2025版高考数学一轮总复习考点突破训练题第8章平面解析几何第7讲抛物线考点1抛物线的定义及应用

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C．双曲线 D．抛物线
[解析] 设动圆的圆心为C半径为r，则C到定圆A：(x＋2)2＋y2＝1的圆心的距离等于r＋1，而动圆的圆心到直线x＝1的距离等于r，所以动圆到直线x＝2距离为r＋1，即动圆圆心到定点(－2,0)和定直线x＝2的距离相等，根据抛物线的定义知，动圆的圆心轨迹为抛物线，所以答案为D.
角度2 到焦点与到定点距离之和最小问题
已知M是抛物线x2＝4y上一点，F为其焦点，C为圆(x＋1)2＋(y－2)2 ＝1的圆心，则|MF|＋|MC|的最小值为( B )
A．2 B．3
C．4 D．5
[解析] 设抛物线x2＝4y的准线方程为l：y＝－1，C为圆(x＋1)2＋(y－2)2＝1的圆心，所以C的坐标为(－1,2)，过M作l的垂线，垂足为E，根据抛物线的定义可知|MF|＝|ME|，所以问题求|MF|＋|MC|的最小值，就转化为求|ME|＋|MC|的最小值，由平面几何的知识可知，当C，M，E在一条直线上时，此时CE⊥l，|ME|＋|MC|有最小值，最小值为|CE|＝2－(－1)＝3，故选B.
[引申]本例中，(ⅰ)|MC|－|MF|的最大值为 eq \r(2) ；最小值为 －eq \r(2) ；(ⅱ)若N为⊙C上任一点，则|MF|＋|MN|的最小值为 2 .
角度3 到准线与到定点距离之和最小问题
(2023·四川大学附中期中)设点P是抛物线C1：x2＝4y上的动点，点M是圆C2：(x－5)2＋(y＋4)2＝4上的动点，d是点P到直线y＝－2的距离，则d＋|PM|的最小值是( B )
A．5eq \r(2)－2 B．5eq \r(2)－1
C．5eq \r(2) D．5eq \r(2)＋1
[解析] 抛物线C1：x2＝4y的焦点为F(0,1)，∴d＋|PM|＝|PF|＋1＋|PC2|－2＝|PF|＋|PC2|－1≥|FC2|－1＝5eq \r(2)－1.(当且仅当F、P、C2共线时取等号)．故选B.
角度4 到两定直线的距离之和最小问题
(2024·陕西西安质检)已知直线l：4x－3y＋6＝0，抛物线y2＝8x上一动点P(x0，y0)到直线l的距离为d，则d＋|x0|的最小值是 eq \f(4,5) .
[解析] 如图所示：若PC⊥直线l，PB⊥抛物线准线且交y轴于A点，则d＝|PC|，|x0|＝|PA|，
由抛物线定义知：|PF|＝|PB|＝|PA|＋eq \f(p,2)，
则|PA|＝|PF|－eq \f(p,2)＝|PF|－2，
所以d＋|x0|＝|PC|＋|PF|－2，
要使目标式最小，即|PC|＋|PF|最小，
当F，P，C共线时，又F(2,0)，此时(d＋|x0|)min＝eq \f(|8－0＋6|,5)－2＝eq \f(4,5).
名师点拨：利用抛物线的定义可解决的常见问题
1．轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线．
2．距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时，注意在解题中利用两者之间的关系进行相互转化．
注：看到准线想焦点，看到焦点想准线，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．
【变式训练】
1．(角度1)到定点A(0,2)的距离比到定直线l：y＝－1大1的动点P的轨迹方程为 x2＝8y .
[解析] 由题意知P到A的距离等于其到直线y＝－2的距离，故P的轨迹是以A为焦点，直线y＝－2为准线的抛物线，所以其方程为x2＝8y.
2．(角度2)(2024·江苏无锡等四地模拟)已知P(3,3)，M是抛物线y2＝4x上的动点(异于顶点)，过M作圆C：(x－2)2＋y2＝4的切线，切点为A，则|MA|＋|MP|的最小值为 3 .
[解析] 依题意，设M(x0，y0)，x0>0，有yeq \\al(2,0)＝4x0，圆C：(x－2)2＋y2＝4的圆心C(2,0)，半径r＝2，于是|MA|＝eq \r(|MC|2－r2)＝eq \r(x0－22＋y\\al(2,0)－4)＝eq \r(x\\al(2,0))＝x0，因此|MA|＋|MP|＝x0＋|MP|，表示抛物线C上的点M到y轴距离与到定点P的距离的和，而点P在抛物线C内，当且仅当M是过点P垂直于y轴的直线与抛物线C的交点时，x0＋|MP|取得最小值3，所以|MA|＋|MP|的最小值为3.
3．(角度3)已知点Q(2eq \r(2)，0)及抛物线y＝eq \f(x2,4)上一动点P(x，y)，则y＋|PQ|的最小值是 2 .
[解析] 抛物线y＝eq \f(x2,4)即x2＝4y，其焦点坐标为F(0,1)，准线方程为y＝－1.因为点Q的坐标为(2eq \r(2)，0)，所以|FQ|＝eq \r(2\r(2)2＋12)＝3.过点P作准线的垂线PH，交x轴于点D，如图所示．结合抛物线的定义，有y＋|PQ|＝|PD|＋|PQ|＝|PH|＋|PQ|－1＝|PF|＋|PQ|－1≥|FQ|－1＝3－1＝2，即y＋|PQ|的最小值是2.
4．(角度4)已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和l2的距离之和的最小值为( C )
A.eq \f(37,16) B．eq \f(11,5)
C．2 D．eq \f(7,4)
[解析] 直线l2：x＝－1是抛物线y2＝4x的准线，抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，则点P到直线l2：x＝－1的距离等于|PF|，过点F作直线l1：4x－3y＋6＝0的垂线，和抛物线的交点就是点P，所以点P到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离和到直线l2：x＝－1的距离之和的最小值就是点F(1,0)到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，所以最小值为eq \f(|4－0＋6|,\r(32＋42))＝2，故选C.