2025版高考数学一轮总复习素养提升训练题第8章平面解析几何第7讲抛物线

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2．(多选题)(2024·湖北九师联盟联考)已知抛物线C：x2＝－8y的焦点为F，过F的直线l与抛物线C相交于A，B两点，分别过A，B两点作C的切线l1，l2，且l1，l2相交于点P，则( BCD )
A．|PF|＝4
B．点P在直线y＝2上
C．△PAB为直角三角形
D．△PAB面积的最小值为16
[解析] 由题可知，抛物线C：x2＝－8y的焦点F(0，－2)，
显然直线l的斜率存在，设直线方程为y＝kx－2，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx－2，,x2＝－8y，))消去y并整理得x2＋8kx－16＝0，
∴x1＋x2＝－8k，x1x2＝－16，
由C：x2＝－8y得，y＝－eq \f(1,8)x2，∴y′＝－eq \f(1,4)x，
故切线PA的方程为：y＋eq \f(1,8)xeq \\al(2,1)＝－eq \f(1,4)x1(x－x1)，①
故切线PB的方程为：y＋eq \f(1,8)xeq \\al(2,2)＝－eq \f(1,4)x2(x－x2)，②
联立①②得x0＝eq \f(x1＋x2,2)＝－4k，y0＝2，
∴P(－4k,2)，
∵P(－4k,2)，F(0，－2)，
∴|PF|＝eq \r(0＋4k2＋－2－22)＝4eq \r(k2＋1)≥4，故A不正确；
∵P(－4k,2)，显然点P在直线y＝2上，故B正确；
∵eq \(PA,\s\up6(→))＝(x1＋4k，y1－2)，
eq \(PB,\s\up6(→))＝(x2＋4k，y2－2)，y1＝－eq \f(1,8)xeq \\al(2,1)，y2＝－eq \f(1,8)xeq \\al(2,2)，
∴eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝(x1＋4k)(x2＋4k)＋(y1－2)(y2－2)＝x1x2＋4k(x1＋x2)＋16k2＋y1y2－2(y1＋y2)＋4，
将y1y2＝eq \f(1,64)xeq \\al(2,1)xeq \\al(2,2)，y1＋y2＝－eq \f(1,8)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(x1＋x22－2x1x2))，
且x1＋x2＝－8k，x1x2＝－16，代入上式化简得：
∴eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝0，
∴PA⊥PB，
∴△PAB为直角三角形，故C正确；
P到直线l的距离为：
d＝eq \f(|－4k2－4|,\r(1＋k2))＝4eq \r(1＋k2)，
|AB|＝eq \r(1＋k2)eq \r(x1＋x22－4x1x2)＝8(1＋k2)，
∴S△PAB＝eq \f(1,2)d|AB|＝16(1＋k2)eq \f(3,2)，当k＝0时，
(S△PAB)min＝16，故D正确．故选BCD.
名师点拨：
利用导数工具解决抛物线的切线问题，使问题变得巧妙而简单，若用判别式解决抛物线的切线问题，计算量大，易出错．
注意：(1)过抛物线C：x2＝2py(p>0)外一点P(x0，y0)引抛物线的两条切线，切点分别为A、B，则AB：x0x＝p(y0＋y)．
(2)直线与抛物线只有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件，过抛物线外一点与抛物线只有一个公共点的直线有0条或3条；过抛物线上一点和抛物线只有一个公共点的直线有2条．
【变式训练】
(2023·山西忻州模拟)已知抛物线C：x2＝2y，直线l与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的切线l1，l2若l1⊥l2，且l1与l2交于点M，则△MAB的面积的最小值为 1 .
[解析] 抛物线的方程为x2＝2y，即y＝eq \f(1,2)x2，所以y′＝x，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＝eq \f(1,2)xeq \\al(2,1)，y2＝eq \f(1,2)xeq \\al(2,2)，所以切线方程l1：y－eq \f(1,2)xeq \\al(2,1)＝x1(x－x1)，l2：y－eq \f(1,2)xeq \\al(2,2)＝x2(x－x2)，由于l1⊥l2，所以x1·x2＝－1，由题意可设直线l方程为y＝kx＋m，抛物线方程联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋m，,x2＝2y，))得x2－2kx－2m＝0，所以Δ＝(－2k)2＋8m＝4k2＋8m>0，则x1＋x2＝2k，x1x2＝－2m＝－1，即m＝eq \f(1,2)，从而l：y＝kx＋eq \f(1,2)，联立方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x1x－\f(x\\al(2,1),2)，,y＝x2x－\f(x\\al(2,2),2)))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(x1＋x2,2)，,y＝\f(x1x2,2)，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝k，,y＝－\f(1,2)，))即Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k，－\f(1,2)))，M点到直线l的距离d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(k·k＋\f(1,2)＋\f(1,2))),\r(1＋k2))＝eq \f(1＋k2,\r(1＋k2))，|AB|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(x1＋x22－4x1x2)＝2(1＋k2)，所以S△MAB＝eq \f(1,2)·|AB|·d＝eq \f(1,2)·2(1＋k2)·eq \f(1＋k2,\r(1＋k2))＝(1＋k2)eq \f(3,2)≥1.当k＝0时，△MAB面积取得最小值1.