专题08 不等式及不等式组-备战2024年中考数学真题题源解密（全国通用）

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1.结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质；
2.能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集；
3.会用数轴确定由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集；
4.能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的问题.
本考点内容以考查依据题意列不等式并解决问题、不等式组表示取值范围为主，体现了不等式的工具性，年年考查,是广大考生的得分点，分值为6-10分左右。预计2024年各地中考还将继续考查这两个知识点，重要题型有解不等式（组）、不等式含参、不等式相关的应用题以及不等式的性质，为避免丢分，学生应扎实掌握。
►考向一 不等式的性质
1．（2023•北京）已知a﹣1＞0，则下列结论正确的是（ ）
A．﹣1＜﹣a＜a＜1B．﹣a＜﹣1＜1＜aC．﹣a＜﹣1＜a＜1D．﹣1＜﹣a＜1＜a
【思路点拨】根据不等式的性质，进行计算即可解答．
【规范解答】解：∵a﹣1＞0，
∴a＞1，
∴﹣a＜﹣1，
∴﹣a＜﹣1＜1＜a，
故选：B．
【真题剖析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
2．（2022•杭州）已知a，b，c，d是实数，若a＞b，c＝d，则（ ）
A．a+c＞b+dB．a+b＞c+dC．a+c＞b﹣dD．a+b＞c﹣d
【思路点拨】根据不等式的性质判断A选项；根据特殊值法判断B，C，D选项．
【规范解答】解：A选项，∵a＞b，c＝d，
∴a+c＞b+d，故该选项符合题意；
B选项，当a＝2，b＝1，c＝d＝3时，a+b＜c+d，故该选项不符合题意；
C选项，当a＝2，b＝1，c＝d＝﹣3时，a+c＜b﹣d，故该选项不符合题意；
D选项，当a＝﹣1，b＝﹣2，c＝d＝3时，a+b＜c﹣d，故该选项不符合题意；
故选：A．
【真题剖析】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的两边同时加上或减去同一个整式（或相等的整式），不等号的方向不变是解题的关键．
3．（2022•泰州）已知a＝2m2﹣mn，b＝mn﹣2n2，c＝m2﹣n2（m≠n），用“＜”表示a、b、c的大小关系为 b＜c＜a ．
【思路点拨】代数式的比较，常用的方法是作差法或者作商法，由于填空题不需要过程的特殊性，还可以考虑特殊值代入法．考虑到答案唯一，因此特殊值代入法最合适，也最简单．
【规范解答】解：解法1：令m＝1，n＝0，
则a＝2，b＝0，c＝1．
∵0＜1＜2．
∴b＜c＜a．
解法2：∵a﹣c＝（2m2﹣mn）﹣（m2﹣n2）＝（m﹣0.5n）2+0.75n2＞0；
∴c＜a；
∵c﹣b＝（m2﹣n2）﹣（mn﹣2n2）＝（m﹣0.5n）2+.075n2＞0；
∴b＜c；
∴b＜c＜a．
【真题剖析】本题考查不等式的性质，但是直接利用不等式的性质并不容易求解，考虑到填空题不需要过程，所以特殊值代入法也是最好的选择．
►考向二 不等式的解集
4．（2021•包头）定义新运算“⨂”，规定：a⨂b＝a﹣2b．若关于x的不等式x⨂m＞3的解集为x＞﹣1，则m的值是（ ）
A．﹣1B．﹣2C．1D．2
【思路点拨】根据定义新运算的法则得出不等式，解不等式；根据解集列方程即可．
【规范解答】解∵a⨂b＝a﹣2b，
∴x⨂m＝x﹣2m．
∵x⨂m＞3，
∴x﹣2m＞3，
∴x＞2m+3．
∵关于x的不等式x⨂m＞3的解集为x＞﹣1，
∴2m+3＝﹣1，
∴m＝﹣2．
故选：B．
【真题剖析】本题考查了新定义计算在不等式中的运用，读懂新定义并熟练的解不等式是解题的关键．
5．（2020•株洲）下列哪个数是不等式2（x﹣1）+3＜0的一个解？（ ）
A．﹣3B．﹣C．D．2
【思路点拨】首先求出不等式的解集，然后判断哪个数在其解集范围之内即可．
【规范解答】解：解不等式2（x﹣1）+3＜0，得，
因为只有﹣3＜，所以只有﹣3是不等式2（x﹣1）+3＜0的一个解，
故选：A．
【真题剖析】此题考查不等式解集的意义．解题的关键是掌握不等式的基本性质，会解解简单的不等式．
解不等式要依据不等式的基本性质：
（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式，不等号的方向不变；
（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；
（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．
►考向三 在数轴上表示不等式的解集
6．（2023•沈阳）不等式x≥1的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【思路点拨】根据在数轴上表示不等式解集的方法表示不等式x≥1的解集即可．
【规范解答】解：不等式x≥1的解集在数轴上表示为：
故选：B．
【真题剖析】本题考查在数轴上表示不等式的解集，掌握在数轴上表示不等式解集的方法是正确解答的关键．
