2025版高考数学一轮总复习知识梳理训练题第8章平面解析几何第2讲两条直线的位置关系

这是一份2025版高考数学一轮总复习知识梳理训练题第8章平面解析几何第2讲两条直线的位置关系，共3页。试卷主要包含了两条直线平行，两条直线垂直等内容，欢迎下载使用。

知识点一 两条直线的位置关系
平面内两条直线的位置关系包括 平行、相交、重合 三种情况．
1．两条直线平行
对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2.
对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，
l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．
2．两条直线垂直
对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.
对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2⇔ A1A2＋B1B2＝0 .
知识点二 两条直线的交点
对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0当A1B2－A2B1≠0时，l1与l2相交．
直线l1和l2的交点坐标即为两直线方程组成的方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解．
相交⇔方程组有 唯一解 ；
平行⇔方程组 无解 ；
重合⇔方程组有 无数个解 .
知识点三 三种距离公式
1．平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝eq \r(x1－x22＋y1－y22).
特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝eq \r(x2＋y2).
2．点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).
特别的，点P(x0，y0)到直线l1：x＝a的距离为|x0－a|；到直线l2：y＝b的距离为|y0－b|.
3．两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).
归 纳 拓 展
1．与对称问题相关的常用结论
(1)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y)；
(2)点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y＝k的对称点为(k＋y，x－k)．
特别的：点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．
2．谨防四个易错点
(1)两条直线平行时，不要忘记它们的斜率有可能不存在的情况．
(2)两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况．
(3)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．
(4)用公式法求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等．
双 基 自 测
题组一 走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若两直线的斜率相等，则两直线平行，反之，亦然．( × )
(2)若直线l：mx＋ny＋3＝0平分圆C：x2－2x＋y2－1＝0，则2m－3n＝6.( × )
(3)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0.( √ )
(4)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为eq \f(|kx0＋b|,\r(1＋k2)).( × )
(5)若点A，B关于直线l：y＝kx＋b(k≠0)对称，则直线AB的斜率等于－eq \f(1,k)，且线段AB的中点在直线l上．( √ )
题组二 走进教材
2．(选择性必修1P67T8(1))过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是( A )
A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0
C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0
3．(选择性必修1P77T3)已知点(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于( C )
A.eq \r(2) B．2－eq \r(2)
C．eq \r(2)－1 D．eq \r(2)＋1
[解析] 由题意得eq \f(|a－2＋3|,\r(1＋1))＝1.
解得a＝－1＋eq \r(2)或a＝－1－eq \r(2).
∵a>0，∴a＝－1＋eq \r(2).
题组三 走向高考
4．(2021·全国甲卷)点(3,0)到双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1的一条渐近线的距离为( A )
A.eq \f(9,5) B．eq \f(8,5)
C．eq \f(6,5) D．eq \f(4,5)
[解析] 由题意知，双曲线的渐近线方程为：eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝0，即3x±4y＝0，结合对称性，不妨考虑点(3,0)到直线3x＋4y＝0的距离：d＝eq \f(9＋0,\r(9＋16))＝eq \f(9,5).故选A.
5．坐标原点关于直线x－y－6＝0的对称点的坐标为 (6，－6) .
[解析] 解法一：设坐标原点关于直线x－y－6＝0的对称点的坐标为(a，b)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(b,a)×1＝－1，,\f(a,2)－\f(b,2)－6＝0，))解得a＝6，b＝－6，∴坐标原点关于直线x－y－6＝0的对称点的坐标为(6，－6)．
解法二：过原点与直线x－y－6＝0垂直的直线方程为x＋y＝0，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－6＝0，,x＋y＝0，))得垂足坐标为(3，－3)，故所求对称点的坐标为(6，－6).