福建省福州市马尾第一中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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(全卷共4页．满分∶150分．考试时间∶120分钟)
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列各点中，在第二象限的点是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
【详解】解：∵第二象限的点的坐标特点是横小于0，纵坐标均大于0，
∴结合四个选项中只有符合条件．
故选：C．
2. 在下列实数中，是无理数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了无理数定义，无限不循环小数为无理数，逐项判断即可，注意带根号的要开不尽方才是无理数，掌握无理数的定义是解题的关键．
【详解】解：A、是有限小数，属于有理数，故本选项不符合题意；
B、是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；
C、是有限小数，属于有理数，故本选项不符合题意；
D、是无理数，故本选项符合题意．
故选：D．
3. 下列算式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平方根及算术平方根的知识，根据平方根、算术平方根的知识，结合各选项进行判断即可，理解算术平方根的非负性是解题的关键．
【详解】解：A、正确应为，该选项不符合题意；
B、，正确，该选项符合题意；
C、是负数，没有平方根、算术平方根，该选项不符合题意；
D、正确应为，该选项不符合题意．
故选：B．
4. 如图，的同位角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了同位角，根据同位角的定义“两条直线被第三条所截，在截线的同旁，在被截线的同一方，我们把这种位置关系的角称为同位角”选择的同位角即可，熟练掌握同位角的定义判断是解题的关键．
【详解】解：根据同位角的定义可得的同位角是，
故选：C．
5. 方程有一组解，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】解：∵方程有一组解，
∴2k+3=5，
解方程可得k=1．
故选：D．
6. 如图，下列条件能判定的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定，逐项判断即可，熟练掌握“同旁内角互补，两直线平行；同位角相等，两直线平行”是解题的关键．
【详解】解：A、，不能判定平行，故本选项不符合题意；
B、，根据“同位角相等，两直线平行”，可判定，故本选项符合题意；
C、，根据“同旁内角互补，两直线平行”，可判定，不能判定，故本选项不符合题意；
D、，根据“同位角相等，两直线平行”，可判定，不能判定，故本选项不符合题意．
故选：B．
7. 下列命题中，是真命题的是（ ）
A. 内错角相等B. 平行于同一条直线的两条直线互相平行
C. 互补的两个角是邻补角D. 相等的角是对顶角
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质和判定、邻补角的定义、对顶角的定义，掌握知识点逐项判断是解题的关键．
【详解】解：A．内错角相等是假命题，应该是是两直线平行，内错角相等，本选项不符合题意；
B．平行于同一条直线的两条直线互相平行，是真命题，本选项符合题意；
C．互补的两个角是邻补角，是假命题，互补的两个角不一定有公共顶点，公共边，本选项不符合题意；
D．相等的角是对顶角，是假命题，有一个公共顶点，且一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角是对顶角，本选项不符合题意．
故选：B．
8. 如图，在一次活动中，位于处的班准备前往相距的处与班会合，那么用方向和距离描述班相对于班的位置是（ ）
A. 南偏西，距离B. 北偏东，距离
C. 南偏西，距离D. 北偏东，距离
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了方位角和距离描述位置，根据图示描述出位置即可，正确理解方位角的意义是解题的关键．
【详解】解：根据图示，得到班相对于班的位置是北偏东，距离，
故选：D．
9. 《九章算术》中第七章《盈不足》记载了一个问题：“今有共买物，人出八，赢三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译文：“现有一些人合伙购买物品，若每人出8钱，则多出3钱；若每人出7钱，则还差4钱．问人数、物品价格各是多少？”设有x个人，物品价格为y钱，则下列方程组中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设有x个人，物品价格为y钱，根据每人出8钱，则多出3钱可得方程，根据每人出7钱，则还差4钱可得方程，由此建立方程组即可．
【详解】解：设有x个人，物品价格为y钱，
由题意得，，
故选B．
【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出二元一次方程组，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．
10. 若（m、n是正整数）， 且 则与实数的最大值最接近的数是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查算术平方根，无理数的估算，根据的取值范围确定的取值，再根据、为整数，确定的最大值，再估算即可．解题的关键是掌握算术平方根的意义是正确估算的前提．
【详解】解：，
，
，
∵，则
即，
又、是正整数，
的最大值为23，
比16更接近23，
的最大值比较接近，即比较接近5，
故选：C．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 把二元一次方程改写成用含的式子表示的形式，则___________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程，移项变形得出答案即可，掌握“移项变号”是解题的关键．
【详解】解：，
移项，得：，
故答案为：．
12. 如图，直线与相交于点，平分，若，则的度数是__________．

【答案】##度
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的定义、对顶角相等，根据角平分线的定义求出的度数，再根据对顶角相等即可得出答案，掌握角平分线的定义、计算角度是解题的关键．
【详解】解：∵平分，，
∴，
∴．
故答案为：．
13. 若一个正数的两个平方根分别是2a+1和a﹣4，则a的值是________．
【答案】1
【解析】
【分析】由于一个正数的两个平方根互为相反数，得：2a+1+a-4=0，解方程即可求出a．
【详解】由题可知：2a+1+a−4=0，
解得：a=1.