7．（2022•梧州）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A．B．
C．D．
【思路点拨】求出两个不等式的公共解，并将解集在数轴上表示出来即可．
【规范解答】解：
所以不等式组的解集为﹣1＜x＜2，
在数轴上表示为：
，
故选：C．
【真题剖析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到是关键．
8．（2022•枣庄）在下面给出的三个不等式中，请你任选两个组成一个不等式组，解这个不等式组，并把解集表示在数轴上．
①2x﹣1＜7；②5x﹣2＞3（x+1）；③x+3≥1﹣x．
【思路点拨】选出两个不等式，组成不等式组，并解不等式组即可．
【规范解答】解：，
解不等式①得：x＜4，
解不等式②得：x＞，
∴不等式组的解集，
把解集表示在数轴上如下：
【真题剖析】本题考查一元一次不等式组的解法，能熟练地解不等式组是解题关键．
►考向四 解一元一次不等式
9．（2023•攀枝花）下列各数是不等式x﹣1≥0的解的是（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．1
【思路点拨】移项即可得出答案．
【规范解答】解：∵x﹣1≥0，
∴x≥1，
故选：D．
【真题剖析】本题考查不等式的解集，解题的关键是正确理解不等式的解的概念，本题属于
基础题型．
10．（2023•宜昌）解不等式＞x﹣1，下列在数轴上表示的解集正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【思路点拨】解不等式求得其解集，然后在数轴上表示其解集即可．
【规范解答】解：＞x﹣1，
去分母得：1+4x＞3（x﹣1），
去括号得：1+4x＞3x﹣3，
移项，合并同类项得：x＞﹣4，
那么在数轴上表示其解集如图所示：
，
故选：D．
【真题剖析】本题考查在数轴上表示一元一次不等式的解集，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
11．（2022•温州）（1）计算：+（﹣3）2+3﹣2﹣|﹣|．
（2）解不等式9x﹣2≤7x+3，并把解集表示在数轴上．
【思路点拨】（1）根据算术平方根、有理数的乘方、负整数指数幂和绝对值可以解答本题；
（2）先解出不等式的解集，再在数轴上表示出其解集即可．
【规范解答】解：（1）+（﹣3）2+3﹣2﹣|﹣|
＝3+9+﹣
＝12；
（2）9x﹣2≤7x+3，
移项，得：9x﹣7x≤3+2，
合并同类项，得：2x≤5，
系数化为1，得：x≤2.5，
其解集在数轴上表示如下：
．
【真题剖析】本题考查实数的运算、解一元一次不等式，解答本题的关键是明确实数运算的运算法则和解一元一次不等式的方法．
►考向五 一元一次不等式的整数解
12．（2023•宿迁）不等式x﹣2≤1的最大整数解是 3 ．
【思路点拨】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项可得．
【规范解答】解：移项，得：x≤1+2，
合并同类项，得：x≤3，
则不等式的最大整数解为3；
故答案为：3．
【真题剖析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是
关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
13．（2022•陕西）求不等式﹣1＜的正整数解．
【思路点拨】解不等式求出x的范围，再取符合条件的正整数即可．
【规范解答】解：两边同时乘以4得：2x﹣4＜x+1，
移项得：2x﹣x＜1+4，
合并同类项得：x＜5，
∴不等式的正整数解有：4，3，2，1．
【真题剖析】本题考查一元一次不等式的整数解，解题的关键是掌握解一元一次不等式的一般步骤．
►考向六 一元一次不等式的应用
14．（2023•西宁）象征吉祥富贵的丁香花是西宁市市花．为美化丁香大道，园林局准备购买某种规格的丁香花，若每棵6元，总费用不超过5000元，则最多可以购买 833 棵．
【思路点拨】设购买x棵丁香花，根据总费用不超过5000元得：6x≤5000，解出x的值，结合x为整数即可得到答案．
【规范解答】解：设购买x棵丁香花，
根据题意得：6x≤5000，
解得x≤833，
∵x为整数，
∴x的最大值为833，
∴最多可以购买833棵；
故答案为：833．
【真题剖析】本题考查一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出一元一次不等式．
15．（2023•广东）某商品进价4元，标价5元出售，商家准备打折销售，但其利润率不能少于10%，则最多可打 8.8 折．
【思路点拨】利润率不能少于10%，意思是利润率大于或等于10%，相应的关系式为：（打折后的销售价﹣进价）÷进价≥10%，把相关数值代入即可求解．
【规范解答】解：设这种商品可以按x折销售，
则售价为5×0.1x，那么利润为5×0.1x﹣4，
所以相应的关系式为5×0.1x﹣4≥4×10%，
解得：x≥8.8．
答：该商品最多可以打8.8折，
故答案为：8.8．
【真题剖析】此题主要考查了一元一次不等式的应用，解决本题的关键是得到利润率的相关关系式，注意“不能低于”用数学符号表示为“≥”；利润率是利润与进价的比值．
16．（2023•湖北）创建文明城市，构建美好家园．为提高垃圾分类意识，幸福社区决定采购A，B两种型号的新型垃圾桶．若购买3个A型垃圾桶和4个B型垃圾桶共需要580元，购买6个A型垃圾桶和5个B型垃圾桶共需要860元．
