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突破06 函数与几何图形动态探究题-备战2024年中考数学真题题源解密(全国通用)
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函数与几何图形动态探究题是山西中考的必考题,这类题型属于开放探究题,考查学生综合探究、几何直观和数学运算能力,在综合探究过程中,培养严谨的逻辑思维和分类讨论的思想,逐步体会分类的方法和原因,逐步提高发现和提出问题以及分析和解决问题的能力.
►考向一 线段周长问题
1.(2023·辽宁丹东·统考中考真题)抛物线与x轴交于点,,与y轴交于点C.
(1)求抛物线的表达式;
(2)如图,点D是抛物线上的一个动点,设点D的横坐标是,过点D作直线轴,垂足为点E,交直线于点F.当D,E,F三点中一个点平分另外两点组成的线段时,求线段的长;
(3)若点P是抛物线上的一个动点(点P不与顶点重合),点M是抛物线对称轴上的一个点,点N在坐标平面内,当四边形是矩形邻边之比为时,请直接写出点P的横坐标.
2.(2023·青海西宁·统考中考真题)如图,在平面直角坐标系中,直线l与x轴交于点,与y轴交于点,抛物线经过点A,B,且对称轴是直线.
(1)求直线l的解析式;
(2)求抛物线的解析式;
(3)点P是直线l下方抛物线上的一动点,过点P作轴,垂足为C,交直线l于点D,过点P作,垂足为M.求的最大值及此时P点的坐标.
3.(2023·浙江湖州·统考中考真题)如图1,在平面直角坐标系中,二次函数的图象与y轴的交点坐标为,图象的顶点为M.矩形的顶点D与原点O重合,顶点A,C分别在x轴,y轴上,顶点B的坐标为.
(1)求c的值及顶点M的坐标,
(2)如图2,将矩形沿x轴正方向平移t个单位得到对应的矩形.已知边,分别与函数的图象交于点P,Q,连接,过点P作于点G.
①当时,求的长;
②当点G与点Q不重合时,是否存在这样的t,使得的面积为1?若存在,求出此时t的值;若不存在,请说明理由.
4.(2023·湖北黄石·统考中考真题)如图,在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于两点,与y轴交于点.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)已知抛物线上有一点,其中,若,求的值;
(3)若点D,E分别是线段,上的动点,且,求的最小值.
5.(2023·内蒙古·统考中考真题)如图,在平面直角坐标系中,抛物线与轴的交点分别为和(点在点的左侧),与轴交于点,点是直线上方抛物线上一动点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图1,过点作轴平行线交于点,过点作轴平行线交轴于点,求的最大值及点的坐标;
(3)如图2,设点为抛物线对称轴上一动点,当点,点运动时,在坐标轴上确定点,使四边形为矩形,求出所有符合条件的点的坐标.
6.(2023·宁夏·统考中考真题)如图,抛物线与轴交于,两点,与轴交于点.已知点的坐标是,抛物线的对称轴是直线.
(1)直接写出点的坐标;
(2)在对称轴上找一点,使的值最小.求点的坐标和的最小值;
(3)第一象限内的抛物线上有一动点,过点作轴,垂足为,连接交于点.依题意补全图形,当的值最大时,求点的坐标.
►考向二 面积问题
1.如图1,抛物线交x轴于A,两点,交y轴于点.点P是抛物线上一动点.
(1)求该抛物线的函数表达式;
(2)当点P的坐标为时,求四边形的面积;
(3)当动点P在直线上方时,在平面直角坐标系是否存在点Q,使得以B,C,P,Q为顶点的四边形是矩形?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由;
(4)如图2,点D是抛物线的顶点,过点D作直线轴,交x轴于点H,当点P在第二象限时,作直线,分别与直线交于点G和点I,求证:点D是线段的中点.
