苏科版七年级下册第10章 二元一次方程组10.1 二元一次方程习题

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注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020春•江都区月考）下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A．xy＝2B．3x＝4yC．x+1y=2D．x2+2y＝4
【分析】根据二元一次方程的定义逐个判断即可．
【解析】A、是二元二次方程，故本选项不符合题意；
B、是二元一次方程，故本选项符合题意；
C、不是整式方程，故本选项不符合题意；
D、是二元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：B．
2．（2020春•亭湖区校级期中）下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A．x+3y＝7B．2xy＝3C．x+2y＝zD．2x2+y＝1
【分析】利用二元一次方程定义进行解答即可．
【解析】A、x+3y＝7是二元一次方程，故此选项符合题意；
B、2xy＝3是2次，不是二元一次方程，故此选项不符合题意；
C、x+2y＝z含有3个未知数，不是二元一次方程，故此选项不符合题意；
D、2x2+y＝1是2次，不是二元一次方程，故此选项不符合题意；
故选：A．
3．（2020春•邗江区校级期中）若（a﹣1）x|a|﹣1+3y＝1是关于x、y的二元一次方程，则a＝（ ）
A．1B．2C．﹣2D．2和﹣2
【分析】利用二元一次方程定义可得答案．
【解析】由题意得：|a|﹣1＝1，且a﹣1≠0，
解得：a＝±2，
故选：D．
4．（2020春•天宁区校级期中）已知x=−1y=2是方程ax+y＝4的一个解，则a的值为（ ）
A．﹣2B．2C．﹣6D．6
【分析】根据方程的解的定义，将方程的解代入，然后解关于a的一元一次方程即可．
【解析】∵x=−1y=2是方程ax+y＝4的一个解，
∴﹣a+2＝4，
∴a＝﹣2．
故选：A．
5．（2020春•天宁区校级期中）二元一次方程2x+3y＝8有多少个正整数解？（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【分析】要求二元一次方程2x+3y＝8的正整数解，首先将方程做适当变形，确定其中一个未知数的取值范围，分析解的情况．
【解析】由已知得y=8−2x3，
要使x，y都是正整数，
必须满足：①8﹣2x大于0；②8﹣2x是3的倍数．
根据以上两个条件可知，合适的x值只能是x＝1，相应的y＝2．
故选：B．
6．（2020春•盐城期末）x=2y=4是下面哪个二元一次方程的解（ ）
A．y＝x﹣2B．2x﹣y＝10C．x+y＝5D．y＝﹣x+6
【分析】根据二元一次方程解的意义，可用试验的办法．
【解析】当x＝2时，y＝2﹣2＝0≠4，故x＝2，y＝4不是方程A的解；
当x＝2，y＝4时，2x﹣y＝0≠10，故x＝2，y＝4不是方程B的解；
当x＝2，y＝4时，x+y＝2+4＝6≠5，故x＝2，y＝4不是方程C的解；
当x＝2时，y＝﹣2+6＝4，故x＝2，y＝4是方程D的解．
故选：D．
7．（2020春•锡山区期末）已知x=2y=1是关于x、y的方程2x﹣y+3k＝0的解，则k的值为（ ）
A．﹣1B．2C．0D．1
【分析】把方程组的解代入方程，得到一个含有未知数k的一元一次方程，从而可以求出k的值．
【解析】把x=2y=1代入原方程，得
2×2﹣1+3k＝0，
解得k＝﹣1．
故选：A．