故答案为1.
【点睛】考查平方根，一个正数有两个平方根，它们互为相反数.
14. 平面直角坐标系中，有，两点，当轴时，则，两点间的距离是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形，根据轴，列式求出的值，得出、完整坐标，再计算距离即可，明白“平行轴的直线上的点纵坐标相等”是解题的关键．
【详解】解：∵有，两点，当轴时，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，两点间的距离，
故答案为：．
15. 已知方程组的解是，则方程组的解是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，及利用类比的方法解二元一次方程组，解题的关键是学会利用类比以及整体的思想方法解方程组．
【详解】解：∵方程组的解是，
∴，
又∵，
∴，
解得：，
故答案：．
16. 如图，点是直线上的一个动点，点是直线外一定点，现给出以下结论：
①点在运动过程中，使直线的点有两个；
②若，当点从出发，沿射线的方向运动时，先变大再变小；
③若，则三角形的面积是三角形的面积的倍；
④当时，线段的长度就是点到直线的距离．其中正确的是___________．(写出所有正确结论的序号)
【答案】②④
【解析】
【分析】本题主要考查了点到直线的距离和三角形面积公式的理解，根据过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，逐项分析即可，熟练掌握点到直线的距离和三角形面积公式是解题的关键．
【详解】解：①点在运动过程中，使直线的点有两个，说法错误，只有一个；
②若，当点从出发，沿射线的方向运动时，先变大再变小，说法正确；
③若，则三角形的面积是三角形的面积的倍，说法错误，因为点在线段点左边或在点右边时，但点不是线段中点，不能使三角形的面积是三角形的面积的倍；
④当时，线段的长度就是点到直线的距离，说法正确．
综上，正确的是②④，
故答案为：②④．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，掌握相关运算法则是解题的关键．先计算算术平方根、绝对值、立方根，再计算加减即可．
【详解】解：
．
18. 解方程组∶
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
【详解】解：
得：，即，
把代入①得：，
则方程组的解为．
19. 补全下面解答过程：
如图，，，，求证∶．
解∶∵(已知)
∴ ( )．
又∵，，
∴ ．
∴( )．
【答案】；垂直的定义；；同旁内角互补，两直线平行
【解析】
【分析】本题考查了垂直的定义、平行线的判定等知识点，熟练掌握平行线的判定是解题的关键．先根据垂直的定义可得，再根据角的和可得，然后根据“同旁内角互补，两直线平行”即可得证．
【详解】解∶∵（已知），
∴（垂直的定义），
又∵，，
∴，
∴（同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为：；垂直的定义；；同旁内角互补，两直线平行．
20. 要画一个面积为长方形，使它的长与宽之比为3：2，它的长、宽各应取多少？
【答案】，
【解析】
【分析】根据题意可设该长方形的长为3x，宽为2x．再利用它的面积为，即可求出x的值，从而求出长和宽．
【详解】根据该长方形的长与宽之比为3：2，可设该长方形的长为3x，宽为2x．
∵该长方形的面积为，
∴，
解得：，
∴该长方形的长为，宽为．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，根据题意找出数量关系，列出方程是解答本题的关键．
21. 已知的立方根为3，的算术平方根为4， 求的平方根．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了立方根，以及算术平方根和平方根，利用立方根及算术平方根的定义列出方程，得到与的值，确定出的值，即可求出平方根．熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
【详解】解：由题意得，，
解得：，，
则，
∵
∴的平方根是．
22. 如图，已知AD⊥BC于点D，E是BA延长线上一点，且EC⊥BC于点C，若∠ACE=∠E，试说明：AD平分∠BAC．
【答案】见解析
【解析】
【分析】由两个垂直条件可得AD∥EC，从而可得∠BAD=∠E，∠CAD=∠ACE，再由已知即可得结论．
【详解】∵AD⊥BC，EC⊥BC
∴AD∥EC
∴∠BAD=∠E，∠CAD=∠ACE
∵∠ACE=∠E
∴∠BAD=∠CAD
∴AD平分∠BAC
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义等知识，熟练掌握平行线的性质与判定是关键．
23. 萍乡市湘东区有“中国工业陶瓷之都”的美称，湘东区的陶瓷热销全国各地在某次商品交易会上，某陶瓷企业出售了A，B两种产品：已知出售1件A产品和3件B产品共收入1100元，出售2件A产品和5件B产品共收入1900元．
（1）求A产品和B产品每件的售价；
（2）若出售A，B两种产品（均有销售）共收入2200元，则出售A，B两种产品各几件？
【答案】（1）A产品的售价200元，B产品的售价300元；
（2）出售A产品2件，B产品6件或A长品出售5件，B产品出售4件或出售A产品8件，B产品2件.