2.如图,在菱形中,对角线相交于点O,,.动点P从点A出发,沿方向匀速运动,速度为;同时,动点Q从点A出发,沿方向匀速运动,速度为.以为邻边的平行四边形的边与交于点E.设运动时间为,解答下列问题:
(1)当点M在上时,求t的值;
(2)连接.设的面积为,求S与t的函数关系式和S的最大值;
(3)是否存在某一时刻t,使点B在的平分线上?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
3.如图,一条抛物线经过的三个顶点,其中为坐标原点,点,点在第一象限内,对称轴是直线,且的面积为18
(1)求该抛物线对应的函数表达式;
(2)求点的坐标;
(3)设为线段的中点,为直线上的一个动点,连接,,将沿翻折,点的对应点为.问是否存在点,使得以,,,为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出所有符合条件的点的坐标;若不存在,请说明理由.
4.如图,二次函数的图象与轴相交于点和点,交轴于点.
(1)求此二次函数的解析式;
(2)设二次函数图象的顶点为,对称轴与轴交于点,求四边形的面积(请在图1中探索);
(3)二次函数图象的对称轴上是否存在点,使得是以为底边的等腰三角形?若存在,请求出满足条件的点的坐标;若不存在,请说明理由(请在图中探索).
5.如图,抛物线与轴交于点,,与轴交于点.
(1)求抛物线的解析式.
(2)如图1,点是轴上方抛物线上一点,射线轴于点,若,且,请直接写出点的坐标.
(3)如图2,点是第一象限内一点,连接交轴于点,的延长线交抛物线于点,点在线段上,且,连接,若,求面积.
6.如图,在平面直角坐标系中,二次函数的图象与轴交于点和点,与y轴交于点C.
(1)求这个二次函数的表达式.
(2)如图1,二次函数图象的对称轴与直线交于点D,若点M是直线上方抛物线上的一个动点,求面积的最大值.
(3)如图2,点是直线上的一个动点,过点的直线与平行,则在直线上是否存在点,使点与点关于直线对称?若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由.
►考向三 特殊三角形问题
1.如图,抛物线与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,点在抛物线上,点E在直线上,若,则点E的坐标是 .
2.在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于,两点,与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图甲,在y轴上找一点D,使为等腰三角形,请直接写出点D的坐标;
(3)如图乙,点P为抛物线对称轴上一点,是否存在P、Q两点使以点A,C,P,Q为顶点的四边形是菱形?若存在,求出P、Q两点的坐标,若不存在,请说明理由.
3.如图,二次函数的图像与x轴相交于点,其顶点是C.
(1)_______;
(2)D是第三象限抛物线上的一点,连接OD,;将原抛物线向左平移,使得平移后的抛物线经过点D,过点作x轴的垂线l.已知在l的左侧,平移前后的两条抛物线都下降,求k的取值范围;
(3)将原抛物线平移,平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q,且其顶点P落在原抛物线上,连接PC、QC、PQ.已知是直角三角形,求点P的坐标.
4.如图,抛物线过点、点,交y轴于点C.
(1)求b,c的值.
(2)点是抛物线上的动点
①当取何值时,的面积最大?并求出面积的最大值;
②过点P作轴,交于点E,再过点P作轴,交抛物线于点F,连接,问:是否存在点P,使为等腰直角三角形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
5.在平面直角坐标系中,已知抛物线过点,对称轴是直线.
(1)求此抛物线的函数表达式及顶点M的坐标;
(2)若点B在抛物线上,过点B作x轴的平行线交抛物线于点C、当是等边三角形时,求出此三角形的边长;
(3)已知点E在抛物线的对称轴上,点D的坐标为,是否存在点F,使以点A,D,E,F为顶点的四边形为菱形?若存在,请直接写出点F的坐标;若不存在,请说明理由.
6.如图,二次函数的图象与轴交于,两点,与轴交于点,其中,.
(1)求这个二次函数的表达式;
(2)在二次函数图象上是否存在点,使得?若存在,请求出点坐标;若不存在,请说明理由;
(3)点是对称轴上一点,且点的纵坐标为,当是锐角三角形时,求的取值范围.
7.如图1,在平面直角坐标系中,已知二次函数的图象与x轴交于点,,与轴交于点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)已知为抛物线上一点,为抛物线对称轴上一点,以,,为顶点的三角形是等腰直角三角形,且,求出点的坐标;
(3)如图,为第一象限内抛物线上一点,连接交轴于点,连接并延长交轴于点,在点运动过程中,是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,请说明理由.
