山西省运城市2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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（考试时间：120分钟）
注意事项：
1．本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共6页，满分120分，考试时间120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置．
3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第I卷 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑）
1. 计算结果是（ ）
A. 3B. 6C. 9D. 27
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了乘方计算，根据乘方的意义，先把乘方转化为乘法，再根据乘法的运算法则来计算即可．
【详解】解：，
故选：D．
2. 下列说法正确的有（ ）
A. 若直线，则直线
B. 同旁内角相等，两直线平行
C. 相等的角是对顶角
D. 在同一平面内，若直线，则直线
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的判定以及平行线的公理等知识，根据平行线的判定以及平行线的公理一一判定即可．
【详解】解：A．若直线，则直线，说法正确，故该选项符合题意；
B．同旁内角互补，两直线平行 ，原说法错误，故该选项不符合题意；
C．相等的角不一定是对顶角，如两直线平行，同位角相等，原说法错误，故该选项不符合题意；
D．在同一平面内，若直线，则直线，原说法错误，故该选项不符合题意；
故选：A．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了同底数幂的除法，积的乘方运算以及合并同类项，根据同底数幂的除法法则，积的乘方运算法则以及合并同类项的法则一一计算即可．
【详解】解：A．，计算正确，故该选项符合题意；
B．和不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；
C．，原计算错误，故该选项不符合题意；
D．，原计算错误，故该选项不符合题意；
故选：A．
4. 细胞壁是细胞外层的结构，包裹在细胞膜外部，存在于许多生物细胞中，如细菌、真菌、植物细胞等．研究表明，细胞壁的厚度一般为．数据，用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：∵
∴，
故选：C．
5. 在狭义相对论中，爱因斯坦用质能方程描述了物体能量与质量之间的关系，能量E（单位：焦耳）与物体质量m（单位：千克）之间的关系可以用来表示，其中c是真空中的光速，（单位：米秒）．若一个物体的质量为千克时，则该物体的能量为（ ）
A. 焦耳B. 焦耳C. 焦耳D. 焦耳
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．
根据题意列出算式进行计算即可．
【详解】解：该物体的能量为：（焦耳）．
故选：B．
6. 下列各式中，可以用平方差公式进行计算的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平方差公式，根据两数之和与两数之差的乘积是构成平方差公式的条件，进行逐一分析，即可作答．
【详解】解：A、，不能运用平方差公式，故该选项是错误的；
B、，能运用平方差公式，故该选项是正确的；
C、，不能运用平方差公式，故该选项是错误的；
D、，不能运用平方差公式，故该选项是错误的；
故选：B
7. 如图，，点B在的延长线上，则以下说法正确的是（ ）
A. 的余角只有B. 与互余
C. 与互补D. 与互补
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了余角和补角的定义，根据余角和补角的定义，一一判断即可．
【详解】解：A．的补角只有，原说法错误，故该选项不符合题意；
B．与互余 ，原说法错误，故该选项不符合题意；
C．∵，，∴与相等，原说法错误，故该选项不符合题意；
D．∵，，∴，∵与互补，∴与互补，原说法正确，故该选项符合题意；
故选：D．
8. 如图，已知直线，则下列条件不能判定直线的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定定理，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．根据内错角相等两直线平行，同旁内角互补两直线平行，同位角相等两直线平行， 逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：A. ∵，
∴，不合题意
B. ∵，
∴，不合题意
