突破04 与代数、三角形、四边形、圆有关的阅读理解题-备战2024年中考数学真题题源解密（全国通用）

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“阅读与思考”是近年中考出现的新题型，设题背景常结合数学文化考查，这类题改变传统的“由条件求结果”模式，集阅读、理解、思考、应用于一体.通常是以一个新概念、新公式的形式、推导与应用的形式出现，或提供材料，给出一定的操作程序、数学思想方法，然后运用从中学到的知识解决有关问题，考查学生的阅读思考能力和解决问题的能力.数学阅读因其语言的高度抽象，以及文字语言、符号语言和图形语言并存，有别于其他学科的阅读，要掌握数学阅读的方法，养成良好的数学阅读习惯，提高阅读素养.
►考向一 与代数有关问题
1．（2023•宁夏）解不等式组 ．
下面是某同学的部分解答过程，请认真阅读并完成任务：
解：由①得：
4﹣2（2x﹣1）＞3x﹣1…第1步
4﹣4x+2＞3x﹣1…第2步
﹣4x﹣3x＞﹣1﹣4﹣2
﹣7x＞﹣7…第3步
x＞1…第4步
任务一：该同学的解答过程第 步出现了错误，错误原因是 ；
不等式①的正确解集是 ；
任务二：解不等式②，并写出该不等式组的解集．
2．（2023•通辽）阅读材料：
材料1：关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根x1，x2和系数a，b，c，有如下关系：x1+x2＝﹣，x1x2＝．
材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．
解：∵m，n是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根，
∴m+n＝1，mn＝﹣1．
则 m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）应用：一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根为x1，x2，则x1+x2＝ ，x1x2＝ ．
（2）类比：已知一元二次方程2x2+3x﹣1＝0 的两个实数根为m，n，求m2+n2的值；
（3）提升：已知实数s，t满足2s2+3s﹣1＝0，2t2+3t﹣1＝0 且s≠t，求的值．
3．（2022•黄石）阅读材料，解答问题：
材料1
为了解方程（x2）2﹣13x2+36＝0，如果我们把x2看作一个整体，然后设y＝x2，则原方程可化为y2﹣13y+36＝0，经过运算，原方程的解为x1，2＝±2，x3，4＝±3．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．
材料2
已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，显然m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，由韦达定理可知m+n＝1，mn＝﹣1．
根据上述材料，解决以下问题：
（1）直接应用：
方程x4﹣5x2+6＝0的解为 x1＝，x2＝﹣，x3＝，x4＝﹣ ；
（2）间接应用：
已知实数a，b满足：2a4﹣7a2+1＝0，2b4﹣7b2+1＝0且a≠b，求a4+b4的值；
（3）拓展应用：
已知实数m，n满足：+＝7，n2﹣n＝7且n＞0，求+n2的值．
4．（2022•宁夏）下面是某分式化简过程，请认真阅读并完成任务．
（﹣）÷
＝（﹣）•…第一步
＝…第二步
＝…第三步
＝﹣…第四步
任务一：填空
①以上化简步骤中，第 步是通分，通分的依据是 ．
②第 步开始出现错误，错误的原因是 ．
任务二：直接写出该分式化简后的正确结果．
5．（2022•安顺）阅读材料：被誉为“世界杂交水稻之父”的“共和国勋章”获得者袁隆平，成功研发出杂交水稻，杂交水稻的亩产量是普通水稻的亩产量的2倍．现有两块试验田，A块种植杂交水稻，B块种植普通水稻，A块试验田比B块试验田少4亩．
（1）A块试验田收获水稻9600千克、B块试验田收获水稻7200千克，求普通水稻和杂交水稻的亩产量各是多少千克？
（2）为了增加产量，明年计划将种植普通水稻的B块试验田的一部分改种杂交水稻，使总产量不低于17700千克，那么至少把多少亩B块试验田改种杂交水稻？
6．（2022•凉山州）阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1+x2＝，x1x2＝．
材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．
解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m+n＝1，mn＝﹣1，
