2025版高考数学一轮总复习考点突破训练题第8章平面解析几何第7讲抛物线考点3抛物线的几何性质

这是一份2025版高考数学一轮总复习考点突破训练题第8章平面解析几何第7讲抛物线考点3抛物线的几何性质，共3页。试卷主要包含了故选C等内容，欢迎下载使用。

A.eq \f(8,3) B．3
C．eq \f(16,3) D．eq \f(3,2)
[解析] 解法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，
∵|AF|＝3|BF|，∴x1＋1＝3(x2＋1)．即x1＝3x2＋2，①
且|y1|＝3|y2|，从而x1＝9x2，②
由①②可得x1＝3，x2＝eq \f(1,3)，∴|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(16,3).故选C.
解法二：如图l为抛物线y2＝4x的准线，AM⊥l于M，BN⊥l于N，BH⊥AM于H，记|BF|＝λ，则|AB|＝4λ，|AH|＝|AF|－|BF|＝2λ，∴∠HAB＝60°，∴kAB＝eq \r(3).AB：y＝eq \r(3)(x－1)，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\r(3)x－1，,y2＝4x，))得3x2－10x＋3＝0，记A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(10,3)＋2＝eq \f(16,3).故选C.
2．(2023·安徽皖江名校模拟)设O为坐标原点，F为抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点，直线y＝1与抛物线C交于A，B两点，若∠AFB＝120°，则抛物线C的准线方程为( C )
A．y＝－eq \f(2,3) B．y＝－3
C．y＝－eq \f(1,3)或y＝－3 D．y＝－eq \f(2,3)或y＝－6
[解析] 设直线y＝1与y轴交点为M，由抛物线的对称性，易知△MFA为直角三角形，且∠AFM＝eq \f(1,2)∠AFB＝60°，∴|AF|＝2|FM|，即1＋eq \f(p,2)＝2eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(1－\f(p,2)))，解得p＝eq \f(2,3)或p＝6，所以抛物线的准线方程为y＝－eq \f(1,3)或y＝－3.故选C.
3．(多选题)(2023·高考新课标Ⅱ卷)设O为坐标原点，直线y＝－eq \r(3)(x－1)过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则( AC )
A．p＝2
B．|MN|＝eq \f(8,3)
C．以MN为直径的圆与l相切
D．△OMN为等腰三角形
[解析] 直线y＝－eq \r(3)(x－1)过点(1,0)，所以抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F(1,0)，所以eq \f(p,2)＝1，p＝2,2p＝4，则A正确；且抛物线C的方程为y2＝4x.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝－\r(3)x－1，,y2＝4x，))消去y并化简得3x2－10x＋3＝(x－3)(3x－1)＝0，
解得x1＝3，x2＝eq \f(1,3)，所以|MN|＝x1＋x2＋p＝3＋eq \f(1,3)＋2＝eq \f(16,3)，B错误；
设MN的中点为A，M，N，A到直线l的距离分别为d1，d2，d，
∵d＝eq \f(1,2)(d1＋d2)＝eq \f(1,2)(|MF|＋|NF|)＝eq \f(1,2)|MN|，
即A到直线l的距离等于MN的一半，所以以MN为直径的圆与直线l相切，C正确；
又y1＝－eq \r(3)(3－1)＝－2eq \r(3)，y2＝－eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)－1))＝eq \f(2\r(3),3)，
∴|OM|＝eq \r(32＋－2\r(3)2)＝eq \r(21)，
|ON|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(3),3)))2)＝eq \f(\r(13),3)，
所以三角形OMN不是等腰三角形，D错误．故选AC.
[引申]本例3中eq \f(1,|MF|)＋eq \f(1,|NF|)＝ 1 .
[解析] eq \f(1,|MF|)＋eq \f(1,|NF|)＝eq \f(2,p)＝1.
名师点拨：
1．求抛物线的焦点及准线方程的步骤：
(1)把抛物线解析式化为标准方程形式；
(2)明确抛物线开口方向；
(3)求出抛物线标准方程中参数p的值；
(4)写出抛物线的焦点坐标或准线方程．
2．解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义的应用，通过定义将焦点弦长转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解．
3．在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．注意抛物线上点到焦点距离与到准线距离的转化，关注图中的直角梯形(直角三角形)．
【变式训练】
1．(2020·全国高考真题)设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为( B )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，0)) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))
C．(1,0) D．(2,0)
[解析] 因为直线x＝2与抛物线y2＝2px(p>0)交于E，D两点，且OD⊥OE，根据抛物线的对称性可以确定∠DOx＝∠EOx＝eq \f(π,4)，所以D(2,2)，代入抛物线方程4＝4p，求得p＝1，所以其焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))，故选B.
2．(2024·甘肃联考)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(4,0)，若|AF|＝|BF|，则AB的中点到y轴的距离是( C )
A．2 B．2eq \r(2)
C．3 D．3eq \r(2)
[解析] 由题意得，F(1,0)，则|AF|＝|BF|＝3，所以，由抛物线的定义得点A到准线x＝－1的距离为3，所以点A的横坐标为－1＋3＝2，不妨设点A在x轴上方，代入抛物线方程得，A(2,2eq \r(2))，所以AB的中点坐标为(3，eq \r(2))，到y轴的距离是3.故选C.
3．(2024·湘豫名校联考)过抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点F的直线l交C于A，B两点，若直线l过点P(1,0)，且|AB|＝8，则抛物线C的准线方程是( D )
A．y＝－3 B．y＝－2
C．y＝－eq \f(3,2) D．y＝－1
[解析] 因为直线l过点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))，P(1,0)，所以直线l的方程为y＝－eq \f(p,2)(x－1)．由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝－\f(p,2)x－1，,x2＝2py，))得x2＋p2x－p2＝0，Δ>0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－p2，x1x2＝－p2.因为|AB|＝eq \r(1＋\f(p2,4))|x2－x1|＝eq \r(1＋\f(p2,4))eq \r(x1＋x22－4x1x2)＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(p2,4)))p4＋4p2)＝eq \f(pp2＋4,2)＝8，整理得p3＋4p－16＝(p－2)(p2＋2p＋8)＝0，解得p＝2，所以抛物线C的准线方程是y＝－eq \f(p,2)，即y＝－1.故选D.