C. ∵，
∴，不能判定，符合题意；
D. ∵，
∴，
∵，
∴，
∴，不合题意，
故选：C．
9. 随着社会的发展，越来越多的人开始注重养宠物带来的精神享受，他们将宠物视为家庭成员，注重宠物带来的幸福感，也越来越注重宠物的饮食健康、医疗保健等等．下图为某平台最近7周的“宠物零食”周销量y（个）随时间t（周）变化的图象，则下列说法错误的是（ ）
A. 第4周到第5周，周销量y（个）随时间t（周）的增大而减小
B. 第3周和第5周的销量相同
C. 在这7周中，第1周到第2周与第3周到第4周的周销量增长速度相同
D. 第1周到第7周的平均销售量是2000个周
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了折线统计图相关知识，从折线统计图上获取信息一一判定即可．
【详解】解：A． 第4周到第5周，周销量y（个）随时间t（周）的增大而减小，说法正确，故该选项不符合题意；
B． 第3周和第5周的销量相同，说法正确，故该选项不符合题意；
C． 第1周到第2周的周销量增长了（个），第3周到第4周的周销量增长了（个），∴第1周到第2周与第3周到第4周的周销量增长速度相同，原说法正确，故该选项不符合题意；
D．，则第1周到第7周的平均销售量是个/周，原说法错误，故该选项符合题意；
故选：D．
10. 如图所示，叫做C型积木，叫做H型积木，若C型积木的个数为x，H型积木的个数为y，按照此规律连接两种积木，则y与x之间的关系式为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了图形规律探索，先根据已知图形得出：当时，，当时，，当时，，总结得出规律，即可得出答案．
【详解】解：根据图形可知：当时，，
当时，，
当时，，
……
∴y与x之间的关系式为．
故选：B．
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 比较大小：__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了零次幂以及负整数指数幂，先化简零次幂以及负整数指数幂，再比较大小，即可作答．
【详解】解：∵，
∴．
故答案为：．
12. 一个角的补角是它的4倍，则这个角是______．
【答案】36°
【解析】
【分析】由互补的两个角的和为180°，列方程求解即可；
【详解】解：设这个角为x，则它的补角为（180°-x），
由题意得：180°-x=4x，
解得：x=36°，
故答案为：36°．
【点睛】本题考查了补角的概念，一元一次方程的应用；找准等量关系列方程是解题关键．
13. 为了探究某种植物种子萌发的最适宜条件，晓峰同学通过试验记录了相关数据，种子萌发率Y与温度T（）的关系如表：
若晓峰不慎将实验数据污染，根据表格中两者的对应关系，被污染的实验数据（表中■）为__________．
【答案】60
【解析】
【分析】本题考查求函数值，根据表格中两个变量T、的对应值以及变化规律可得答案．
【详解】解：根据题意，温度每增加，种子萌发率增加，
所以，当温度为时，种子萌发率为，
故答案为：60．
14. 求图中阴影部分的面积__________（用代数式表示）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了代数式的应用，整式混合运算，直接用代数式表示阴影部分面积即可．
【详解】解：阴影部分面积为：
．
故答案为：．
15. 学习整式乘法时，老师拿出三种型号卡片，如图：选取4张A型卡片，12张B型卡片及一些C型卡片拼成了一个新的正方形，则需__________张C型卡片．
【答案】9
【解析】
【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，由题中已选选取4张A型卡片，12张B型卡片，面积之和为，有完全平方公式可得出，进一步得出需9张C型卡片．
【详解】解：A型卡片的面积为：，B型卡片的面积为：，C型卡片的面为：，
题中已选选取4张A型卡片，12张B型卡片，面积之和为：，
由完全平方公式的几何背景可知一个正方形的面积可以表达成一个完全平方公式，
∴，即新的正方形边长为：，
故需9张C型卡片，
故答案为：9．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16. 计算：
（1）
（2）
（3）
（4）（用乘法公式）
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）9998
【解析】
【分析】本题主要考查了幂的混合运算，整式混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．
（1）根据幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法和除法进行计算即可；
（2）根据多项式乘多项式运算法则进行计算即可；
（3）根据整式混合运算法则进行计算即可；