（1）求两种型号垃圾桶的单价；
（2）若需购买A，B两种型号的垃圾桶共200个，总费用不超过15000元，至少需购买A型垃圾桶多少个？
【思路点拨】（1）设A型垃圾桶单价为x元，B型垃圾桶单价为y元，根据购买3个A型垃圾桶和4个B型垃圾桶共需要580元，购买6个A型垃圾桶和5个B型垃圾桶共需要860元，列出二元一次方程组，即可求解；
（2）设A型垃圾桶a个，根据总费用不超过15000元，列出不等式，即可求解．
【规范解答】解：（1）设A型垃圾桶单价为x元，B型垃圾桶单价为y元，
由题意可得：，
解得：，
答：A型垃圾桶单价为60元，B型垃圾桶单价为100元；
（2）设A型垃圾桶a个，
由题意可得：60a+100（200﹣a）≤15000，
a≥125，
答：至少需购买A型垃圾桶125个．
【真题剖析】本题考查了一元一次不等式组的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
►考向七 解一元一次不等式组
17．（2023•广州）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A．B．
C．D．
【思路点拨】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．
【规范解答】解：，
解不等式①得：x≥﹣1，
解不等式②得：x＜3，
∴原不等式组的解集为：﹣1≤x＜3，
∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
18．（2023•湖州）解一元一次不等式组．
【思路点拨】先解每一个不等式，再求它们的公共部分．
【规范解答】解：解不等式①，得x＞﹣1，
解不等式②，得x＜2，
所以原不等式组的解集是﹣1＜x＜2．
【真题剖析】本题考查了解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式是解题的关键，
19．（2023•甘孜州）（1）计算：；
（2）解不等式组：．
【思路点拨】（1）根据零指数幂与绝对值的意义和特殊角的三角函数值得到原式＝1+﹣2×，然后合并即可；
（2）先分别解两个不等式得到 x≥1和x＜4，然后根据大小小大中间找确定不等式组的解集．
【规范解答】解：（1）原式＝1+﹣2×
＝1+﹣
＝1；
（2）解不等式①，得 x≥1，
解不等号式②，得x＜4，
所以原不等式组的解集为1≤x＜4．
【真题剖析】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分．也考查了实数的运算．
►考向八 一元一次不等式组的整数解
20．（2023•宜宾）若关于x的不等式组所有整数解的和为14，则整数a的值为 2或﹣1 ．
【思路点拨】求出a﹣1＜x≤5，根据所有整数解的和为14，列出关于a的不等式组，解得a的范围，即可求得答案．
【规范解答】解：，
解不等式①得：x＞a﹣1，
解不等式②得：x≤5，
∴a﹣1＜x≤5，
∵所有整数解的和为14，
∴不等式组的整数解为5，4，3，2或5，4，3，2，1，0，﹣1，
∴1≤a﹣1＜2或﹣2≤a﹣1＜﹣1，
∴2≤a＜3或﹣1≤a＜0，
∵a为整数，
∴a＝2或a＝﹣1，
故答案为：2或﹣1．
【真题剖析】本题考查不等式组的整数解，解题的关键是根据题意列出关于a的不等式组．
21．（2023•凉山州）不等式组的所有整数解的和是 7 ．
【思路点拨】求出不等式组的解集，确定出整数解，求出之和即可．
【规范解答】解：，
解不等式①得：x＞，
解不等式②得x≤4，
∴不等式组的解集为﹣＜x≤4，
由x为整数，可取﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，
则所有整数解的和为7，
故答案为：7．
【真题剖析】此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
22．（2023•大庆）若关于x的不等式组有三个整数解，则实数a的取值范围为 ﹣3≤a＜﹣2 ．
【思路点拨】首先解不等式组求得解集，然后根据不等式组有三个整数解，确定整数解，则可以得到一个关于a的不等式组求得a的范围．
【规范解答】解：解不等式3（x﹣1）＞x﹣6，得：x＞﹣1.5，
解不等式8﹣2x+2a≥0，得：x≤a+4，
∵不等式组有三个整数解，
∴不等式组的整数解为﹣1，0、1，
则1≤a+4＜2，
解得﹣3≤a＜﹣2．
故答案为：﹣3≤a＜﹣2．
【真题剖析】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
►考向九 一元一次不等式组的应用
23．（2023•怀化）某中学组织学生研学，原计划租用可坐乘客45人的A种客车若干辆，则有30人没有座位；若租用可坐乘客60人的B种客车，则可少租6辆，且恰好坐满．
（1）求原计划租用A种客车多少辆？这次研学去了多少人？
（2）若该校计划租用A、B两种客车共25辆，要求B种客车不超过7辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方案？
（3）在（2）的条件下，若A种客车租金为每辆220元，B种客车租金每辆300元，应该怎样租车才最合算？
