破训练题第8章平面解析几何第2讲两条直线的位置关系考点2距离问题

这是一份2025版高考数学一轮总复习考点突破训练题第8章平面解析几何第2讲两条直线的位置关系考点2距离问题，共3页。试卷主要包含了已知点P．等内容，欢迎下载使用。

(1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程；
(2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？
(3)是否存在过点P且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．
[解析] (1)过点P的直线l与原点的距离为2，而点P的坐标为(2，－1)，显然，过点P(2，－1)且垂直于x轴的直线满足条件，
此时l的斜率不存在，其方程为x＝2.
若斜率存在，设l的方程为y＋1＝k(x－2)，
即kx－y－2k－1＝0.
由已知得eq \f(|－2k－1|,\r(k2＋1))＝2，解得k＝eq \f(3,4).
此时l的方程为3x－4y－10＝0.
综上，可得直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.
(2)作图可得过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线，如图．
由l⊥OP，得klkOP＝－1，
所以kl＝－eq \f(1,kOP)＝2.
由直线方程的点斜式，得y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0.
所以直线2x－y－5＝0是过点P且与原点O的距离最大的直线，最大距离为eq \f(|－5|,\r(5))＝eq \r(5).
(3)由②可知，过点P不存在到原点的距离超过eq \r(5)的直线，因此不存在过点P且到原点的距离为6的直线．
2．(2024·河南豫南名校质检、河北金科联考)若直线l1：x＋ay－2＝0与l2：2x＋(a2＋1)y－2＝0平行，则两直线之间的距离为( C )
A.eq \r(2) B．1
C．eq \f(\r(2),2) D．2
[解析] 依题意，2a＝a2＋1，解得a＝1，所以两直线分别为x＋y－2＝0，x＋y－1＝0，所以两直线之间的距离为eq \f(|2－1|,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，故选C.
名师点拨：距离的求法
1．点到直线的距离
可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式．
2．两平行直线间的距离
(1)利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；
(2)利用两平行线间的距离公式．
提醒：在应用两条平行线间的距离公式时，应把直线方程化为一般形式，且使x、y的系数分别相等．
【变式训练】
1．(2020·高考全国Ⅲ)点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为( B )
A．1 B．eq \r(2)
C.eq \r(3) D．2
[解析] 解法一：由y＝k(x＋1)可知直线过定点P(－1,0)，设A(0，－1)，当直线y＝k(x＋1)与AP垂直时，点A到直线y＝k(x＋1)距离最大，即为|AP|＝eq \r(2)，故选B.
解法二：因为点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离d＝eq \f(|1＋k|,\r(k2＋1))＝eq \r(\f(k2＋2k＋1,k2＋1))＝eq \r(1＋\f(2k,k2＋1))；∵要求距离的最大值，故需k>0；可得d＝eq \r(1＋\f(2,k＋\f(1,k)))≤eq \r(2)(当且仅当k＝1时取等号)，故选B.
2．若两平行直线3x－2y－1＝0,6x＋ay＋c＝0之间的距离为eq \f(2\r(13),13)，则c的值是 2或－6 .
[解析] 6x＋ay＋c＝0⇒3x＋eq \f(a,2)y＋eq \f(c,2)＝0，由题意知eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(c,2)－－1)),\r(32＋－22))＝eq \f(2\r(13),13)，解得c＝2或－6.
3．(多选题)(2024·河南部分学校联考)已知点A(1,3)，B(－5,1)到直线l的距离相等，则直线l的方程可以是( ABD )
A．x－3y－8＝0 B．3x＋y＋4＝0
C．3x－y＋6＝0 D．2x＋y＋2＝0
[解析] 由点A(1,3)，B(－5,1)到直线l的距离相等，得直线l过线段AB的中点或l∥AB，对于A，直线AB的方程为eq \f(y－3,1－3)＝eq \f(x－1,－5－1)，即x－3y＋8＝0，故A符合；对于B，将线段AB的中点(－2,2)代入得3×(－2)＋2＋4＝0，所以直线3x＋y＋4＝0过线段AB的中点，故B符合；对于C，将线段AB的中点(－2,2)代入得3×(－2)－2＋6＝－2≠0，所以直线3x－y＋6＝0不过线段AB的中点，故C不符合；对于D，将线段AB的中点(－2,2)代入得2×(－2)＋2＋2＝0，所以直线2x＋y＋2＝0过线段AB的中点，故D符合．故选ABD.