8．（2020春•润州区期末）若x=2y=−1是关于x、y的二元一次方程ax+by﹣5＝0的一组解，则2a﹣b﹣2的值为（ ）
A．﹣3B．3C．﹣7D．7
【分析】把x与y的值代入方程计算求出2a﹣b的值，代入原式计算即可求出值．
【解析】把x=2y=−1代入方程得：2a﹣b﹣5＝0，即2a﹣b＝5，
则原式＝5﹣2＝3，
故选：B．
9．（2019春•淮安区期末）某公园门票的价格为：成人票10元/张，儿童票5元/张．现有x名成人、y名儿童，买门票共花了75元．据此可列出关于x、y的二元一次方程为（ ）
A．10x+5y＝75B．5x+10y＝75C．10x﹣5y＝75D．10x＝75+5y
【分析】设x名成人、y名儿童，根据买门票共花了75元，列方程即可．
【解析】设x名成人、y名儿童，
由题意得，10x+5y＝75．
故选：A．
10．（2019•拱墅区校级模拟）某次知识竞赛共有20道题，规定：每答对一题得+5分，每答错一题得﹣3分，不答的题得﹣1分．已知欢欢这次竞赛得了72分，设欢欢答对了x道题，答错了y道题，则（ ）
A．5x﹣3y＝72B．5x+3y＝72C．6x﹣2y＝92D．6x+2y＝92
【分析】直接根据题意表示出不答的题为（20﹣x﹣y）道，根据每答对一题得+5分，每答错一题得﹣3分，不答的题得﹣1分表示出总分＝72，进而得出答案．
【解析】设欢欢答对了x道题，答错了y道题，则：
5x﹣3y﹣（20﹣x﹣y）＝72，
整理得：6x﹣2y＝92．
故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020秋•兰州期末）已知2xn﹣3−13y2m+1＝0是关于x，y的二元一次方程，则nm＝ 1 ．
【分析】直接利用二元一次方程的定义分析得出答案．
【解析】∵2xn﹣3−13y2m+1＝0是关于x，y的二元一次方程，
∴n﹣3＝1，2m+1＝1，
解得：n＝4，m＝0，
故nm＝1．
故答案为：1．
12．（2020春•溧阳市期末）已知方程y﹣2x+5＝0，请用含x的代数式表示y，y＝ 2x﹣5 ．
【分析】移项即可．
【解析】移项得，y＝2x﹣5，
故答案为：2x﹣5．
13．（2020春•亭湖区校级期中）若x=2y=−3二元一次方程kx+3y＝﹣2的一个解，则k＝ 3.5 ．
【分析】直接把x，y的值代入进而计算得出答案．
【解析】∵x=2y=−3二元一次方程kx+3y＝﹣2的一个解，
∴2k﹣9＝﹣2，
解得：k＝3.5．
故答案为：3.5．
14．（2020春•崇川区校级期中）已知关于x、y的二元一次方程（3a+2）x﹣（2a﹣3）y﹣11﹣10a＝0，无论a取何值，方程都有一个固定的解，则这个固定解为 x=4y=1 ．
【分析】将原式进行变换后即可求出这个固定解．
【解析】由题意可知：（3a+2）x﹣（2a﹣3）y﹣11﹣10a＝（3x﹣2y﹣10）a+2x+3y﹣11＝0，
由于无论a取任何实数，该二元一次方程都有一个固定的解，
∴列出方程组3x−2y−10=02x+3y−11=0，
解得：x=4y=1．
故答案为：x=4y=1．
15．（2020春•丹阳市校级期末）已知x=4y=2是方程x﹣ky＝2的解，那么k＝ 1 ．
【分析】把方程的解代入方程，得到关于k的一元一次方程，求解即可．
【解析】把x＝4，y＝2代入方程x﹣ky＝2，
得4﹣2k＝2．
解得k＝1．
故答案为：1．
16．（2020春•官渡区期末）已知x=1y=2是关于x，y的二元一次方程3mx﹣2y＝2的解，则m＝ 2 ．
【分析】把x与y的值代入方程计算即可求出m的值．
【解析】把x=1y=2代入方程得：3m﹣4＝2，
解得：m＝2．
故答案为：2．