【思路点拨】（1）设原计划租用A种客车x辆，则这次研学去了（45x+30）人，根据这次去研学的人数不变，可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设租用B种客车y辆，则租用A种客车（25﹣y）辆，根据“租用的25辆客车可乘坐人数不少于1200人，且租用的B种客车不超过7辆”，可得出关于y的一元一次不等式组，解之可得出y的取值范围，再结合y为正整数，即可得出各租车方案；
（3）利用总租金＝每辆A种客车的租金×租用A种客车的辆数+每辆B种客车的租金×租用B种客车的辆数，可分别求出选择各方案所需总租金，比较后，即可得出结论．
【规范解答】解：（1）设原计划租用A种客车x辆，则这次研学去了（45x+30）人，
根据题意得：45x+30＝60（x﹣6），
解得：x＝26，
∴45x+30＝45×26+30＝1200．
答：原计划租用A种客车26辆，这次研学去了1200人；
（2）设租用B种客车y辆，则租用A种客车（25﹣y）辆，
根据题意得：，
解得：5≤y≤7，
又∵y为正整数，
∴y可以为5，6，7，
∴该学校共有3种租车方案，
方案1：租用5辆B种客车，20辆A种客车；
方案2：租用6辆B种客车，19辆A种客车；
方案3：租用7辆B种客车，18辆A种客车；
（3）选择方案1的总租金为300×5+220×20＝5900（元）；
选择方案2的总租金为300×6+220×19＝5980（元）；
选择方案3的总租金为300×7+220×18＝6060（元）．
∵5900＜5980＜6060，
∴租用5辆B种客车，20辆A种客车最合算．
【真题剖析】本题考查了一元一次不等式组的应用、一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次方程，（3）根据各数量之间的关系，求出选择各方案所需总租金．
24．（2022•泸州）某经销商计划购进A，B两种农产品．已知购进A种农产品2件，B种农产品3件，共需690元；购进A种农产品1件，B种农产品4件，共需720元．
（1）A，B两种农产品每件的价格分别是多少元？
（2）该经销商计划用不超过5400元购进A，B两种农产品共40件，且A种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍．如果该经销商将购进的农产品按照A种每件160元，B种每件200元的价格全部售出，那么购进A，B两种农产品各多少件时获利最多？
【思路点拨】（1）设每件A种农产品的价格是x元，每件B种农产品的价格是y元，根据“购进A种农产品2件，B种农产品3件，共需690元；购进A种农产品1件，B种农产品4件，共需720元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该经销商购进m件A种农产品，则购进（40﹣m）件B种农产品，利用总价＝单价×数量，结合购进A种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍且总价不超过5400元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，设两种农产品全部售出后获得的总利润为w元，利用总利润＝每件的销售利润×销售数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【规范解答】解：（1）设每件A种农产品的价格是x元，每件B种农产品的价格是y元，
依题意得：，
解得：．
答：每件A种农产品的价格是120元，每件B种农产品的价格是150元．
（2）设该经销商购进m件A种农产品，则购进（40﹣m）件B种农产品，
依题意得：，
解得：20≤m≤30．
设两种农产品全部售出后获得的总利润为w元，则w＝（160﹣120）m+（200﹣150）（40﹣m）＝﹣10m+2000．
∵﹣10＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝20时，w取得最大值，此时40﹣m＝40﹣20＝20．
答：当购进20件A种农产品，20件B种农产品时获利最多．
【真题剖析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
1．（2023•德阳）如果a＞b，那么下列运算正确的是（ ）
A．a﹣3＜b﹣3B．a+3＜b+3C．3a＜3bD．＜
【思路点拨】不等式的基本性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，由此即可判断．
【规范解答】解：A、若a＞b，则a﹣3＞b﹣3，故A不符合题意；
B、若a＞b，则a+3＞b+3，故B不符合题意；
C、若a＞b，则3a＞3b，故C不符合题意；
D、若a＞b，则＜，正确，故D符合题意．
故选：D．
【真题剖析】本题考查不等式的性质，关键是掌握不等式的性质．
2．（2022•包头）若m＞n，则下列不等式中正确的是（ ）
A．m﹣2＜n﹣2B．﹣m＞﹣nC．n﹣m＞0D．1﹣2m＜1﹣2n
【思路点拨】A、不等式的两边同时减去2，不等号的方向不变；
B、不等式的两边同时乘以﹣，不等号的方向改变；
C、不等式的两边同时减去m，不等号的方向不变；
D、不等式的两边同时乘以﹣2，不等号的方向改变．
【规范解答】解：A、m﹣2＞n﹣2，∴不符合题意；
B、﹣mn，∴不符合题意；
C、m﹣n＞0，∴不符合题意；
D、∵m＞n，
∴﹣2m＜﹣2n，
∴1﹣2m＜1﹣2n，∴符合题意；
故选：D．
【真题剖析】本题主要考查了不等式的性质，掌握不等式的3个性质是解题关键．