（3）利用平方差公式进行计算即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
；
【小问3详解】
解：
；
【小问4详解】
解：
．
17. 先化简，再求值：，其中．
【答案】；1
【解析】
【分析】本题主要考查了整式化简求值，先根据整式混合运算法则进行计算，然后代入数据求值即可．
【详解】解：
当时
原式．
18. 如图，已知，，，请说明平分．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了角平分线的判定，平行线的判定以及性质，由平行线的性质可得出，等量代换可得出，进而可得出，由平行线的性质可得出，等量代换可得出，即可得到平分．
【详解】解：，
，
又，
，
；
，
又，
，
平分．
19. 操作题
（1）尺规作图：如图1，已知点P是射线上的一点，在上方作，使得；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）①利用网格画图：过点C画直线的平行线，并标出平行线所经过的格点D；过点C画直线的垂线，并标出垂线所经过的格点E，垂足点F；
②线段__________的长度是点C到直线的距离．
【答案】（1）见详解 （2）①见详解；②
【解析】
【分析】本题主要考查了用尺规做一个角等于已知角，利用网格作平行线，作垂线以及点到直线的距离的定义．
（1）用尺规依据画圆的方法做即可．
（2）根据网格即可过点C画直线的平行线，并标出平行线所经过的格点D；根据网格即可过C点画直线的垂线，并标出垂线所经过的格点E，垂足点F；根据点到直线的距离定义即可得到线段的长度是点C到直线的距离；
【小问1详解】
解：如图，为所示，
【小问2详解】
①如图所示，即为所求，即为所求，
②由图可知，线段的长度是点C到直线的距离，
故答案为：．
20. 在一场比赛中，龟和兔从同一个起点出发，乌龟的速度始终保持不变，兔子比乌龟晚出发；兔子在第一次追上乌龟时，觉得自己胜利在望，停下休息了几分钟；但兔子又害怕输给乌龟，休息之后便加快速度追赶乌龟，最终二者同时到达终点．比赛过程中龟兔之间的距离s与时间t之间的关系如图所示，
请根据图象回答下列问题：
（1）乌龟的速度为__________米/分，兔子在休息后的速度为__________米/分，比赛全程__________米；
（2）骄傲的兔子在离开起点__________米时停下休息，休息了__________分；
（3）请解释图中点A的实际意义：__________；
（4）若兔子中途不休息，一直以休息前的速度参与比赛，将比乌龟早到达终点多少分钟？
【答案】（1）1，，10
（2）5，3 （3）兔子比乌龟晚出发2分钟，此时乌龟走了2米
（4）若兔子中途不休息，一直以休息前的速度参与比赛，将比乌龟早到达终点2分钟
【解析】
【分析】本题考查了用图象表示变量之间的关系，从图象上获取信息等知识，理解图象的转折点是解题的关键；
（1）根据点的意义，可得乌龟的速度，当时，兔子第一次追上乌龟，此时路程为，当时，兔子休息完，时，二者同时到达终点，根据路程除以时间得到兔子休息后的速度，根据总时间乘以乌龟的速度得到路程，即可求解；
（2）根据图象可得当时，兔子第一次追上乌龟，开始休息，当时，两者距离最大，兔子休息完，即可求解；
（3）根据图象可得，兔子比乌龟晚出发2分钟，此时乌龟走了2米；
（4）先求得兔子休息前的速度为米/分，进而求得所用时间，结合题意，即可求解．
【小问1详解】
解：根据题意兔子比乌龟晚出发；由图象可得乌龟的速度为：米/分；
当时，兔子第一次追上乌龟，此时路程为，当时，兔子休息完，时，二者同时到达终点，
∴比赛全程为：米，兔子在休息后的速度为米/分，
故答案为：1，，10．
小问2详解】
解：依题意，当时，兔子第一次追上乌龟，开始休息，当时，两者距离最大，兔子休息完，
∴骄傲的兔子在离开起点米时停下休息，休息了分钟
故答案为：，．
【小问3详解】
解：图中点A的实际意义：兔子比乌龟晚出发2分钟，此时乌龟走了2米
故答案为：兔子比乌龟晚出发2分钟，此时乌龟走了2米．
【小问4详解】
解：依题意，兔子休息前的速度为米/分
∴兔子需要的时间为分钟，
∵兔子比乌龟晚出发2分钟，
∴兔子需要分钟完成比赛，
分钟
答：若兔子中途不休息，一直以休息前的速度参与比赛，将比乌龟早到达终点2分钟
21. 如图，填空并填写理由：
已知于点D，于点E，且，说明．
，
____________________（__________），
，
，
（__________），
__________（两直线平行，同位角相等），
，
__________（等量代换），
，（__________）
∵，
（__________）
【答案】；；同位角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；；；内错角相等，两直线平行；平行于同一条直线的两直线平行
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，先根据平行线的判定得出，，，最后根据平行公理得出答案即可．