则m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2＝ ．x1x2＝ ﹣ ．
（2）类比应用：已知一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m、n，求的值．
（3）思维拓展：已知实数s、t满足2s2﹣3s﹣1＝0，2t2﹣3t﹣1＝0，且s≠t，求的值．
7．（2023•泰州）阅读下面方框内的内容，并完成相应的任务．
任务：
（1）不等式x2﹣x﹣6＜0 的解集为 ；
（2）3种方法都运用了 的数学思想方法（从下面选项中选1个序号即可）；
A．分类讨论
B．转化思想
C．特殊到一般
D．数形结合
（3）请你根据方法3的思路，画出函数图象的简图，并结合图象作出解答．
8．（2023•鄂州）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y＝ax2（a＞0）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点P到定点F（0，）的距离PF，始终等于它到定直线l：y＝﹣的距离PN（该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y＝﹣叫做抛物线的准线方程．准线l与y轴的交点为H．其中原点O为FH的中点，FH＝2OF＝．例如，抛物线y＝2x2，其焦点坐标为F（0，），准线方程为l：y＝﹣，其中PF＝PN，FH＝2OF＝．
【基础训练】
（1）请分别直接写出抛物线y＝x2的焦点坐标和准线l的方程： ， ；
【技能训练】
（2）如图2，已知抛物线y＝x2上一点P（x0，y0）（x0＞0）到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，求点P的坐标；
【能力提升】
（3）如图3，已知抛物线y＝x2的焦点为F，准线方程为l．直线m：y＝x﹣3交y轴于点C，抛物线上动点P到x轴的距离为d1，到直线m的距离为d2，请直接写出d1+d2的最小值；
【拓展延伸】
该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线y＝ax2（a＞0）平移至y＝a（x﹣h）2+k（a＞0）．抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a＞0）内有一定点F（h，k+），直线l过点M（h，k﹣）且与x轴平行．当动点P在该抛物线上运动时，点P到直线l的距离PP1始终等于点P到点F的距离（该结论不需要证明）．例如：抛物线y＝2（x﹣1）2+3上的动点P到点F（1，）的距离等于点P到直线l：y＝的距离．
请阅读上面的材料，探究下题：
（4）如图4，点D（﹣1，）是第二象限内一定点，点P是抛物线y＝x2﹣1上一动点．当PO+PD取最小值时，请求出△POD的面积．
9．（2022•永州）已知关于x的函数y＝ax2+bx+c．
（1）若a＝1，函数的图象经过点（1，﹣4）和点（2，1），求该函数的表达式和最小值；
（2）若a＝1，b＝﹣2，c＝m+1时，函数的图象与x轴有交点，求m的取值范围．
（3）阅读下面材料：
设a＞0，函数图象与x轴有两个不同的交点A，B，若A，B两点均在原点左侧，探究系数a，b，c应满足的条件，根据函数图象，思考以下三个方面：
①因为函数的图象与x轴有两个不同的交点，所以Δ＝b2﹣4ac＞0；
②因为A，B两点在原点左侧，所以x＝0对应图象上的点在x轴上方，即c＞0；
③上述两个条件还不能确保A，B两点均在原点左侧，我们可以通过抛物线的对称轴位置来进一步限制抛物线的位置：即需﹣＜0．
综上所述，系数a，b，c应满足的条件可归纳为：
请根据上面阅读材料，类比解决下面问题：
若函数y＝ax2﹣2x+3的图象在直线x＝1的右侧与x轴有且只有一个交点，求a的取值范围．
10．（2022•株洲）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）．
（1）若a＝1，b＝3，且该二次函数的图象过点（1，1），求c的值；
（2）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，该二次函数的图象与x轴相交于不同的两点A（x1，0）、B（x2，0），其中x1＜0＜x2、|x1|＞|x2|，且该二次函数的图象的顶点在矩形ABFE的边EF上，其对称轴与x轴、BE分别交于点M、N，BE与y轴相交于点P，且满足tan∠ABE＝．
①求关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根的判别式的值；
