2025版高考数学一轮总复习知识梳理训练题第8章平面解析几何第3讲圆的方程直线与圆的位置关系

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知识点一 圆的定义及方程
知识点二 点与圆的位置关系
1．圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)，
(1)(x0－a)2＋(y0－b)2 ＝ r2⇔点在圆上；
(2)(x0－a)2＋(y0－b)2 > r2⇔点在圆外；
(3)(x0－a)2＋(y0－b)2 < r2⇔点在圆内．
2．圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，点M(x0，y0)．
(1)xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F＝0⇔点在圆上；
(2)xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F > 0⇔点在圆外；
(3)xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F < 0⇔点在圆内．
知识点三 直线与圆的位置关系
设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，
圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
d＝eq \f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.
归 纳 拓 展
1．圆心在过切点且垂直于切线的直线上．
2．圆心在任一弦的垂直平分线上．
3．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径的两端点的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
4．二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A＝C≠0，,B＝0，,D2＋E2－4F>0.))
5．(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(2)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在的直线方程为x0x＋y0y＝r2.
(3)过圆外一点P(x0，y0)引圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0)的切线，则点P到切点的切线长为d＝eq \r(x0－a2＋y0－b2－r2)(d＝eq \r(x\\al(2,0)＋y\\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F))．
双 基 自 测
题组一 走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( √ )
(2)圆心为(1，－1)且过原点的圆的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2.( × )
(3)若A(2,0)，B(0，－4)，则以AB为直径的圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝5.( √ )
(4)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的圆．( × )
(5)已知方程x2＋y2－2mx＋4y＋5＝0表示圆，则m的取值范围是(1，＋∞)．( × )
题组二 走进教材
2．(选择性必修1P88T4)圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1，1)和B(1,3)，则圆C的方程为 (x－2)2＋y2＝10 .
[解析] 设圆心坐标为C(a,0)，
∵点A(－1,1)和B(1,3)在圆C上，
∴|CA|＝|CB|，
即eq \r(a＋12＋1)＝eq \r(a－12＋9)，解得a＝2，
∴圆心为C(2,0)，
半径|CA|＝eq \r(2＋12＋1)＝eq \r(10)，
∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.
3．(选择性必修1P98T2(1))以点(2，－1)为圆心且与直线3x－4y＋5＝0相切的圆的方程为( C )
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝3
B．(x＋2)2＋(y－1)2＝3
C．(x－2)2＋(y＋1)2＝9
D．(x＋2)2＋(y－1)2＝9
[解析] 因为圆心(2，－1)到直线3x－4y＋5＝0的距离d＝eq \f(|6＋4＋5|,5)＝3，所以圆的半径为3，即圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝9.故选C.
题组三 走向高考
4．(2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，则⊙M的方程为_(x－1)2＋(y＋1)2＝5__.
[解析] 解法一：∵点M在直线2x＋y－1＝0上，
∴设点M为(a,1－2a)，又因为点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，
∴点M到两点的距离相等且为半径R，
∴eq \r(a－32＋1－2a2)＝eq \r(a2＋－2a2)＝R，
a2－6a＋9＋4a2－4a＋1＝5a2，解得a＝1，
∴M(1，－1)，R＝eq \r(5)，
∴⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
解法二：记A(3,0)，B(0,1)，则kAB＝－eq \f(1,3).
从而可知AB中垂线的方程为3x－y－4＝0，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y－1＝0,3x－y－4＝0))可求得M(1，－1)，
又r2＝|MA|2＝5.
∴⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
5．(2020·高考全国Ⅱ卷)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x－y－3＝0的距离为( B )
A.eq \f(\r(5),5) B．eq \f(2\r(5),5)
C.eq \f(3\r(5),5) D．eq \f(4\r(5),5)
[解析] 设圆心为P(x0，y0)，半径为r，∵圆与x轴，y轴都相切，∴|x0|＝|y0|＝r，又圆经过点(2,1)，∴x0＝y0＝r且(2－x0)2＋(1－y0)2＝r2，∴(r－2)2＋(r－1)2＝r2，解得r＝1或r＝5.①r＝1时，圆心P(1,1)，则圆心到直线2x－y－3＝0的距离d＝eq \f(|2－1－3|,\r(22＋－12))＝eq \f(2\r(5),5)；②r＝5时，圆心P(5,5)，则圆心到直线2x－y－3＝0的距离d＝eq \f(|10－5－3|,\r(22＋－12))＝eq \f(2\r(5),5).故选B.定义
平面内到 定点 的距离等于 定长 的点的集合(轨迹)叫做圆
标准
方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)
圆心C： (a，b)
半径： r
一般
方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)
圆心：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))
半径：r＝ eq \f(\r(D2＋E2－4F),2)
方法
位置关系
几何法
代数法
相交
d_<__r
Δ_>__0
相切
d_＝__r
Δ_＝__0
相离
d_>__r
Δ_<__0