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2025版高考数学一轮总复习考点突破训练题第8章平面解析几何第3讲圆的方程直线与圆的位置关系考点2直线与圆的位置关系
展开这是一份2025版高考数学一轮总复习考点突破训练题第8章平面解析几何第3讲圆的方程直线与圆的位置关系考点2直线与圆的位置关系，共3页。试卷主要包含了曲线C等内容，欢迎下载使用。
A．－eq \r(2)－1
作出曲线C：x＝eq \r(－y2－2y)的图形如下：
当直线l：x－y－m＝0经过点A(0，－2)时，直线与曲线有两个交点，此时2－m＝0，解得m＝2；
当直线与曲线相切时，圆心(0，－1)到直线x－y－m＝0的距离d＝eq \f(|1－m|,\r(1＋1))＝eq \f(|1－m|,\r(2))＝1，
解得m＝eq \r(2)＋1或m＝－eq \r(2)＋1；
因为直线x－y－m＝0可化为y＝x－m，由截距－m<0得m>0，则m＝eq \r(2)＋1，
此时直线与曲线只有一个交点；
故满足条件的实数m的取值范围为2≤m<1＋eq \r(2).
故选B.
2．(2022·四川资阳、遂宁等七市联考)圆C：x2＋y2＋2x－2y－2＝0上到直线l：x＋y＋eq \r(2)＝0的距离为1的点共有( C )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[解析] 圆C：x2＋y2＋2x－2y－2＝0即(x＋1)2＋(y－1)2＝4的圆心为C(－1,1)，半径为r＝2.又C到直线l的距离为d＝eq \f(|－1＋1＋\r(2)|,\r(2))＝1，∴⊙C上到直线l距离为1的点有3个，故选C.
[引申1]若本例1中曲线C与直线m：kx－y－2k＝0只有一个公共点，则k的取值范围为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(k\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(0≤k<1或k＝\f(4,3))))) .
[解析] 当直线m与曲线C相切时eq \f(|1－2k|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝0或eq \f(4,3)，又直线过点(0，－2)时k＝1，由图可知k的取值范围是0≤k<1或k＝eq \f(4,3).
[引申2]本例2中，若圆与直线m：x＋y＋c＝0相交，则c的取值范围为 (－2eq \r(2)，2eq \r(2)) ；若圆上到直线m距离为1的点有2个，则c的取值范围为 (－3eq \r(2)，－eq \r(2))∪(eq \r(2)，3eq \r(2)) ；若圆上到直线m距离为1的点有4个，则c的取值范围为 (－eq \r(2)，eq \r(2)) .
[解析] 圆与直线l相交⇔eq \f(|－1＋1＋c|,\r(2))<2⇔－2eq \r(2)
1．几何法：利用d与r的关系．
2．代数法：联立方程之后利用Δ判断．
3．点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
4．判断圆上到定直线的距离为定值的点的个数问题的关键是比较定值、圆心到直线的距离、半径的大小．
【变式训练】
1．(多选题)已知直线l：mx＋(m＋1)y－5m－3＝0(m∈R)与圆O1：x2－6x＋y2－8y＋16＝0，则下列结论正确的有( AB )
A．直线l过定点(2,3) B．相交
C．相切 D．相离
[解析] 直线l的方程可化为m(x＋y－5)＋y－3＝0，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－5＝0，,y－3＝0))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝3，))(或将直线l的方程化为y－3＝－eq \f(m,m＋1)(x－2))．∴直线l过定点(2,3)，A正确；将x＝2，y＝3代入x2－6x＋y2－8y＋16＝－7<0，∴定点在圆内，直线与圆相交，B正确；C、D错误．故选AB.
2．(多选题)(2021·新高考Ⅱ卷)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是( ABD )
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
[解析] ∵点A在圆C上，∴a2＋b2＝r2，
∵圆心C(0,0)到直线l的距离为d＝eq \f(|0×a＋0×b－r2|,\r(a2＋b2))＝eq \f(|r2|,\r(a2＋b2))＝r，∴直线与圆C相切，故A正确；
∵点A在圆C内，∴a2＋b2＜r2，
∵圆心C(0,0)到直线l的距离为d＝eq \f(|0×a＋0×b－r2|,\r(a2＋b2))＝eq \f(|r2|,\r(a2＋b2))＞r，∴直线与圆C相离，故B正确；
∵点A在圆C外，∴a2＋b2＞r2，
∵圆心C(0,0)到直线l的距离为d＝eq \f(|0×a＋0×b－r2|,\r(a2＋b2))＝eq \f(|r2|,\r(a2＋b2))＜r，∴直线与圆C相交，故C错误；
∵点A在直线l上，∴a2＋b2＝r2，
∵圆心C(0,0)到直线l的距离为d＝eq \f(|0×a＋0×b－r2|,\r(a2＋b2))＝eq \f(|r2|,\r(a2＋b2))＝r，∴直线与圆C相切，故D正确．故选ABD.
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