2025版高考数学一轮总复习考点突破训练题第8章平面解析几何第3讲圆的方程直线与圆的位置关系考点4圆的切线

这是一份2025版高考数学一轮总复习考点突破训练题第8章平面解析几何第3讲圆的方程直线与圆的位置关系考点4圆的切线，共2页。

[解析] 当过点P的直线斜率不存在时，其方程为x＝1，显然到圆心C(－1,2)的距离等于半径2，故是圆的一条切线；当过点P的直线斜率存在时，设其方程为y－3＝k(x－1)，即kx－y－k＋3＝0，由eq \f(|－k－2－k＋3|,\r(k2＋1))＝2得k＝－eq \f(3,4)，故切线的方程为3x＋4y－15＝0.
[引申]本例2中过两切点的直线方程为 2x＋y－4＝0 .
[解析] 解法一：设两切点为A、B，由CA⊥PA，CB⊥PB知P、A、C、B四点共圆且其方程为x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(5,2)))2＝eq \f(5,4)，两圆方程相减得AB方程为2x＋y－4＝0.
解法二：kPC＝eq \f(1,2)，故可设过切点A、B的直线的方程为2x＋y＋c＝0，设AB交PC于H，由AC＝2，PC＝eq \r(5)知CH＝eq \f(AC2,PC)＝eq \f(4\r(5),5).即C到AB的距离eq \f(|c|,\r(5))＝eq \f(4\r(5),5)，解得c＝－4或4(舍去)，故AB方程为2x＋y－4＝0.
名师点拨：解决直线与圆相切问题的策略
【变式训练】
(2024·云南昆明一中双基检测)已知圆O：x2＋y2＝2，点Q为直线l：x＋y－4＝0上的一个动点，QE，QF是圆C的两条切线，E，F是切点，当四边形OEQF面积最小时，直线EF的方程为( A )
A．x＋y－1＝0 B．x－y＋1＝0
C．x＋2y－1＝0 D．x－2y＋1＝0
[解析] 由题意可得，OE⊥QE，OF⊥QF，所以四边形OEQF的面积S＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)×|QE|×|OE|))＝|QE|×|OE|＝eq \r(|OQ|2－|OE|2)×|OE|＝eq \r(2)×eq \r(|OQ|2－2)，所以当|OQ|最小时，四边形OEQF的面积最小，此时直线OQ与直线l垂直，l的斜率为－1，则直线OQ的斜率为1，所以此时直线OQ的方程为y＝x，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x，,x＋y－4＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝2，))即得点Q的坐标为(2,2)，则|OQ|＝2eq \r(2)，|QE|＝eq \r(2\r(2)2－2)＝eq \r(6)，以Q(2，2)为圆心，eq \r(6)为半径的圆方程为(x－2)2＋(y－2)2＝6，即x2＋y2－4x－4y＋2＝0，与方程x2＋y2＝2两式相减，并化简得x＋y－1＝0，即直线EF的方程为x＋y－1＝0.故选A.