2025版高考数学一轮总复习考点突破训练题第8章平面解析几何第5讲椭圆第2课时考点2椭圆弦的问题

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已知椭圆eq \f(x2,2)＋y2＝1.
(1)若点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)))，则以P为中点的椭圆的弦所在直线的方程为 2x＋4y－3＝0 .
(2)斜率为2的平行弦中点的轨迹方程为 x＋4y＝0，y∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，\f(1,3))) .
(3)过点M(2,1)的直线被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程为 x2－2x＋2y2－2y＝0(x＋y－1<0) .
[解析] (1)设弦的两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点为M(x0，y0)，则有eq \f(x\\al(2,1),2)＋yeq \\al(2,1)＝1，eq \f(x\\al(2,2),2)＋yeq \\al(2,2)＝1.
两式作差，得eq \f(x2－x1x2＋x1,2)＋(y2－y1)(y2＋y1)＝0.
∵x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，eq \f(y2－y1,x2－x1)＝kAB，
代入后求得kAB＝－eq \f(x0,2y0)＝－eq \f(1,2)，
∴所求方程为y－eq \f(1,2)＝－eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))，即2x＋4y－3＝0.
(2)解法一：由题意k＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－eq \f(x1＋x2,2y1＋y2)＝－eq \f(x0,2y0)＝2，即x0＋4y0＝0，
∴所求轨迹方程为x＋4y＝0，y∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，\f(1,3))).
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－4y2,2)＋y2<1⇔－\f(1,3)解法二：设弦的方程为y＝2x＋b.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝2x＋b，,x2＋2y2－2＝0，))得9x2＋8bx＋2b2－2＝0，
∴Δ＝(8b)2－36(2b2－2)>0，即－3x＝eq \f(x1＋x2,2)＝－eq \f(4b,9)，y＝2x＋b＝eq \f(b,9).
∴所求轨迹方程为x＋4y＝0，y∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，\f(1,3))).
(3)由eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－eq \f(x1＋x2,2y1＋y2)＝－eq \f(x0,2y0)＝k＝eq \f(y0－1,x0－2)
得所求轨迹方程为x2－2x＋2y2－2y＝0
(包含在椭圆内部的部分)
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,2)＋y2＝1，,x2－2x＋2y2－2y＝1，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋2y2＝2，,x＋y＝1，))
故所求轨迹方程为x2－2x＋2y2－2y＝0(x＋y－1<0)．
名师点拨：圆锥曲线“中点弦”问题的解法
1．点差法：若直线l与圆锥曲线C有两个交点A，B，一般地，首先设出A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入曲线方程，通过作差，构造出x1＋x2，y1＋y2，x1－x2，y1－y2，从而建立中点坐标和直线l斜率的关系求得．
2．根与系数的关系法：联立直线和圆锥曲线的方程得到方程组，消元得到一元二次方程后，由根与系数的关系及中点坐标公式求解．注意不要忽略对判别式的讨论．
【变式训练】
(2024·江苏扬州高邮月考)已知椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A，B两点，若M(1，－1)且eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＝2eq \(OM,\s\up6(→))，则E的方程为( D )
A.eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,3)＝1 B．eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,6)＝1
C.eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,3)＝1 D．eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,9)＝1
[解析] 因为右焦点F(3,0)，故a2＝b2＋9，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＝2eq \(OM,\s\up6(→))可知M是AB的中点，
∴x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，且eq \f(x\\al(2,1),a2)＋eq \f(y\\al(2,1),b2)＝1，eq \f(x\\al(2,2),a2)＋eq \f(y\\al(2,2),b2)＝1，
两式相减得eq \f(x1＋x2x1－x2,a2)＋eq \f(y1＋y2y1－y2,b2)＝0，
∴kAB＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－eq \f(b2x1＋x2,a2y1＋y2)＝－eq \f(2b2,－2a2)＝eq \f(b2,a2)＝eq \f(0＋1,3－1)＝kFM＝eq \f(1,2)，
∴a2＝2b2＝b2＋9，∴b2＝9，a2＝18，
故椭圆E方程为eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,9)＝1，故选D.