8.如图,在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于,两点.与y轴交于点.
(1)求该抛物线的函数表达式;
(2)若点P是直线下方抛物线上的一动点,过点P作x轴的平行线交于点K,过点P作y轴的平行线交x轴于点D,求与的最大值及此时点P的坐标;
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M,使得是以为一条直角边的直角三角形:若存在,请求出点M的坐标,若不存在,请说明理由.
9.如图1,平面直角坐标系中,抛物线过点,和,连接,点为抛物线上一动点,过点作轴交直线于点,交轴于点.
(1)直接写出抛物线和直线的解析式;
(2)如图2,连接,当为等腰三角形时,求的值;
(3)当点在运动过程中,在轴上是否存在点,使得以,,为顶点的三角形与以,,为顶点的三角形相似(其中点与点相对应),若存在,直接写出点和点的坐标;若不存在,请说明理由.
►考向四 特殊四边形问题
1.(2023·辽宁丹东·统考中考真题)抛物线与x轴交于点,,与y轴交于点C.
(1)求抛物线的表达式;
(2)如图,点D是抛物线上的一个动点,设点D的横坐标是,过点D作直线轴,垂足为点E,交直线于点F.当D,E,F三点中一个点平分另外两点组成的线段时,求线段的长;
(3)若点P是抛物线上的一个动点(点P不与顶点重合),点M是抛物线对称轴上的一个点,点N在坐标平面内,当四边形是矩形邻边之比为时,请直接写出点P的横坐标.
2.(2023·西藏·统考中考真题)在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于,两点,与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图甲,在y轴上找一点D,使为等腰三角形,请直接写出点D的坐标;
(3)如图乙,点P为抛物线对称轴上一点,是否存在P、Q两点使以点A,C,P,Q为顶点的四边形是菱形?若存在,求出P、Q两点的坐标,若不存在,请说明理由.
3.(2023·辽宁大连·统考中考真题)如图,在平面直角坐标系中,抛物线上有两点、,其中点的横坐标为,点的横坐标为1,抛物线过点、.过作轴交抛物线另一点为点.以、长为边向上构造矩形.
(1)求抛物线的解析式;
(2)将矩形向左平移个单位,向下平移个单位得到矩形,点的对应点落在抛物线上.
①求关于的函数关系式,并直接写出自变量的取值范围;
②直线交抛物线于点,交抛物线于点.当点为线段的中点时,求的值;
③抛物线与边、分别相交于点、,点、在抛物线的对称轴同侧,当时,求点的坐标.如图,在平面直角坐标系中,抛物线上有两点,其中点的横坐标为,点的横坐标为,抛物线过点.过作轴交抛物线另一点为点.以长为边向上构造矩形.
4.(2023·辽宁锦州·统考中考真题)如图,抛物线交轴于点和,交轴于点,顶点为.
(1)求抛物线的表达式;
(2)若点在第一象限内对称右侧的抛物线上,四边形的面积为,求点的坐标;
(3)在(2)的条件下,若点是对称轴上一点,点是坐标平面内一点,在对称轴右侧的抛物线上是否存在点,使以,,,为顶点的四边形是菱形,且,如果存在,请直接写出点的坐标;如果不存在,请说明理由.
5.(2023·辽宁·统考中考真题)如图,抛物线与轴交于点和点,与轴交于点,点在抛物线上.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点在第一象限内,过点作轴,交于点,作轴,交抛物线于点,点在点的左侧,以线段为邻边作矩形,当矩形的周长为11时,求线段的长;
(3)点在直线上,点在平面内,当四边形是正方形时,请直接写出点的坐标.
6.(2023·山东东营·统考中考真题)如图,抛物线过点,,矩形的边在线段上(点B在点A的左侧),点C,D在抛物线上,设,当时,.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)当t为何值时,矩形的周长有最大值?最大值是多少?
(3)保持时的矩形不动,向右平移抛物线,当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G,H,且直线平分矩形的面积时,求抛物线平移的距离.