3．（2023•内江）在函数y＝中，自变量x的取值范围在数轴上表示为（ ）
A．B．
C．D．
【思路点拨】根据二次根式的被开方数为非负数，列出不等式，求出解集，即可判断．
【规范解答】解：根据题意可得：x﹣1≥0，
解得：x≥1．
故答案为：D．
【真题剖析】本题主要考查了函数的知识、数轴的知识、二次根式的知识、一元一次不等式的知识，难度不大．
4．（2023•内蒙古）关于x的一元一次不等式x﹣1≤m的解集在数轴上的表示如图所示，则m的值为（ ）
A．3B．2C．1D．0
【思路点拨】首先根据解一元一次不等式的步骤，求出不等式x﹣1≤m的解集，然后根据不等式的解集是x≤3，求出m的值即可．
【规范解答】解：移项，可得：x≤m+1，
根据图示，不等式的解集是x≤3，
∴m+1＝3，
解得m＝2．
故选：B．
【真题剖析】此题主要考查了解一元一次不等式的方法，解一元一次不等式的基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
5．（2023•台州）不等式x+1≥2的解集在数轴上表示为（ ）
A．B．
C．D．
【思路点拨】直接解一元一次不等式，再将解集在数轴上表示即可．
【规范解答】解：x+1≥2，
解得：x≥1，
在数轴上表示，如图所示：
．
故选：B．
【真题剖析】此题主要考查了解一元一次不等式，正确解不等式是解题关键．
6．（2023•娄底）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【思路点拨】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
【规范解答】解：，
解不等式①得：x＞﹣2，
解不等式②得：x≤1，
∴原不等式组的解集为：﹣2＜x≤1，
∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
故选：C．
【真题剖析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
7．（2023•眉山）关于x的不等式组的整数解仅有4个，则m的取值范围是（ ）
A．﹣5≤m＜﹣4B．﹣5＜m≤﹣4C．﹣4≤m＜﹣3D．﹣4＜m≤﹣3
【思路点拨】先解不等式组，再根据仅有4个整数解得出m的不等式组，再求解．
【规范解答】解：解不等式组得：m+3＜x＜3，
由题意得：﹣2≤m+3＜﹣1，
解得：﹣5≤m＜﹣4，
故选：A．
【真题剖析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，掌握解不等式组的方法是解题的关键．
8．（2023•黄石）若实数a使关于x的不等式组的解集为﹣1＜x＜4，则实数a的取值范围为 a≤﹣1 ．
【思路点拨】求出不等式组的解，根据其解集求出a的取值范围即可．
【规范解答】解：解不等式组，得．
∵它的解集为﹣1＜x＜4，
∴a≤﹣1．
故答案为：a≤﹣1．
【真题剖析】本题考查不等式的解集，正确求解不等式是本题的关键．
9．（2023•乐山）不等式x﹣1＞0的解集是 x＞1 ．
【思路点拨】根据不等式的基本性质，左右两边同时加上1，就可求出x的取值范围．
【规范解答】解：解不等式x﹣1＞0得，x＞1．
【真题剖析】解答此题的关键是要熟知不等式两边同时加上一个数，不等号的方向不变．
10．（2023•聊城）若不等式组的解集为x≥m，则m的取值范围是 m≥﹣1 ．
【思路点拨】解出不等式，根据不等式解的性质判断m的取值范围．
【规范解答】解：∵不等式组，解得，
∵x≥m，
∴m≥﹣1．
故答案为：m≥﹣1．
【真题剖析】本题以不等式为背景考查了不等式解集的性质，解决问题的关键是明确解出不等式是同大取大的性质．
11．（2023•黑龙江）关于x的不等式组有3个整数解，则实数m的取值范围是 ﹣3≤m＜﹣2 ．
【思路点拨】先求出不等式组中每个不等式的解集，然后求出其公共解集，最后求其整数解进而求得m的取值范围．
【规范解答】解：解不等式x+5＞0，得：x＞﹣5，
解不等式x﹣m≤1，得：x≤m+1，
∵不等式组有3个整数解，
∴不等式组的3个整数解为﹣4、﹣3、﹣2，
∴﹣2≤m+1＜﹣1，
∴﹣3≤m＜﹣2．
故答案为：﹣3≤m＜﹣2．
【真题剖析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能得出关于m的不等式组．
12．（2022•宜昌）解不等式≥+1，并在数轴上表示解集．
【思路点拨】不等式去分母，去括号，移项，合并，把x系数化为1，求出解集，表示在数轴上即可．
【规范解答】解：去分母得：2（x﹣1）≥3（x﹣3）+6，
去括号得：2x﹣2≥3x﹣9+6，
移项得：2x﹣3x≥﹣9+6+2，
合并同类项得：﹣x≥﹣1，
系数化为1得：x≤1．
．
【真题剖析】此题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．
13．（2022•河北）整式3（﹣m）的值为P．
（1）当m＝2时，求P的值；
（2）若P的取值范围如图所示，求m的负整数值．
【思路点拨】（1）把m＝2代入代数式中进行计算便可；
（2）根据数轴列出m的不等式进行解答便可．
【规范解答】解：（1）根据题意得，P＝3（﹣2）＝3×（﹣）＝﹣5；
（2）由数轴知，P≤7，
即3（﹣m）≤7，
解得m≥﹣2，
∵m为负整数，
∴m＝﹣1．﹣2．
【真题剖析】本题考查了求代数式的值，解一元一次不等式的解集，不等式的解集的应用，第（2）题关键是根据数轴列出m的不等式．