②若NP＝2BP，令T＝c，求T的最小值．
阅读材料：十六世纪的法国数学家弗朗索瓦•韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，可表述为“当判别式Δ≥0时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根x1、x2有如下关系：x1+x2＝，x1x2＝”．此关系通常被称为“韦达定理”．
►考向二 与三角形有关问题
11．（2022•吉林）下面是王倩同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整．
【作业】如图①，直线l1∥l2，△ABC与△DBC的面积相等吗？为什么？
解：相等．理由如下：
设l1与l2之间的距离为h，
则S△ABC＝BC•h，S△DBC＝BC•h．
∴S△ABC＝S△DBC．
【探究】（1）如图②，当点D在l1，l2之间时，设点A，D到直线l2的距离分别为h，h′，则＝．
证明：∵S△ABC＝ BC•h ．
（2）如图③，当点D在l1，l2之间时，连接AD并延长交l2于点M，则＝．
证明：过点A作AE⊥BM，垂足为E，过点D作DF⊥BM，垂足为F，则∠AEM＝∠DFM＝90°．
∴AE∥ ．
∴△AEM∽ ．
∴＝．
由【探究】（1）可知＝ ，
∴＝．
（3）如图④，当点D在l2下方时，连接AD交l2于点E．若点A，E，D所对应的刻度值分别为5，1.5，0，则的值为 ．
12．（2023•孝义市三模）阅读与思考：下面是小宇同学写的一篇数学小论文，请你认真阅读并完成相应学习任务：
怎样作直角三角形的内接正方形
如果一个正方形的四个顶点都在直角三角形的三条边上，我们把这样的正方形叫做该直角三角形的内接正方形．那么，怎样作出一个直角三角形的内接正方形呢？我们可以用如下方法：
如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，作
（依据1）容易证明四边形DFCE是正方形．
用上面方法所作出的正方形，有一个顶点恰好是直角三角形的直角顶点．
如图2，如果Rt△ABC的内接正方形的一边恰好在斜边AB上，我就可用如下方法，
第一步：过直角顶点C作CD⊥AB，垂足为D；
第二步，延长AB到M，使得BM＝AD，连接CM；
第三步：作∠BDC的平分线，交MC于点E；
第四步：过点E分别作DC，DB的垂线，垂足分别为P，K，EP交BC于点F，EP的延长线交AC交于G；
第五步：分别过点F，G作AB的垂线，垂足分别为N，H．
则四边形NFGH就是Rt△ABC的内接正方形，并且NH恰好在该直角三角形的斜边上．
理由如下：易证四边形EPDK是正方形，EG∥AM．
（依据2）
∴；．
学习任务：
（1）材料中画横线部分的依据分别是：
依据1： ；依据2： ．
（2）请完成图2说理过程的剩余部分．
（3）分析图2的作图过程，不难看出是将图2转化成图1去完成的，即先作图形EPDK，再将正方形EPDK转化为正方形NFGH，转化的过程可以看作是一种图形变换，这种图形变换是 B （填出字母代号即可）．
A．旋转B．平移C．轴对称
►考向三 与四边形有关问题
13．（2023•徐州）【阅读理解】如图1，在矩形ABCD中，若AB＝a，BC＝b，由勾股定理，得AC2＝a2+b2同理BD2＝a2+b2，故AC2+BD2＝2（a2+b2）．
【探究发现】如图2，四边形ABCD为平行四边形，若AB＝a，BC＝b，则上述结论是否依然成立？请加以判断，并说明理由．
【拓展提升】如图3，已知BO为△ABC的一条中线，AB＝a，BC＝b，AC＝c．
求证：．
【尝试应用】如图4，在矩形ABCD中，若AB＝8，BC＝12，点P在边AD上，则PB2+PC2的最小值为 ．
14．（2023•凉山州）阅读理解题：阅读材料：
如图1，四边形ABCD是矩形，△AEF是等腰直角三角形，记∠BAE为α、∠FAD为β，若tanα＝，则tanβ＝．
证明：设BE＝k，
∵tanα＝，
∴AB＝2k，
易证△AEB≌△EFC（AAS）．
∴EC＝2k，CF＝k，
∴FD＝k，AD＝3k，
∴tanβ＝＝＝，
若α+β＝45°时，当tanα＝，则tanβ＝．
同理：若α+β＝45°时，当tanα＝，则tanβ＝．
根据上述材料，完成下列问题：
如图2，直线y＝3x﹣9与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A，与x轴交于点B．将直线AB绕点A顺时针旋转45°后的直线与y轴交于点E，过点A作AM⊥x轴于点M，过点A作AN⊥y轴于点N，已知OA＝5．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）直接写出tan∠BAM、tan∠NAE的值；
