江西省南昌市南昌外国语学校教育集团2023-2024学年八年级下学期期中联考数学试题（原卷版+解析版）

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1．本卷为闭卷考试试卷，共六大题，23小题，全卷满分120分，考试时间120分钟．
2．本卷分为试题卷和答题卡，答案要求写在答题卡上，不得在试卷上作答，否则不给分．
一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1. 下列不能构成直角三角形三边长的是（ ）
A. 2、3、4B. 6、8、10C. 3、4、5D. 5、12、13
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形．
【详解】解：A、，不符合勾股定理的逆定理，不能作为直角三角形三边长，故该选项符合题意；
B、，符合勾股定理逆定理，能作为直角三角形三边长，故该选项不符合题意；
C、，符合勾股定理的逆定理，能作为直角三角形三边长，故该选项不符合题意；
D、，符合勾股定理的逆定理，能作为直角三角形三边长，故该选项不符合题意．
故选：A．
2. 下列二次根式中与是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
根据同类二次根式是最简二次根式的被开方数相同，可得答案．
【详解】解：A、与不是最简二次根式，故A错误；
B、与被开方数相同，故与是同类二次根式，故B正确；
C、，故与不是同类二次根式，故C错误；
D、，故与不同类二次根式，故D错误；
故选：B．
3. 下列各式计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的运算和化简；
根据二次根式的性质和运算法则逐项计算即可．
【详解】解：A.，原式计算错误；
B.，原式计算错误；
C.，原式计算错误；
D.，原式计算正确；
故选：D．
4. 如图，以一直角三角形的三边分别向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则B所代表的正方形的面积为（ ）
A. 144B. 196C. 256D. 304
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理、正方形面积公式等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．正由方形的面积公式得出，再由勾股定理得，即可得出答案．
【详解】解：如图，
由正方形面积公式得：，
由勾股定理得：，
∴B所代表的正方形的面积为144，
故选：A．
5. 如图，中，，平分，交于点，，点，分别是和的中点，则的长为（ ）
A. 3B. 2.5C. 2D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】首先根据平行四边形的性质可得，，再结合角平分线的定义和平行线的性质证明为等腰三角形，易得，进而可得，然后结合点，分别是和的中点，易得是的中位线，结合三角形中位线的性质即可获得答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点，分别是和的中点，
∴是的中位线，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义、平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和三角形中位线的性质是解题关键．
6. 如图，一根竹竿斜靠在竖直的墙上，P是的中点，在竹竿的顶端沿墙面下滑的过程中，长度的变化情况是（ ）
A. 不断增大B. 不断减小
C. 先减小后增大D. 不变
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线和两点之间的距离，根据直角三角形斜边上的中线性质得出答案即可．能熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解此题的关键．
【详解】解：，为的中点，
，
即的长在竹竿滑动过程中始终保持不变，
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 若是二次根式，则x的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式被开方数为非负数，列出不等式，解不等式即可．
【详解】解：∵是二次根式，
∴，
解得：．
故答案为：．
8. 实数在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是掌握绝对值的性质和二次根式的性质． 由数轴得出且，据此知，根据绝对值性质和二次根式的性质：化简即可．
【详解】解：由数轴可得且，
，
故答案为：．
9. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是边的中点，点是的中点，连接．若，则________．

【答案】3
【解析】
【分析】由矩形的性质可得，由三角形的中位线定理可得，即可得到答案．
【详解】解：四边形为矩形，
，，
，
点是边的中点，点是的中点，
是的中位线，
，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、三角形中位线定理，熟练掌握矩形的性质、三角形中位线定理，是解题的关键．
10. 如图，在矩形中，，，在数轴上，且点A表示的数是，若以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于点M，则点M表示的数是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查实数与数轴、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用勾股定理求出、的长．
先利用勾股定理求出，根据，求出，由此即可解决问题．
【详解】解：∵四边形是矩形，
，
，
，
，
，
∴点表示点数为．
故答案为：．
11. 如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦8米处（车尾AE到大厦墙面CD），升起云梯到火灾窗口B．已知云梯AB长17米，云梯底部距地面的高米，则发生火灾的住户窗口距离地面多高度BD是______．
【答案】16.5米
【解析】
【分析】在Rt△ABC中利用勾股定理即可求解．
【详解】在Rt△ABC中，AB=17，AC=8，
则（米），
∵根据题意有AE=DC=1.5米，
∴BD=BC+AD=15+1.5=16.5（米），
故答案为：16.5米.
