2025版高考数学一轮总复习考点突破训练题第8章平面解析几何第6讲双曲线第2课时考点2双曲线的弦

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C．2条 D．1条
[解析] 当直线l的倾斜角为90°时，|AB|＝eq \f(2b2,a)＝6；当直线l的倾斜角为0°时，|AB|＝2<6.故当直线l适当倾斜时，还可作出两条直线使得|AB|＝6.故选B.
名师点拨：
双曲线弦长的求法：联立直线与双曲线方程，求得交点坐标，或写出根与系数的关系，利用弦长公式求解．
注意“焦点弦”的弦长与通径(过焦点且垂直实轴的弦)、实轴长间关系(焦点弦长的最小值是通径与实轴长二者的最小值)的应用．
如本例中双曲线实轴长为2，通径长为6，则满足|AB|＝m的直线①当26时有4条；③当m＝2时有1条；④当0【变式训练】
(2023·湖南重点中学模拟)过双曲线x2－eq \f(y2,2)＝1的右焦点作直线l交双曲线于A，B两点，若实数λ使得|AB|＝λ的直线l恰有3条，则λ＝( C )
A．2 B．3
C．4 D．6
[解析] 右支内最短的焦点弦＝eq \f(2b2,a)＝4.又2a＝2，故与左、右两支相交的焦点弦长≥2a＝2，由对称性知长为4的弦有两条．故选C.
角度2 中点弦问题
1.(2010·新课标)已知双曲线E的中心为原点，P(3,0)是E的焦点，过P的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为( B )
A.eq \f(x2,3)－eq \f(y2,6)＝1 B．eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1
C.eq \f(x2,6)－eq \f(y2,3)＝1 D．eq \f(x2,5)－eq \f(y2,4)＝1
[解析] 由双曲线E的中心为原点，P(3,0)是E的焦点，可设双曲线的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a2＋b2＝9)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，即eq \f(x\\al(2,1),a2)－eq \f(y\\al(2,1),b2)＝1，eq \f(x\\al(2,2),a2)－eq \f(y\\al(2,2),b2)＝1，则eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(b2,a2)·eq \f(x1＋x2,y1＋y2)＝eq \f(b2,a2)·eq \f(－12,－15)＝eq \f(0＋15,3＋12)＝1，则eq \f(b2,a2)＝eq \f(5,4)，b2＝5，a2＝4，故E的方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1.
2．(2023·全国乙卷)设A、B为双曲线x2－eq \f(y2,9)＝1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是( D )
A．(1,1) B．(－1,2)
C．(1,3) D．(－1，－4)
[解析] 通解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)，由点A，B在双曲线上，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\\al(2,1)－\f(y\\al(2,1),9)＝1，,x\\al(2,2)－\f(y\\al(2,2),9)＝1，))两式作差，得xeq \\al(2,1)－xeq \\al(2,2)＝eq \f(y\\al(2,1)－y\\al(2,2),9)，即(x1－x2)(x1＋x2)＝eq \f(y1－y2y1＋y2,9)，化简得eq \f(y1－y2y1＋y2,x1－x2x1＋x2)＝9，即eq \f(y1－y2,x1－x2)·eq \f(\f(y1＋y2,2),\f(x1＋x2,2))＝kAB·eq \f(y0,x0)＝9，因此kAB＝9·eq \f(x0,y0).由双曲线方程可得渐近线方程为y＝±3x，如图．对于A选项，因为kAB＝9×eq \f(1,1)＝9>3，所以直线AB与双曲线无交点，不符合题意；对于B选项，因为kAB＝9×eq \f(－1,2)＝－eq \f(9,2)<－3，所以直线AB与双曲线无交点，不符合题意；对于C选项，kAB＝9×eq \f(1,3)＝3，此时直线AB与渐近线y＝3x平行，与双曲线不可能有两个交点，不符合题意；对于D选项，因为kAB＝9×eq \f(－1,－4)＝eq \f(9,4)<3，所以直线AB与双曲线有两个交点，满足题意．故选D.
优解：选项中的点均位于双曲线两支之间，故A，B分别在双曲线的两支上且不关于原点对称，设线段AB的中点坐标为(x0，y0)，则|kAB|＝9eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(x0,y0)))<3，即|y0|>3|x0|，结合选项可知选D.
注：也可利用kAB＝9eq \f(x0,y0)求出选项对应的AB的方程，检验直线与双曲线是否相交．
名师点拨：
“中点弦”问题常用“点差法”求解，但求弦所在直线方程后应代回检验．
【变式训练】
已知双曲线x2－eq \f(y2,3)＝1，过P(2,1)点作一直线交双曲线于A，B两点，并使P为AB的中点，则直线AB的方程为 6x－y－11＝0 .
[解析] 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入双曲线方程3x2－y2＝3，相减得直线AB的斜率kAB＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(3x1＋x2,y1＋y2)＝eq \f(3×\f(x1＋x2,2),\f(y1＋y2,2))＝eq \f(3×2,1)＝6.故所求直线的方程为y－1＝6(x－2)，即6x－y－11＝0.