（3）求直线AE的解析式．
15．（2022•南通）【阅读材料】
老师的问题：
已知：如图，AE∥BF．
求作：菱形ABCD，使点C，D分别在BF，AE上．
小明的作法：
（1）以A为圆心，AB长为半径画弧，交AE于点D；
（2）以B为圆心，AB长为半径画弧，交BF于点C；
（3）连接CD．
四边形ABCD就是所求作的菱形．
【解答问题】
请根据材料中的信息，证明四边形ABCD是菱形．
16．（2022•黔东南州）阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题：
如图1，△ABC和△BDE都是等边三角形，点A在DE上．
求证：以AE、AD、AC为边的三角形是钝角三角形．
【探究发现】（1）小明通过探究发现：连接DC，根据已知条件，可以证明DC＝AE，∠ADC＝120°，从而得出△ADC为钝角三角形，故以AE、AD、AC为边的三角形是钝角三角形．
请你根据小明的思路，写出完整的证明过程．
【拓展迁移】（2）如图2，四边形ABCD和四边形BGFE都是正方形，点A在EG上．
①试猜想：以AE、AG、AC为边的三角形的形状，并说明理由．
②若AE2+AG2＝10，试求出正方形ABCD的面积．
16．（2023•通榆县模拟）下面是小明同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整．
【作业】
如图①，已知正方形ABCD中，E，F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，求证：EF＝AE+CF．
证明：如图，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM，则DE＝DM，∠A＝∠DCM，∠ADE＝∠MDC．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠ADC＝∠DCB＝90°，
∴∠EDM＝∠EDC+∠MDC＝∠EDC+∠ADE＝∠ADC＝90°．
∵∠EDF＝45°，
∴∠MDF＝∠EDF＝45°，
又∵∠A＝∠DCM＝∠DCB＝90°，
∴点B，F，C，M在一条直线上．
∵DF＝DF，
∴△EDF≌ ，
∴EF＝MF＝CM+CF＝ +CF．
【探究】
（1）在图①中，若正方形ABCD的边长为3，AE＝1，其他条件不变，求EF的长．
解：∵正方形ABCD的边长为3，AE＝1，
∴BE＝2，CM＝1．
设EF＝x，则FM＝EF＝x，FC＝FM﹣CM＝x﹣1，
∴BF＝3﹣（x﹣1）＝4﹣x．
在Rt△BEF中，由22+（4﹣x）2＝x2，解得x＝ ，即EF＝ ；
（2）如图②，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝AD＝6，BC＝4，E是AB边上的点，且∠CDE＝45°，则CE＝ ．
（3）如图③，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD为BC边上的高．若BD＝2，CD＝3，则AD的长为 ．
17．（2023•芝罘区一模）阅读下列材料：
如图1，点A、D、E在直线l上，且∠BDA＝∠BAC＝∠AEC，
则：∠CAE+∠BAC+∠BAD＝180°，
又∠ABD+∠BDA+∠BAD＝180°，
故∠CAE＝∠ABD．
像这样一条直线上有三个等角顶点的图形我们把它称为“一线三等角”图形．
请根据以上阅读解决下列问题：
（1）如图2，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E．求证：△BEC≌△CDA．
（2）如图3，在△ABC中，点D在BC上，∠CAD＝90°，AC＝AD，∠DBA＝∠DAB，AB＝2，求点C到AB边的距离．
（3）如图4，在平行四边形ABCD中，E为边BC上一点，F为边AB上一点．若∠DEF＝∠B，AB＝10，BE＝4，EF＝6，求DE的长．
►考向四 与圆有关问题
18．（2022•金华）如图1，正五边形ABCDE内接于⊙O，阅读以下作图过程，并回答下列问题：
作法 如图2．
1．作直径AF．
2．以F为圆心，FO为半径作圆弧，与⊙O交于点M，N．
3．连接AM，MN，NA．
（1）求∠ABC的度数．
（2）△AMN是正三角形吗？请说明理由．
（3）从点A开始，以DN长为边长，在⊙O上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值．
19．（2023•盐都区三模）【阅读理解】
在平面直角坐标系xOy中，把点P沿纵轴或横轴方向到达点Q的最短路径长记为d（P，Q）．
例如：如图1，点A（1，1），点B（3，4），则d（A，B）＝5．