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解答本题的基础．
12. 矩形纸片，长，宽，折叠纸片，使折痕经过点B，交边于点E，点A落在点处，展平后得到折痕，同时得到线段、，不再添加其它线段，当图中存在角时，的长为________．
【答案】2或6或
【解析】
【分析】本题考查了翻折变换、矩形的性质，解决本题的关键是掌握矩形性质．
根据翻折可得，分3种情况讨论：当时或当时或当时求的长．
【详解】解：①当时，设，则，
故在中，，解得，
故(厘米)；
②当时，，
故在中，，
∴ (厘米)；
③时，，延长交于，
∴，
设，则，
在中，，
解得，
设，则，
故在中，，解得，
故(厘米)；
∵(厘米)，
∴，
∴，
∴厘米．
故答案为：2或6或．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. （1）计算：；
（2）已知点、分别为平行四边形的边、的中点，求证：四边形为平行四边形．
【答案】（1）；（2）详见解析
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合远算，平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握这些知识．
（1）根据二次根式的混合运算法则计算即可；
（2）根据四边形是平行四边形，可得，，由点、分别为平行四边形的边、的中点，可推出，即可证明．
【详解】解：（1）
原式
（2）证明：四边形是平行四边形，
，，
点、分别为平行四边形的边、的中点，
，，
，，
四边形为平行四边形．
14. 如图，在中，，，，于．求：

（1）的长和的面积；
（2）的长．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据勾股定理求得的长；利用三角形的面积公式可求出的面积；
（2）再根据三角形的面积公式是一定值求得即可．
【小问1详解】
解：在中，，，，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：，
，
．
【点睛】此题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．
15. 计算：．
解：原式…………第1步
…………………………第2步
………………第3步
……………………第4步
（1）以上解答过程中，从 开始出现错误．
（2）请写出本题的正确解答过程．
【答案】（1）第3步 （2）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的加减法：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
（1）与不能合并，所以第3步开始出现错误；
（2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．
【小问1详解】
解：（1）以上解答过程中，从第3步开始出现错误；
故答案为：第3步；
【小问2详解】
解：正确解答为：
原式
16. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．
【详解】解：原式
当时，原式．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值和二次根式的化简，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
17. 如图，四边形是菱形，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）E为上一点，在图1中画出一个以A、E为顶点的平行四边形；
（2）E为对角线上一点，在图2中画出一个以A、E为顶点的菱形．
【答案】（1）详见解析
（2）详见解析
【解析】
【分析】本题考查复杂作图、平行四边形的性质和判定、菱形的性质和判定、全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
（1）连接交于点O，再连接并延长与交于点F，即为所求；
（2）连接交于点O，再连接并延长与交于点M，再连接并延长与交于点N，连接与交于点F，即为所求；
【小问1详解】
如图（1）为所求．
∵是菱形，
，
，
，
，
∴为平行四边形；
【小问2详解】
如图（2）菱形为所求．
理由：∵是菱形，
，
，
∵，
，
，
∵．
∴为平行四边形；
∴，
，
∵，
，
，
∴平行四边形；
∵是菱形，
∴，，
∴为菱形．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 如图，点E是正方形对角线上一点，，垂足分别为F，G．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若正方形的周长是，当时，求证：四边形是正方形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．掌握相关判定和性质，是解题的关键．
（1）根据三个角是90度的四边形是矩形，即可得证；
（2）根据正方形周长，求出的长，进而求出的长，再证明为等腰直角三角形，得到，推出，即可．
【小问1详解】
证明：∵四边形为正方形，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴四边形是矩形；
【小问2详解】
∵正方形的周长是，
∴．
∵，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴四边形是正方形．
19. 观察下列各式：
；
；
．
回答下列问题：
（1）______；
（2）当为正整数时，______；
（3）计算的值．
【答案】（1）
（2）
（3）10
【解析】
【分析】（1）仿照题目当中所给的分母有理化的方法进行计算即可．
（2）仿照题目当中所给的分母有理化的方法进行计算即可．