17．（2020春•南岗区期末）一支部队第一天行军4小时，第二天行军5小时，两天共行军196千米，如果设第一天每小时行军x千米，第二天每小时行军y千米，依题意，可列方程为 4x+5y＝196 ．
【分析】根据路程＝速度×时间，即可得出关于x，y的二元一次方程，此题得解．
【解析】依题意，得：4x+5y＝196．
故答案为：4x+5y＝196．
18．（2019秋•宁德期末）将一摞笔记本分给若干个同学，每个同学分8本，则差了7本．若设共有x个同学，y本笔记本，则可列方程为 y＝8x﹣7 ．
【分析】设共有x个同学，有y个笔记本，根据笔记本与同学之间的数量关系建立二元一次方程求出其解即可．
【解析】设共有x个同学，有y个笔记本，由题意，得y＝8x﹣7．
故答案是：y＝8x﹣7．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020秋•朝阳区校级期中）已知关于x、y的二元一次方程y＝kx+b（k、b为常数）的部分解如下表所示：
（1）求k和b的值；
（2）求出此二元一次方程的所有正整数解（x，y都是正整数）．
【分析】（1）把x与y的两对值代入y＝kx+b中计算求出k与b的值即可；
（2）确定出方程的所有正整数解即可．
【解析】（1）根据表格中的数据，把（0，5）和（3，﹣1）代入y＝kx+b得：b=53k+b=−1，
解得：k=−2b=5；
（2）此二元一次方程为y＝﹣2x+5，
当x＝1时，y＝3；x＝2时，y＝1，
则方程的正整数解为x=1y=3，x=2y=1．
20．（2021•宁波模拟）（1）求方程13x+30y＝4的整数解；
（2）求方程5x+3y＝22的所有正整数解．
【分析】（1）将y看做已知数求出x，即可确定出整数解；
（2）将x看做已知数求出y，即可确定出正整数解．
【解析】（1）方程13x+30y＝4，
解得：x=4−30y13=4−4y13−2y，
设1−y13=k，则y＝﹣13k+1，
所以x＝30k﹣2，
所以x=30k−2y=−13k+1（k为整数）是方程组的解；
（2）方程5x+3y＝22，
解得y=22−5x3=7﹣x+1−2x3，
所方程5x+3y＝22的正整数解为x＝2，y＝4．
21．（2020春•巴州区校级期中）已知关于x、y的方程（k2﹣4）x2+（k+2）x+（k﹣6）y＝k+8，
试问：①当k为何值时此方程为一元一次方程？
②当k为何值时此方程为二元一次方程？
【分析】（1）若方程为关于x、y的一元一次方程，则二次项系数应为0，然后x或y的系数中有一个为0，另一个不为0即可．
（2）若方程为关于x、y的二元一次方程，则二次项系数应为0且x或y的系数不为0．
【解析】（1）因为方程为关于x、y的一元一次方程，所以：
①k2−4=0k+2=0k−6≠0，解得k＝﹣2；
②k2−4=0k+2≠0k−6=0，无解，
所以k＝﹣2时，方程为一元一次方程．
（2）根据二元一次方程的定义可知k2−4=0k+2≠0k−6≠0，解得k＝2，
所以k＝2时，方程为二元一次方程．
22．（2020春•下城区期末）关于x，y的二元一次方程ax+by＝c（a，b，c是常数），b＝a+1，c＝b+1．
（1）当x=3y=1时，求c的值．
（2）当a=12时，求满足|x|＜5，|y|＜5的方程的整数解．
（3）若a是正整数，求证：仅当a＝1时，该方程有正整数解．
【分析】（1）由题意，得3a+a+1＝a+2，解得a=13，即可求得c=73；
（2）当a=12时，方程为12x+32y=52，即x+3y＝5，根据方程即可求得；
（3）由题意，得a（x+y﹣1）＝2﹣y①，x、y均为正整数，则x+y﹣1是正整数，a是正整数，则2﹣y是正整数，从而求得y＝1，把y＝1代入①得，ax＝1，即可求得a＝1，此时方程的正整数解是x=1y=1．
【解析】（1）∵b＝a+1，c＝b+1．