7.(2023·山东·统考中考真题)如图,直线交轴于点,交轴于点,对称轴为的抛物线经过两点,交轴负半轴于点.为抛物线上一动点,点的横坐标为,过点作轴的平行线交抛物线于另一点,作轴的垂线,垂足为,直线交轴于点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若,当为何值时,四边形是平行四边形?
(3)若,设直线交直线于点,是否存在这样的值,使?若存在,求出此时的值;若不存在,请说明理由.
►考向五 相似三角形问题
1.如图,抛物线经过坐标原点,且顶点为.
(1)求抛物线的表达式;
(2)设抛物线与轴正半轴的交点为,点位于抛物线上且在轴下方,连接、,若,求点的坐标.
2.如图1,抛物线经过点,与y轴交于点,点E为第一象限内抛物线上一动点.
(1)求抛物线的解析式.
(2)直线与x轴交于点A,与y轴交于点D,过点E作直线轴,交于点F,连接.当时,求点E的横坐标.
(3)如图2,点N为x轴正半轴上一点,与交于点M.若,,求点E的坐标.
3.在平面直角坐标系中,已知抛物线与x轴交于点和点B,与y轴交于点.
(1)求这条抛物线的函数解析式;
(2)P是抛物线上一动点(不与点A,B,C重合),作轴,垂足为D,连接.
①如图,若点P在第三象限,且,求点P的坐标;
②直线交直线于点E,当点E关于直线的对称点落在y轴上时,请直接写出四边形的周长.
4.综合与探究
如图,抛物线上的点A,C坐标分别为,,抛物线与x轴负半轴交于点B,点M为y轴负半轴上一点,且,连接,.
(1)求点M的坐标及抛物线的解析式;
(2)点P是抛物线位于第一象限图象上的动点,连接,,当时,求点P的坐标;
(3)点D是线段(包含点B,C)上的动点,过点D作x轴的垂线,交抛物线于点Q,交直线于点N,若以点Q,N,C为顶点的三角形与相似,请直接写出点Q的坐标;
(4)将抛物线沿x轴的负方向平移得到新抛物线,点A的对应点为点,点C的对应点为点,在抛物线平移过程中,当的值最小时,新抛物线的顶点坐标为______,的最小值为______.
5.抛物线交轴于两点(在的左边),交轴于点.
(1)直接写出三点的坐标;
(2)如图(1),作直线,分别交轴,线段,抛物线于三点,连接.若与相似,求的值;
(3)如图(2),将抛物线平移得到抛物线,其顶点为原点.直线与抛物线交于两点,过的中点作直线(异于直线)交抛物线于两点,直线与直线交于点.问点是否在一条定直线上?若是,求该直线的解析式;若不是,请说明理由.
6.如图1,平面直角坐标系中,抛物线过点,和,连接,点为抛物线上一动点,过点作轴交直线于点,交轴于点.
(1)直接写出抛物线和直线的解析式;
(2)如图2,连接,当为等腰三角形时,求的值;
(3)当点在运动过程中,在轴上是否存在点,使得以,,为顶点的三角形与以,,为顶点的三角形相似(其中点与点相对应),若存在,直接写出点和点的坐标;若不存在,请说明理由.
7.【建立模型】(1)如图,点是线段上的一点,,,,垂足分别为,,,.求证:;
【类比迁移】(2)如图,一次函数的图象与轴交于点、与轴交于点,将线段绕点逆时针旋转得到、直线交轴于点.
①求点的坐标;
②求直线的解析式;
【拓展延伸】(3)如图,抛物线与轴交于,两点点在点的左侧,与轴交于点,已知点,,连接.抛物线上是否存在点,使得,若存在,求出点的横坐标.
8.如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线与坐标轴分别相交于点A,B,三点,其对称轴为.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)点是该抛物线上位于第一象限的一个动点,直线分别与轴,直线交于点,.
①当时,求的长;
②若,,的面积分别为,,,且满足,求点的坐标.
中考解密(分析考察方向,精准把握重难点)
重点考向(以真题为例,探究中考命题方向)
►考向一 线段周长问题
►考向二 面积问题
►考向三 特殊三角形问题
►考向四 特殊四边形问题
►考向五 相似三角形问题
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