14．（2023•淄博）某古镇为发展旅游产业，吸引更多的游客前往游览，助力乡村振兴，决定在“五一”期间对团队*旅游实行门票特价优惠活动，价格如下表：
*题中的团队人数均不少于10人．
现有甲、乙两个团队共102人，计划利用“五一”假期到该古镇旅游，其中甲团队不足50人，乙团队多于50人．
（1）如果两个团队分别购票，一共应付5580元，问甲、乙团队各有多少人？
（2）如果两个团队联合起来作为一个“大团队”购票，比两个团队各自购票节省的费用不少于1200元，问甲团队最少多少人？
【思路点拨】（1）设甲团队有x人，乙团队（102﹣x）人，但需要考虑乙团队人数是否大于100，所以分类讨论即可．甲团队按票价是每人80元，乙团队按票价是每人60元，如果乙超过100人，大概需要缴纳4000多元，但是5580元减去4000多元，剩下的钱不足以构成甲的人数，因为此时甲的人数只能是1人，所以这种情况省略；所以甲人数在50以下，乙人数在51到100之间，联列方程即可；
（2）两个团队要合起来购票的话，每人40元，列出一共购票的钱和各自购票的钱之和，然后建立不等式即可求解；
【规范解答】解：（1）设甲人数x人，乙人数（102﹣x）人；
∵当乙大于100人时，此时甲人数只能是1人，共花的价格不够5580元；
∴乙人数在51到100之间，甲人数在10到50之间；
∴列方程得：60x+（102﹣x）50＝5580；
解之得：x＝48，102﹣x＝54；
∴甲48人，乙54人；
答：甲团队48人，乙团队54人．
（2）设甲人数x人，乙人数（102﹣x）人；
甲乙一起买价格：102×40＝4080（元）；
甲乙分开买价格：60x+（102﹣x）50；
∴60x+（102﹣x）50﹣4080≥1200；
解之得：x≥18．
∴甲最少18人；
答：甲团队最少18人．
【真题剖析】本题考查学生不等式的基本应用，属于基础题．
15．（2023•眉山）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得茅盾文学奖的甲，乙两种书共100本，已知购买2本甲种书和1本乙种书共需100元；购买3本甲种书和2本乙种书共需165元．
（1）求甲，乙两种书的单价分别为多少元；
（2）若学校决定购买以上两种书的总费用不超过3200元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？
【思路点拨】（1）设甲种书的单价是x元，乙种书的单价是y元，根据“购买2本甲种书和1本乙种书共需100元；购买3本甲种书和2本乙种书共需165元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该校购买甲种书m本，则购买乙种书（100﹣m）本，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过3200元，可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
【规范解答】解：（1）设甲种书的单价是x元，乙种书的单价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：甲种书的单价是35元，乙种书的单价是30元；
（2）设该校购买甲种书m本，则购买乙种书（100﹣m）本，
根据题意得：35m+30（100﹣m）≤3200，
解得：m≤40，
∴m的最大值为40．
答：该校最多可以购买甲种书40本．
【真题剖析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
16．（2023•哈尔滨）佳衣服装厂给某中学用同样的布料生产A，B两种不同款式的服装，每套A款服装所用布料的米数相同，每套B款服装所用布料的米数相同．若1套A款服装和2套B款服装需用布料5米，3套A款服装和1套B款服装需用布料7米．
（1）求每套A款服装和每套B款服装需用布料各多少米；
（2）该中学需要A，B两款服装共100套，所用布料不超过168米，那么该服装厂最少需要生产多少套B款服装？
【思路点拨】（1）设每套A款服装需用布料x米，每套B款服装需用布料y米，根据“1套A款服装和2套B款服装需用布料5米，3套A款服装和1套B款服装需用布料7米”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该服装厂需要生产m套B款服装，则需要生产（100﹣m）套A款服装，根据所用布料不超过168米，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
【规范解答】解：（1）设每套A款服装需用布料x米，每套B款服装需用布料y米，
根据题意得：，
解得：．
答：每套A款服装需用布料1.8米，每套B款服装需用布料1.6米；
（2）设该服装厂需要生产m套B款服装，则需要生产（100﹣m）套A款服装，
根据题意得：1.8（100﹣m）+1.6m≤168，
解得：m≥60，
∴m的最小值为60．
答：该服装厂最少需要生产60套B款服装．
【真题剖析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
17．（2023•长沙）为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于1小时”的文件精神．某校利用课后服务时间，在八年级开展“体育赋能，助力成长”班级篮球赛，共16个班级参加．