∴c＝a+2，
由题意，得3a+a+1＝a+2，
解得a=13，
∴c＝a+2=73；
（2）当a=12时，12x+32y=52，
化简得，x+3y＝5，
∴符合题意的整数解是：x=−4y=3，x=−1y=2，x=2y=1；
（3）由题意，得ax+（a+1）y＝a+2，
整理得，a（x+y﹣1）＝2﹣y①，
∵x、y均为正整数，
∴x+y﹣1是正整数，
∵a是正整数，
∴2﹣y是正整数，
∴y＝1，
把y＝1代入①得，ax＝1，
∴a＝1，
此时，a＝1，b＝2，c＝3，方程的正整数解是x=1y=1．
23．（2020春•泰兴市期末）已知二元一次方程ax+3y+b＝0（a，b均为常数，且a≠0）．
（1）当a＝2，b＝﹣4时，用x的代数式表示y；
（2）若x=a+2by=13(b2−b)是该二元一次方程的一个解，
①探索a与b关系，并说明理由；
②若该方程有一个解与a、b的取值无关，请求出这个解．
【分析】（1）把a与b的值代入方程，用x表示出y即可；
（2）①a+b＝0，理由为：把x与y代入方程，整理即可得到结果；
②由a+b＝0，得到b＝﹣a，代入方程变形，根据方程组的解与a、b的取值无关，求出所求即可．
【解析】（1）把a＝2，b＝﹣4代入方程得：2x+3y﹣4＝0，
解得：y=−23x+43；
（2）①a与b关系是a+b＝0，理由：
把x=a+2by=13(b2−b)代入二元一次方程ax+3y+b＝0得：a（a+2b）+b2﹣b+b＝0，
整理得：a2+2ab+b2＝0，即（a+b）2＝0，
所以a+b＝0；
②由①知道a+b＝0，
∴b＝﹣a，
∴原方程变为ax+3y﹣a＝0，即a（x﹣1）+3y＝0，
∵该方程组的解与a、b的取值无关，
∴x=1y=0．
24．（2020春•雨花区校级月考）把x＝ax+b（其中a、b是常数，x是未知数）这样的方程称为“中雅一元一次方程”，其中“中雅一元一次方程x＝ax+b”的x的值称为“中雅一元一次方程”的“卓越值”．例如：“中雅一元一次方程”x＝2x﹣1，其“卓越值”为x＝1．
（1）x＝2是“中雅一元一次方程”x＝3x﹣k的“卓越值”，求k的值；
（2）“中雅一元一次方程”x＝sx+t﹣1（s，t为常数）存在“卓越值”吗？若存在，请求出其“卓越值”，若不存在，请说明理由；
（3）若关于x的“中雅一元一次方程”x＝2x−16mn+（6﹣m）的“卓越值”是关于x的方程3x−32mn＝﹣5（6﹣m）的解，求此时符合要求的正整数m，n的值．
【分析】（1）把x＝2代入x＝3x﹣k即可求得；
（2）解方程x＝sx+t﹣1得x=t−11−s，根据分式有意义得条件，当s≠1时存在“卓越值”，当s＝1时分式无意义不存在“卓越值”；
（3）因为方程x＝2x−16mn+（6﹣m）与方程3x−32mn＝﹣5（6﹣m）的解相同，可得m=122−n，因为m、n都为正数，所以2﹣n＞0，即可得出m、n得值．
【解析】（1）∵x＝2是“中雅一元一次方程”x＝3x﹣k的“卓越值”，
∴2＝3×2﹣k，
解得k＝4；
（2）由x＝sx+t﹣1，
得x=t−11−s，
∴①当s≠1时，中雅一元一次方程”x＝sx+t﹣1（s，t为常数）存在“卓越值”，
②当s＝1时，x=t−11−s无意义，所以中雅一元一次方程”x＝sx+t﹣1（s，t为常数）不存在“卓越值”；
（3）由x＝2x−16mn+（6﹣m），
得x=16mn+m−6，
由3x−32mn＝﹣5（6﹣m），
得x＝﹣10+53m+12mn，
由题意可得，16mn+m−6=−10+53m+12mn，
解得：m=12n+2，
∵m＞0，n＞0，
∴n+2＞0，
∴n＝1，m＝4；
n＝2，m＝3；
n＝4，m＝2；
n＝10，m＝1．
y＝kx+b
x
﹣1.5
0
3
y
8
5
﹣1