【详解】证明：，
（同位角相等，两直线平行），
，
，
（同位角相等，两直线平行），
（两直线平行，同位角相等），
，
（等量代换），
，（内错角相等，两直线平行）
∵，
（平行于同一条直线的两直线平行）
故答案为：同位角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；平行于同一条直线的两直线平行；
22. 阅读与思考
根据以上规律，解答下列问题：
（1）展开式中：
①第一项的次数是__________，第二项的系数是__________，第三项是__________；
②共有__________项，系数和为__________；
（2）应用以上规律计算；
（3）的展开式为__________．
【答案】（1）①n，n，；②，
（2）243 （3）
【解析】
【分析】本题主要考查了多项式乘法中的规律性问题，以及多项式的系数，项数，次数等知识．
（1）①通过阅读理解寻找规律，找出，，，每一个第一项的次数，第二项的系数以及第三项，总结规律即可．②找出，，，找出各个项数以及各系数之和，总结规律即可．
（2）根据“杨辉三角”的规律计算即可．
（3）根据规律展开求解即可．
【小问1详解】
解：①，它只有一项，次数为0，
，它有两项，第一项的次数是1，第二项的系数是1，
，第一项的次数是2，第二项的系数是2，第三项是，
，第一项的次数是3，第二项的系数是2，第三项是，
∴的展开式中：
第一项的次数是n，第二项的系数是n，第三项是，
故答案为：n，n，．
②，它只有一项，系数为1；
，它有两项，系数分别为1，1，系数和为；
，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为；
，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为；…
∴展开式共有n+1项，系数和为，
故答案为：；．
【小问2详解】
解：；
【小问3详解】
解：，
故答案为：．
23. 问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线，和一块含角的直角三角尺（）”为主题开展数学活动，直线与直线相交于点E．
（1）小明同学把三角尺角的顶点B放在上，放置方式如图1所示，若，求的度数；
（2）小颖同学将三角尺绕点B旋转至图2位置时，即线段与直线相交于点E．此时与的数量关系为，请你帮小颖同学证明．
（3）如图3，如果不动，小亮同学加大了平行线与之间距离，使平行线之间的距离大于，绕点B旋转三角尺，点A始终在平行线之间，请直接写出与所有可能的数量关系．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）或或
【解析】
【分析】（1）延长交于点E，根据平行线的性质求出，求出结果即可；
（2）延长，交于点F，根据平行线的性质得出，根据三角形外角的性质得出，即可证明结论；
（3）分三种情况进行讨论：当的延长线与交于点E时，延长交于点F，当的延长线交于点E，当点C在上方时，延长交于点F，当延长交于点E，点C在的下方，分别画出图形，求出结果即可．
【小问1详解】
解：延长交于点E，如图所示：
∵，，
∴，
∵，
∴．
【小问2详解】
解：延长，交于点F，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
【小问3详解】
解：当的延长线与交于点E时，延长交于点F，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
当的延长线交于点E，当点C在上方时，延长交于点F，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
；
当延长交于点E，点C在的下方，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
综上分析可知：或或．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，直角三角形的角度计算，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，注意进行分类讨论．
温度T（）
10
15
20
25
30
35
40
种子萌发率
6
15
24
33
42
51
■
我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．例如：
，它只有一项，系数为1；系数和为1；
，它有两项，系数分别为1，1；系数和为2；
，它有三项，系数分别为1，2，1；系数和为4；
，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；
将此规律用下图表示：
……………1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
……