角度2 弦长问题
如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq \f(1,2)，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB的斜率为0时，|AB|＝4.
(1)求椭圆的方程；
(2)若|AB|＋|CD|＝eq \f(48,7)，求直线AB的方程．
[解析] (1)由题意知e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，2a＝4.
又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝eq \r(3)，
所以椭圆的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
(2)①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存在，由题意知|AB|＋|CD|＝7，不满足条件；
②当两条弦所在直线的斜率均存在且不为0时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则直线CD的方程为y＝－eq \f(1,k)(x－1)．
将直线AB的方程代入椭圆方程中，消去y并整理，得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，
则x1＋x2＝eq \f(8k2,3＋4k2)，x1x2＝eq \f(4k2－12,3＋4k2)，
所以|AB|＝eq \r(k2＋1)|x1－x2|
＝eq \r(k2＋1)·eq \r(x1＋x22－4x1x2)
＝eq \f(12k2＋1,3＋4k2).
同理，|CD|＝eq \f(12k2＋1,3k2＋4)，
所以|AB|＋|CD|＝eq \f(12k2＋1,3＋4k2)＋eq \f(12k2＋1,3k2＋4)
＝eq \f(84k2＋12,3＋4k23k2＋4)＝eq \f(48,7)，解得k＝±1，
所以直线AB的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.
名师点拨：直线被圆锥曲线截得弦长的求法
1．当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解．
2．“设而不求”，即联立直线和椭圆的方程，消去y(或x)得一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件，建立有关参变量的等量关系求解．
当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与椭圆C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两个不同的点，则弦长|AB|＝eq \r(x1－x22＋y1－y22)＝eq \r(1＋k2)·|x1－x2|＝eq \r(1＋\f(1,k2))·|y1－y2|(k≠0)．
提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．若直线的斜率不存在，可用方法(1)直接求解．
【变式训练】
(2022·黑龙江齐齐哈尔模拟改编)已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率e＝eq \f(\r(6),3)，原点到过点A(0，－b)和B(a,0)的直线的距离为eq \f(\r(3),2).
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设圆C：x2＋y2＝1，直线l与圆C相切于P(x0，y0)，x0<0，与椭圆交于A，B两点，且|AB|＝eq \r(3)，求直线l的方程．
[解析] (1)直线AB的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,－b)＝1，
即bx－ay－ab＝0.
原点到直线AB的距离为eq \f(|－ab|,\r(－a2＋b2))＝eq \f(\r(3),2)，
即3a2＋3b2＝4a2b2，①
由e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(6),3)，得c2＝eq \f(2,3)a2，②
又a2＝b2＋c2，③
所以联立①②③可得a2＝3，b2＝1，
故椭圆的方程为eq \f(x2,3)＋y2＝1.
(2)不妨设直线l的方程为x＝my－n(n>0)，
A(x1，y1)，B(x2，y2)．
因为该直线与圆C相切，所以eq \f(|n|,\r(1＋m2))＝1，
所以1＋m2＝n2，
将直线方程代入椭圆方程并消去x得
(3＋m2)y2－2mny＋n2－3＝0，则y1＋y2＝eq \f(2mn,3＋m2)，y1·y2＝eq \f(n2－3,3＋m2).
所以|AB|＝eq \r(1＋m2)eq \r(y1＋y22－4y1y2)
＝eq \r(1＋m2)eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2mn,3＋m2)))2－4×\f(n2－3,3＋m2))＝eq \r(3)，
解得m2＝1，n2＝2，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝1，,n＝\r(2)，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－1，,n＝\r(2.)))
则直线l的方程为x－y＋eq \r(2)＝0或x＋y＋eq \r(2)＝0.