（3）先将原式从后往前按倒序重新排列，再将每一个二次根式分母有理化，再用相邻抵消法计算即可求解．
本题是二次根式的规律探索题，解决本题的关键是正确的对二次根式进行化简，找到结果与算式之间存在的关系和规律．
【小问1详解】
．
故答案为：
【小问2详解】
．
故答案为：
【小问3详解】
．
20. 已知，如图，在中，，是的中线，F是的中点，连接并延长到E，使，连接、．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求菱形的面积．
【答案】（1）详见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，三角三角形斜边中线的性质，勾股定理等众多知识点，熟悉掌握以上知识点是解题的关键．
（1）根据三角形中线性质可得，再由已知条件可证得；根据直角三角形斜边中线性质得，可证，进而可求解；
（2）通过证明四边形是平行四边形，求得，利用勾股定理求得的长，再利用菱形的面积公式即可求解．
【小问1详解】
证明：∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
∵是中线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
【小问2详解】
解：连接，
，
∴四边形是平行四边形，
，
是中线，
，
，
，
∵四边形是菱形，
∴菱形的面积为．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 数学家发现在一个直角三角形中，两个直角边边长的平方和等于斜边长的平方．如图①，设直角三角形的两条直角边长度分别是a和，斜边长度是c，那么可以用数学语言表达：．

（1）如图②所示，将4块与图①完全相同的直角三角形拼成一个边长为c的正方形，则四边形是一个________（填“长方形”或“正方形”），其面积为________（用含a、b的代数式表示）；
（2）观察图②，利用面积之间的恒等关系，试说明的正确性；
（3）如图③所示，折叠长方形的一边，使点D落在边的点F处，已知，，利用上面的结论求的长．
【答案】（1）正方形，
（2）详见解析 （3）
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，矩形与折叠问题，勾股定理的证明，勾股定理等等：
（1）根据题意可得，据此可得答案；
（2）根据正方形的面积等于四个全等的直角三角形面积加上正方形的面积，列式证明即可；
（3）先求出，，再由勾股定理求出，进而得出，设，则，，最后用勾股定理，建立方程求解，即可得出结论．
【小问1详解】
解：由题意得，，
∴四边形是一个正方形，其面积为，
故答案为：正方形，；
【小问2详解】
证明：∵正方形的边长为，
∴正方形的面积为，
∵正方形的面积等于四个全等的直角三角形面积加上正方形的面积，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：四边形是长方形，
，，，
由折叠得，，，
在中，，
即，
解得：，
又，
，
设，
则，
在中，，
，
解得，
即．
22. 探究：，________，________，，．
完成上述计算并根据计算结果回答下面问题：
（1）观察可知，________；
（2）利用你总结的规律计算：；
（3）已知a，b，c为的三边长．化简：．
【答案】探究：0.5，5，（1）；（2）π；（3）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质，化简绝对值以及三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
探究：模仿题干，直接作答；
（1）根据探究的内容，直接作答；
（2）先整理，再化简绝对值，即可作答．
（3）先整理：，再结合三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，进行化简绝对值，即可作答．
【详解】解：探究：∵，，．
∴
故答案为：0.5，5，
（1）由探究的内容，得出；
（2）∵
∴
∵
∴原式；
（3）依题意，
∵a，b，c为的三边长．
∴
∴原式．
六、解答题（本大题共1小题，共12分）
23. 定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形．
（1）如图1，在邻余四边形中，，则________；
（2）如图2，在中，，，垂直平分交于点，垂足为，且，，为上一点，求证：四边形是邻余四边形；
（3）如图3、图4，在邻余四边形中，为中点，，
①如图3，当时，判断四边形的形状并证明你的结论；
②如图4，当，时，求的长．
【答案】（1）
（2）详见解析 （3）①平行四边形，详见解析；②
【解析】
【分析】本题是四边形的综合题，涉及勾股定理，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用这些知识．
（1）根据邻余四边形的定义即可求解；
（2）根据垂直平分线的定义可得，，根据勾股定理可得，进而求出，再根据勾股定理的逆定理可得，推出，即可证明；
（3）①由，可得，推出，根据邻余四边形的定义得到，进而得到，推出，证明，得到，即可证明；②延长到点，使，连接，，证明，得到，，根据邻余四边形的定义分两种情况讨论：当时，当时，即可求解．
【小问1详解】
解：在邻余四边形中，，且，，
，
，
故答案为：；
【小问2详解】
证明：垂直平分， ，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
，
，
，
四边形是邻余四边形；
【小问3详解】
①四边形是平行四边形，证明如下：
，
，
，
，
，
，
在邻余四边形中，，
，
，
，
，
为中点，
，
在和中，
，
，
，
由，
四边形是平行四边形；
②如下图，延长到点，使，连接，，
为中点，，
是的垂直平分线，
，，
，
，
，，
在邻余四边形中，，
可分两种情况讨论：
当时，
则，
；
当时，
则，
，与矛盾，
此种情况不存在；
综上，的长为．