（1）①已知点C（﹣1，4）和点D（3，2），则d（C，D）＝ ．
②点E是平面直角坐标系xOy中的一点，且d（0，E）＝2，则所有满足条件的点E组成的图形是 ．
A．一条线段
B．一个等边三角形
C．一个正方形
D．一个圆
【新知运用】
（2）已知点P（1，0），点Q在线段MN上．
①如图2，已知点M（3，2）和点N（0，2），则d（P，Q）的最大值是 ；
②如图3，已知点M（3，2）和点N（0，4），求d（P，Q）的最小值．
（3）如图4，已知点P（1，0），点G（3，3），以点G为圆心，5为半径作⊙G，点Q在⊙G上，则d（P，Q）的取值范围是 ．
【尺规作图】
（4）如图5，请用无刻度直尺和圆规在直线l上找一点K，使得d（K，E）＝d（K，F）．
20．（2023•西陵区模拟）阅读以下材料，完成课题研究任务：
【研究课题】设计公园喷水池
【素材1】某公园计划修建一个图1所示的喷水池，水池中心O处立着一个高为2m的实心石柱OA，水池周围安装一圈喷头，使得水流在各个方向上都沿形状相同的抛物线喷出，并在石柱顶点A处汇合．为使水流形状更漂亮，要求水流在距离石柱0.5m处能达到最大高度，且离池面的高度为2.25m．
【素材2】距离池面1.25米的位置，围绕石柱还修了一个小水池，要求小水池不能影响水流．
【任务解决】
（1）小张同学设计的水池半径为2m，请你结合已学知识，判断他设计的水池是否符合要求．
（2）为了不影响水流，小水池的半径不能超过多少米？
21．（2023•灵宝市二模）阅读与思考
请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务．
弥勒是德国著名数学家，他在1471年提出了著名的弥勒定理：
如图1，已知A，B是∠MON的边ON上的定点，当且仅当△ABC的外接圆与OM相切（⊙P与OM相切于点C）时∠ACB最大，此时OC2＝OA•OB．
小明思考后给出如下证明：
证明：如图2，在OM上任取一点C′，连接AC′，BC′，BC′与⊙P相交于点D，连接AD．
∵点C，D在⊙P上，
∴∠ACB＝∠ADB（依据①），
又∵∠ADB是△AC′D的一个外角，
∴∠ADB＞∠AC′B，
∴∠ACB＞∠AC′B，
即当且仅当△ABC的外接圆与OM相切（⊙P与OM相切于点C）时∠ACB最大．
如图3，过切点C作⊙P的直径CQ，连接BQ，则∠CBQ＝90°，CQ⊥OM，
∴∠Q+∠BCQ＝90°，∠BCQ+∠OCB＝90°
∴∠Q＝∠OCB，（依据②）
又∵∠Q＝∠OAC，
…
∴OC2＝OA•OB．
任务：
（ 1）写出小明证明过程中的依据：
依据①： ，依据②： ；
（2）请你将小明的证明过程补充完整；
（3）结论应用：如图4，已知点A，B的坐标分别是（0，1）和（0，4），C是x轴正半轴上一个动点，当∠ACB最大时，点C的坐标为 ．
22．（2023•朔州模拟）下面是小宁同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．
任务：
（1）“方法”所依据的数学原理是
（2）请在图1中完成问题二，并说明理由．
（3）请直接写出问题三的答案．
问题一
中考解密（分析考察方向，精准把握重难点）
重点考向（以真题为例，探究中考命题方向）
►考向一 与代数有关问题
►考向二 与三角形有关问题
►考向三 与四边形有关问题
►考向四 与圆有关问题
小丽学习了方程、不等式，函数后提出如下问题：如何求不等式x2﹣x﹣6＜0的解集？
通过思考，小丽得到以下3种方法：
方法1 方程x2﹣x﹣6＝0的两根为x1＝﹣2，x2＝3，可得函数y＝x2﹣x﹣6的图象与x轴的两个交点横坐标为﹣2、3，画出函数图象，观察该图象在x轴下方的点，其横坐标的范围是不等式x2﹣x﹣6＜0的解集．
方法2 不等式x2﹣x﹣6＜0可变形为x2＜x+6，问题转化为研究函数y＝x2与y＝x+6的图象关系．画出函数图象，观察发现；两图象的交点横坐标也是﹣2、3；y＝x2的图象在y＝x+6的图象下方的点，其横坐标的范围是该不等式的解集．
方法3 当x＝0时，不等式一定成立；当x＞0时，不等式变为x﹣1＜；当x＜0时，不等式变为x﹣1＞．问题转化为研究函数y＝x﹣1与y＝的图象关系…
x年×月×日 星期日
只用无刻度的直尺也能作出已知角的余角
问题一：今天，在数学课上，老师提出了一个问题．如果要在如图1所示的⊙O中作∠ABC的余角∠ABD，然而手上只有一把无刻度的直尺，该怎么办呢？
方法：如图2，过点C作⊙O的直径CD，连接BD，则∠ABD即为所求．
问题二：小明在老师提出问题的基础上进一步思考，如果以A为顶点作∠ABC的余角，应该如何完成？
问题三：如图3，在图2的基础上，连接OA，OB，设AB与CD交于点E．若∠ABC＝30°，ABO＝15°，OA＝+1，求线段OE的长．