2025版高考数学一轮总复习考点突破训练题第8章平面解析几何第2讲两条直线的位置关系考点4直线的交点直线系方程

这是一份2025版高考数学一轮总复习考点突破训练题第8章平面解析几何第2讲两条直线的位置关系考点4直线的交点直线系方程，共2页。试卷主要包含了若直线l等内容，欢迎下载使用。

[解析] 解法一：由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋\r(3)，,x＋y－3＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(\r(3)\r(3)－k,1＋k)，,y＝\f(3＋\r(3)k,1＋k)，))由题意知x<0，y>0，∴k>eq \r(3)或k<－1，∴倾斜角的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,4))).
解法二：[数形结合]显然直线l过定点P(－eq \r(3)，0)，由图可知∠MPO＝eq \f(π,3)，∠MHO＝eq \f(π,4)，故所求倾斜角的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,4))).
2．与直线l：x－3y＋6＝0平行，且与坐标轴围成的三角形面积为8的直线的方程为 x－3y±4eq \r(3)＝0 .
[解析] 设所求直线的方程为l1：x－3y＋c＝0(c≠6)，则令y＝0，得x＝－c；令x＝0，得y＝eq \f(c,3)，依照题意有eq \f(1,2)×|－c|×eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(c,3)))＝8，解得c＝±4eq \r(3).
所以l1的方程是x－3y±4eq \r(3)＝0.
3．经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程为 4x＋3y－6＝0 .
[解析] 解法一：解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2y＋4＝0，,x＋y－2＝0，))得P(0，2)．
因为l3的斜率为eq \f(3,4)，且l⊥l3，所以直线l的斜率为－eq \f(4,3)，
由斜截式可知l的方程为y＝－eq \f(4,3)x＋2，
即4x＋3y－6＝0.
解法二：设所求直线方程为4x＋3y＋m＝0，
将解法一中求得的交点P(0,2)代入上式可得m＝－6，
故所求直线方程为4x＋3y－6＝0.
解法三：设直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，
即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0.
又∵l⊥l3，∴3×(1＋λ)＋(－4)×(λ－2)＝0，
解得λ＝11.
∴直线l的方程为4x＋3y－6＝0.
[引申]若将本例3中的“垂直”改成“平行”，则直线l的方程为_3x－4y＋8＝0__.
名师点拨：直线系方程的常见类型
1．过定点P(x0，y0)的直线系方程是y－y0＝k(x－x0)(k是参数，直线系中未包括直线x＝x0)；
2．平行于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是Ax＋By＋λ＝0(λ是参数且λ≠C)；
3．垂直于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是Bx－Ay＋λ＝0(λ是参数)；
4．过两条已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程是A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R，但不包括l2)．
【变式训练】
与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线的方程是_5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0__.
[解析] 设所求直线的方程为5x－12y＋c＝0，则eq \f(|c－6|,\r(52＋122))＝2，解得c＝32或－20，故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0.