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，理解题意，找准等量关系，正确列出方程是解此题的关键：
（1）设A产品的售价x元，B产品的售价y元，根据出售1件A产品和3件B产品共收入1100元，出售2件A产品和5件B产品共收入1900元，列出方程组进行求解即可；
（2）设出售A产品a件，则出售B产品b件，根据题意列出二元一次方程进行求解即可.
【小问1详解】
解：设A产品的售价x元，B产品的售价y元，
由题意得，
解得，
答：A产品的售价200元，B产品的售价300元；
【小问2详解】
解：设出售A产品a件，则出售B产品b件，
由题意得，
化简得，
∵a，b为正整数，
∴或或
答：出售A产品2件，B产品6件或A产品出售5件，B产品出售4件或出售A产品8件，B产品2件.
24. 如图，在平面直角坐标系中，三角形中任意一点经过平移后对应点为，将三角形作同样的平移得到三角形，点与点，点与点，点与点分别对应．
（1）直接写出三角形的面积．
（2）画出平移后的三角形，并写出点的坐标；
（3）若点经过同样平移后得到的对应点在坐标轴上，求的值；
（4）连接，请直接写出与轴的交点坐标．
【答案】（1）
（2）图见解析，
（3）或
（4）
【解析】
【分析】本题考查了图形与坐标、平移变换作图、基础图形面积计算，熟练掌握图形与坐标、平移变换、面积计算、分类讨论是解题的关键．
（1）利用网格，用长方形的面积减去另三个三角形的面积，求出三角形的面积即可；
（2）点经过平移后对应点为，得出平移方式为：向右平移格，向下平移格，据此画出平移后的三角形，并写出点的坐标即可；
（3）根据平移方式得出点经过同样平移后得到的对应点坐标为，在坐标轴上，分“当时”、“当时”两种情况，求出的值即可；
（4）记连接交轴于点，取格点，根据的面积梯形的面积的面积，列出等式，结合坐标数据代入计算，求出的长，即可得出与轴的交点坐标．
【小问1详解】
解：；
【小问2详解】
解：如图，即为所求作的图形，
点的坐标为；
【小问3详解】
解：点经过同样平移后得到的对应点坐标为，即，
当时，
；
当时，
．
综上所述，的值为或；
【小问4详解】
解：如图，记连接交轴于点，取格点，
∵的面积梯形的面积的面积，
∴，
，
，
，
∴，
即与轴的交点坐标为．
25. 已知直线，点、分别为，上的动点，且平分交于．
（1）如图，若，，
①直接写出的度数；
②求与的度数．
（2）如图，延长交直线于，平分交于点，写出与的关系，并说明理由．
【答案】（1）①；②，
（2），理由见解析
【解析】
【分析】（1）①根据，结合“两直线平行，同旁内角互补”，计算求出的度数即可；②点向右作，根据角平分线的定义、补角的性质，求出的度数，根据平行线的性质、三角形外角的性质，求出的度数即可；
（2）根据角平分线的定义，设，，结合补角的性质、三角形外角的性质、角的和差，用含和的式子表示出与，观察整理得出与的关系即可．
【小问1详解】
解：①∵，
∴，
又∵，
∴；
②如图，点向右作，
∵平分，
∴，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：，理由如下，
设，，
∴，，
，
∵，
，即，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、三角形外角的性质、角的和差等知识，熟练掌握知识点推理是解题的关键．