（1）比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3分，负一场积1分．某班级在15场比赛中获得总积分为41分，问该班级胜负场数分别是多少？
（2）投篮得分规则：在3分线外投篮，投中一球可得3分，在3分线内（含3分线）投篮，投中一球可得2分，某班级在其中一场比赛中，共投中26个球（只有2分球和3分球），所得总分不少于56分，问该班级这场比赛中至少投中了多少个3分球？
【思路点拨】（1）设胜了x场，负了y场，根据15场比赛中获得总积分为41分可列方程组，求解即可．
（2）设班级这场比赛中投中了m个3分球，则投中了（26﹣m）个2分球，根据所得总分不少于56分，列出相应的不等式，从而可以求出答案．
【规范解答】解：（1）设胜了x场，负了y场，
根据题意得：，
解得，
答：该班级胜负场数分别是13场和2场；
（2）设班级这场比赛中投中了m个3分球，则投中了（26﹣m）个2分球，
根据题意得：3m+2（26﹣m）≥56，
解得m≥4，
答：该班级这场比赛中至少投中了4个3分球．
【真题剖析】本题考查二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式．
故选：B．
【真题剖析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
18．（2022•内江）为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，内江市某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，若每位老师带队30名学生，则还剩7名学生没老师带；若每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生．现有甲、乙两型客车，它们的载客量和租金如表所示：
学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000元．
（1）参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？
（2）每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？
（3）学校租车总费用最少是多少元？
【思路点拨】（1）设参加此次劳动实践活动的老师有x人，可得：30x+7＝31x﹣1，即可解得参加此次劳动实践活动的老师有8人，参加此次劳动实践活动的学生有247人；
（2）根据每位老师负责一辆车的组织工作，知一共租8辆车，设租甲型客车m辆，可得：，解得m的范围，解得一共有3种租车方案：租甲型客车3辆，租乙型客车5辆或租甲型客车4辆，租乙型客车4辆或租甲型客车5辆，租乙型客车3辆；
（3）设学校租车总费用是w元，w＝400m+320（8﹣m）＝80m+2560，由一次函数性质得学校租车总费用最少是2800元．
【规范解答】解：（1）设参加此次劳动实践活动的老师有x人，参加此次劳动实践活动的学生有（30x+7）人，
根据题意得：30x+7＝31x﹣1，
解得x＝8，
∴30x+7＝30×8+7＝247，
答：参加此次劳动实践活动的老师有8人，参加此次劳动实践活动的学生有247人；
（2）师生总数为247+8＝255（人），
∵每位老师负责一辆车的组织工作，
∴一共租8辆车，
设租甲型客车m辆，则租乙型客车（8﹣m）辆，
根据题意得：，
解得3≤m≤5.5，
∵m为整数，
∴m可取3、4、5，
∴一共有3种租车方案：租甲型客车3辆，租乙型客车5辆或租甲型客车4辆，租乙型客车4辆或租甲型客车5辆，租乙型客车3辆；
（3）∵7×35＝245＜255，8×35＝280＞255，
∴租车总费用最少时，至少租8辆车，
设租甲型客车m辆，则租乙型客车（8﹣m）辆，
由（2）知：3≤m≤5.5，
设学校租车总费用是w元，
w＝400m+320（8﹣m）＝80m+2560，
∵80＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴m＝3时，w取最小值，最小值为80×3+2560＝2800（元），
答：学校租车总费用最少是2800元．
【真题剖析】本题考查一元一次方程，一元一次不等式组及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程，不等式和函数关系式
知识目标（新课程标准提炼）
中考解密（分析中考考察方向，厘清命题趋势，精准把握重难点）
考点回归（梳理基础考点，清晰明了，便于识记）
重点考向（以真题为例，探究中考命题方向）
►考向一 不等式的性质
►考向二 不等式的解集
►考向三 在数轴上表示不等式的解集
►考向四 解一元一次不等式
►考向五 一元一次不等式的整数解
►考向六 一元一次不等式的应用
►考向七 解一元一次不等式组
►考向八 一元一次不等式组的整数解
►考向九 一元一次不等式组的应用
最新真题荟萃（精选最新典型真题，强化知识运用，优化解题技巧）
不等式
一般地，用符号“<”（或“≤”）、“>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式．能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．
不等式的基本性质
