2025版高考数学一轮总复习考点突破训练题第8章平面解析几何第10讲圆锥曲线__定点定值探究性问题考点4探究型问题

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∴C的方程为x2－eq \f(y2,3)＝1.
(2)设直线l的方程为x＝my－2，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝my－2，,x2－\f(y2,3)＝1，))整理得：(3m2－1)y2－12my＋9＝0，
则y1＋y2＝eq \f(12m,3m2－1)，y1y2＝eq \f(9,3m2－1)，
所以x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝eq \f(4,3m2－1)，
x1x2＝m2y1y2－2m(y1＋y2)＋4＝eq \f(－3m2－4,3m2－1)，
假设存在实数t，使得|eq \(FM,\s\up6(→))＋eq \(FN,\s\up6(→))|＝|eq \(FM,\s\up6(→))－eq \(FN,\s\up6(→))|，
则eq \(FM,\s\up6(→))·eq \(FN,\s\up6(→))＝0，而A(1,0)，F(－2,0)，
故由AP方程：y＝eq \f(y1,x1－1)(x－1)，令x＝t得Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t，\f(y1,x1－1)t－1))，
同理AQ方程：y＝eq \f(y2,x2－1)(x－1)，令x＝t得Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t，\f(y2,x2－1)t－1))，所以eq \(FM,\s\up6(→))·eq \(FN,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t＋2，\f(y1,x1－1)t－1)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t＋2，\f(y2,x2－1)t－1))＝0，
即(t＋2)2＋eq \f(y1y2,x1－1x2－1)(t－1)2＝0，
则(t＋2)2＋eq \f(\f(9,3m2－1),\f(－3m2－4,3m2－1)－\f(4,3m2－1)＋1)(t－1)2＝0，
即(t＋2)2－(t－1)2＝0，解得t＝－eq \f(1,2)，
故存在实数t＝－eq \f(1,2)，使得|eq \(FM,\s\up6(→))＋eq \(FN,\s\up6(→))|＝|eq \(FM,\s\up6(→))－eq \(FN,\s\up6(→))|.
名师点拨：存在性问题的解题策略
存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．
1．当条件和结论不唯一时要分类讨论．
2．当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．
存在性问题的答题模版
【变式训练】
(2024·山东德州模拟)已知F1，F2分别为双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左，右焦点，点P(2，2eq \r(6))在C上，且双曲线C的渐近线与圆x2＋y2－6y＋8＝0相切．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若过点F2且斜率为k的直线l交双曲线C的右支于A，B两点，Q为x轴上一点，满足|QA|＝|QB|，试问eq \f(|AF1|＋|BF1|－4,|QF2|)是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
[解析] (1)由题意点P(2,2eq \r(6))在双曲线C上，
可得eq \f(4,a2)－eq \f(24,b2)＝1，
圆x2＋y2－6y＋8＝0的圆心为(0,3)，半径为1，双曲线的渐近线与圆相切，
所以，1＝eq \f(3,\r(1＋\f(b2,a2)))，即eq \f(b2,a2)＝8，
解得a2＝1，b2＝8，
故双曲线方程为x2－eq \f(y2,8)＝1.
(2)eq \f(|AF1|＋|BF1|－4,|QF2|)是定值．
设直线方程为y＝k(x－3)，由于直线交双曲线C的右支于A，B两点，故k≠0，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－\f(y2,8)＝1，,y＝kx－3，))
可得(8－k2)x2＋6k2x－9k2－8＝0，
当k2＝8时，直线与双曲线的渐近线平行，此时直线和双曲线只有一个交点，不符合题意；
故k2≠8，此时Δ＝256(k2＋1)>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
x1＋x2＝eq \f(6k2,k2－8)，x1x2＝eq \f(9k2＋8,k2－8)(k2>8)，
则eq \f(x1＋x2,2)＝eq \f(3k2,k2－8)，eq \f(y1＋y2,2)＝eq \f(24k,k2－8)，
即A，B的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3k2,k2－8)，\f(24k,k2－8)))，
因为Q为x轴上一点，满足|QA|＝|QB|，故Q为AB的垂直平分线与x轴的交点，
AB的垂直平分线的方程为：
y－eq \f(24k,k2－8)＝－eq \f(1,k)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3k2,k2－8)))，
令y＝0，则得x＝eq \f(27k2,k2－8)，即Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(27k2,k2－8)，0))，
所以|QF2|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(27k2,k2－8)－3))＝eq \f(24k2＋1,k2－8)，
又|AB|＝eq \r(1＋k2)eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6k2,k2－8)))2－\f(49k2＋8,k2－8))＝eq \f(16k2＋1,k2－8)，
又因为A，B在双曲线的右支上，
故|AF1|－|AF2|＝2a＝2，|BF1|－|BF2|＝2，
故|AF1|＋|BF1|－|AF2|－|BF2|＝4，
即|AF1|＋|BF1|－4＝|AB|，
故eq \f(|AF1|＋|BF1|－4,|QF2|)＝eq \f(|AB|,|QF2|)＝eq \f(\f(16k2＋1,k2－8),\f(24k2＋1,k2－8))＝eq \f(2,3)，
即eq \f(|AF1|＋|BF1|－4,|QF2|)为定值，定值为eq \f(2,3).