2025版高考数学一轮总复习知识梳理训练题第7章立体几何第4讲空间直线平面垂直的判定与性质

这是一份2025版高考数学一轮总复习知识梳理训练题第7章立体几何第4讲空间直线平面垂直的判定与性质，共5页。试卷主要包含了直线与平面垂直，直线与平面所成的角，垂直于同一条直线的两个平面平行等内容，欢迎下载使用。

知识点一 直线与平面垂直
1．直线与平面垂直
(1)定义：若直线l与平面α内的 任意 一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直．
(2)判定与性质
过一点垂直于已知平面的直线 有且只有一条 .
过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段， 垂线段的长度 叫做这个点到该平面的距离．
一条直线与一个平面平行时，这条直线上 任意一点到这个平面的距离 ，叫做这条直线到这个平面的距离．
如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离．
2．直线与平面所成的角
(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的 锐角 ，叫做这条斜线和这个平面所成的角．
若直线与平面平行或直线在平面内，直线与平面所成角为 0 ，若直线与平面垂直，直线与平面所成角为 eq \f(π,2) .
(2)线面角θ的范围：θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
知识点二 平面与平面垂直
1．二面角的有关概念
(1)二面角：从一条直线出发的 两个半平面 所组成的图形叫做二面角．
(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作与棱 垂直 的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角．
(3)二面角θ的范围：θ∈[0，π]．
2．平面与平面垂直
(1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是 直二面角 ，就说这两个平面互相垂直．
(2)判定与性质
归 纳 拓 展
1．若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．
2．若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)．
3．垂直于同一条直线的两个平面平行．
4．一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直．
双 基 自 测
题组一 走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.( × )
(2)垂直于同一个平面的两平面平行．( × )
(3)若直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.( √ )
(4)若α⊥β，a⊥β，则a∥α.( × )
(5)若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直．( √ )
(6)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.( × )
题组二 走进教材
2．(必修2P164T15)(2022·广州中学教学研究会调研)如图1，正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2、G2G3的中点，D是EF的中点，如图2，沿SE、SF、EF将正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3重合，重合后的点记为G，则在四面体S－EGF中( A )
A．SG⊥平面EFG B．SD⊥平面EFG
C．GF⊥平面SEF D．GD⊥平面SEF
[解析] 由题意知SG⊥GF，SG⊥GE，GF∩GE＝G.∴SG⊥平面GEF，故选A.
3．(必修2P152例4)(2022·河南许昌质检)在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M，N分别为AB，BC的中点，则直线MN与平面DCA1所成角的大小为( A )
A.eq \f(π,6) B．eq \f(π,4)
C．eq \f(π,3) D．eq \f(π,2)
[解析] 连接AC、AD1，设AD1∩A1D＝H，连HC，易知AH⊥平面A1DC，MN∥AC，
∴∠HCA即为MN与平面DCA1所成的角，
且sin∠HCA＝eq \f(AH,AC)＝eq \f(1,2).
∴MN与平面DCA1所成角为eq \f(π,6).故选A.
题组三 走向高考
4．(2022·全国乙卷)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则( A )
A．平面B1EF⊥平面BDD1
B．平面B1EF⊥平面A1BD
C．平面B1EF∥平面A1AC
D．平面B1EF∥平面A1C1D
[解析] 正方体中DD1⊥EF，
又AC⊥BD，EF∥AC，
∴BD⊥EF，
∴EF⊥平面BDD1，EF⊂平面B1EF，
从而平面B1EF⊥平面BDD1，
∴A正确；
若平面B1EF⊥平面A1BD，
则BD⊥平面B1EF，∴BD⊥B1E，又BB1⊥BD，
∴BD⊥平面BB1E，又AD⊥平面BB1E，
∴AD∥BD这与AD、BD相交矛盾，∴B错误；
取A1B1的中点H，则AH∥B1E，
由于AH与平面A1AC相交，故平面B1EF∥平面A1AC不成立，C错误；
取AD的中点M，很明显四边形A1B1FM为平行四边形，则A1M∥B1F，
由于A1M与平面A1C1D相交，故平面B1EF∥平面A1C1D不成立，D错误．故选A.
5. (2023·新课标全国Ⅱ卷)如图，三棱锥A－BCD中，DA＝DB＝DC，BD⊥CD，∠ADB＝∠ADC＝60°，E为BC的中点．
(1)证明：BC⊥DA；
(2)点F满足eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(DA,\s\up6(→))，求二面角D－AB－F的正弦值．
[解析] (1)证明：连接AE，DE，因为E为BC的中点，DB＝DC，所以DE⊥BC①，
因为DA＝DB＝DC，∠ADB＝∠ADC＝60°，
所以△ACD与△ABD均为等边三角形，
∴AC＝AB，从而AE⊥BC②，由①②，AE∩DE＝E，AE，DE⊂平面ADE，
所以BC⊥平面ADE，而AD⊂平面ADE，
所以BC⊥DA.
(2)不妨设DA＝DB＝DC＝2，∵BD⊥CD，∴BC＝2eq \r(2)，DE＝AE＝eq \r(2).
∴AE2＋DE2＝4＝AD2，∴AE⊥DE，又∵AE⊥BC，DE∩BC＝E，DE，BC⊂平面BCD，∴AE⊥平面BCD.
以点E为原点，ED，EB，EA所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
设D(eq \r(2)，0,0)，A(0,0，eq \r(2))，B(0，eq \r(2)，0)，E(0,0,0)，
设平面DAB与平面ABF的一个法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)，
二面角D－AB－F平面角为θ，而eq \(AB,\s\up6(→))＝(0，eq \r(2)，－eq \r(2))，
因为eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(DA,\s\up6(→))＝(－eq \r(2)，0，eq \r(2))，所以F(－eq \r(2)，0，eq \r(2))，即有eq \(AF,\s\up6(→))＝(－eq \r(2)，0,0)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\r(2)x1＋\r(2)z1＝0，,\r(2)y1－\r(2)z1＝0，))取x1＝1，所以n1＝(1,1,1)；
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\r(2)y2－\r(2)z2＝0，,－\r(2)x2＝0，))取y2＝1，所以n2＝(0,1,1)，
所以|cs θ|＝eq \f(|n1·n2|,|n1||n2|)＝eq \f(2,\r(3)×\r(2))＝eq \f(\r(6),3)，
从而sin θ＝eq \r(1－\f(6,9))＝eq \f(\r(3),3).
所以二面角D－AB－F的正弦值为eq \f(\r(3),3).判定定理
性质定理
文字
语言
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直(线线垂直⇒线面垂直)
垂直于同一平面的两直线平行
图形
语言
符号
语言
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a⊂α，,b⊂α，, l⊥a ，, l⊥b ，, a∩b＝P ))⇒l⊥α
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a⊥α，,b⊥α))⇒ a∥b
判定定理
性质定理
文字
语言
如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直．(线面垂直⇒面面垂直)
两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直. (面面垂直⇒线面垂直)
图形
语言
符号
语言
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a⊂α，,a⊥β))⇒ α⊥β
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(α⊥β，,a⊂α，,α∩β＝b，, a⊥b ))⇒ a⊥β