1.不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：
若a＞b，那么a±m＞b±m；
2.不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：
若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或＞；
3.不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：
若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或＜；
在数轴上表示不等式的解集
用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；
二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
一元一次不等式
1.定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．
2.概念解析：一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接．
另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等是属于不等式．
解一元一次不等式
1.根据不等式的性质解一元一次不等式
2.基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：
①去分母；
②去括号；
③移项；
④合并同类项；
⑤化系数为1．
以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．
注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．
一元一次不等式组
一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，组成一
元一次不等式组．
一元一次不等式组的解集
几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
解不等式组
求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
一元一次不等式组的解法
解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
几种常见的不等式组的解集
设，，是常数，关于的不等式组的解集的四种情况如下表所示（等号取不到时在数轴上用空心圆点表示）：
不等式组
（其中）
数轴表示
解集
口诀
同大取大
同小取小
大小、小大中间找
无解
大大、小小取不了
一元一次不等式（组）的应用
1.由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．
2.列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
列不等式（组）解应用题的基本步骤
列不等式（组）解应用题的基本步骤如下：
第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系。
第2步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数。
第3步：列不等式(组)。根据题中各个量的关系列不等式(组)。
第4步：解不等式(组)，找出满足题意的解(集)。
第5步：检验并写出答案。
解题技巧/易错易混/特别提醒
1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．
2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c．
解题技巧/易错易混/特别提醒
不等式解集的验证方法：某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．
解题技巧/易错易混/特别提醒
1.利用数轴确定不等式组的解（整数解）．
解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
2.已知解集（整数解）求字母的取值．
一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．
解题技巧/易错易混/特别提醒
1.一元一次不等式的整数解:解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题．
2.一元一次不等式（组）的解法及其解集表示的考查形式如下：
（1）一元一次不等式（组）的解法及其解集在数轴上的表示；
（2）利用一次函数图象解一元一次不等式；
（3）求一元一次不等式组的最小整数解；
（4）求一元一次不等式组的所有整数解的和．
解题技巧/易错易混/特别提醒
列不等式（组）解决实际问题常与一元一次方程、一次函数等综合考查，涉及的题型常与方案设计型问题相联系，如最大利润、最优方案等．列不等式时，要抓住关键词，如不大于、不超过、至多用“≤”连接，不少于、不低于、至少用“≥”连接．
购票人数m（人）
10≤m≤50
51≤m≤100
m＞100
每人门票价（元）
60
50
40
甲型客车
乙型客车
载客量（人/辆）
35
30
租金（元/辆）
400
320