2025版高考数学一轮总复习素养提升训练题第7章立体几何第4讲空间直线平面垂直的判定与性质

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B．DP∥平面AB1D1
C．三棱锥P－ACD1的体积为定值eq \r(2)
D．A1P＋PC的最小值为eq \r(3)＋1
[解析] 由正方体性质易知B1D⊥平面A1BC1，
又A1P⊂平面A1BC1，
∴B1D⊥A1P，故A正确；
由平面BDC1∥平面AB1D1，
DP⊂平面BDC1，
∴DP∥平面AB1D1，故B正确；
∵AD1∥BC1，AD1⊂平面ACD1，BC1⊄平面ACD1，
∴BC1∥平面ACD1，
∴点P到平面ACD1的距离等于点B到平面ACD1的距离，
∴VP－ACD1＝VB－ACD1＝VD1－ACB＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×eq \r(2)×eq \r(2)×eq \r(2)＝eq \f(\r(2),3)，故C错误；将平面A1BC1和平面BCC1沿直线BC1展开为一个平面，如图：
△A1BC1是正三角形，△BCC1是等腰直角三角形，
且BC1＝2，BC＝eq \r(2)，
∠A1C1C＝105°，
A1C2＝A1Ceq \\al(2,1)＋CCeq \\al(2,1)－2·A1C1·CC1·cs∠A1C1C＝4＋2－2×2×eq \r(2)×eq \f(\r(2)－\r(6),4)＝4＋2eq \r(3)，
∴A1C＝eq \r(3)＋1，
即A1P＋PC的最小值为eq \r(3)＋1，故D正确．故选ABD.
2.(2024·江苏扬州高邮期初测试(节选))如图，在多面体ABCDE中，AB⊥平面BCD，平面ECD⊥平面BCD，其中△ECD是边长为2的正三角形，△BCD是以∠BDC为直角的等腰三角形．
证明：AB∥平面CDE.
[证明] 取CD的中点F，连接EF，由EC＝ED知EF⊥CD.
∵平面ECD⊥平面BCD，
且平面ECD∩平面BCD＝CD，
∴EF⊥平面BCD.
又∵AB⊥平面BCD，∴AB∥EF.
∵AB⊄平面ECD，EF⊂平面ECD.
∴AB∥平面CDE.
名师点拨：
空间两点“路径”最短问题通常“展平”化为两点间距离问题．
【变式训练】
(2024·陕西汉中模拟)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M，N分别为AC，A1B的中点，则下列说法中不正确的是( D )
A．MN∥平面ADD1A1
B．MN⊥AB
C．MN与CC1所成角为45°
D．MN⊥平面ACD1
[解析] 连接BD，A1D，则M为BD的中点，又N为BA1的中点，∴MN∥A1D，从而MN∥平面ADD1A1，A正确；又AB⊥平面ADD1A1，∴AB⊥A1D，从而AB⊥MN，B正确；∠AA1D＝45°为MN与CC1所成的角，C正确．故选D.事实上，若D正确，则MN⊥AC，从而A1D⊥A1C1，这与∠C1A1D＝eq \f(π,3)矛盾．