北京市清华大学附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

这是一份北京市清华大学附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题，共10页。试卷主要包含了设集合，，则集合的元素的个数为，若，，，，则，，的大小关系为，已知是公比为的等比数列等内容，欢迎下载使用。

（清华附中高22级） 2024.4
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1.设集合，，则集合的元素的个数为（ ）
A.0B.1C.2D.3
2.已知数列是公差为的等差数列，其前项和为，若，则等于（ ）
A.2B.3C.4D.5
3.在复平面内，复数对应的点坐标为，则复数等于（ ）
A.B.C.D.
4.设，若，则的值为（ ）
A.4B.6C.7D.8
5.已知圆，直线经过点，且与圆相切，则的方程为（ ）
A.B.C.D.
6.若，，，，则，，的大小关系为（ ）
A.B.C.D.
7.已知抛物线的焦点为，准线为直线，横坐标为3的点在抛物线上，过点作的垂线，垂足为，若，则等于（ ）
A.1B.2C.3D.4
8.已知的外接圆的半径为1，，则的最大值为（ ）
A.B.C.D.1
9.已知是公比为的等比数列.则“，恒成立”是“是的一个最值”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.即不充分也不必要条件
10.已知曲线，点在曲线上，给出下列四个结论：
①曲线关于直线对称：
②当时，点不在直线上：
③当时，；
④当时，曲线所围成的区域的面积大于.
其中所有正确结论的有（ ）
A.②③④B.①②③C.①②D.③④
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11.在正方体中，直线与平面所成的角的正弦值为______.
12.已知双曲线，其焦点到渐近线的距离是其焦距的倍，则双曲线的离心率为______.
13.已知函数，若，，使得，则正数的最小值为______.
14.设，函数
①若，则______；
②若函数有且仅有两个零点，则的取值范围为______.
15.训练师是一种新型的工作，通过向提问，能让软件更加准确地回答问题.训练师需要和数据标注员紧密协作，把控好整个流程的输入规则和输出结果，最终输出标注准确的数据.通过训练师每次提问后，软件回答问题的正确率可能发生变化.某软件初始回答问题的正确率记为，设第次训练后，可将该软件回答问题的正确率从改变为，其中，，，，，，…，给出下列四个结论：
①当，若，，时，该软件无法通过训练提高正确率；
②若，时，该软件经过第一次训练提高了正确率：
③当，若，，时，该软件经过5次训练后，正确率高于：
④当，若，时，该软件无论怎么训练，正确率都不高于.
其中，所有正确结论的序号是______.
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题13分）
在中，.
（I）求的值；
（II）以下三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件，并求：
条件①：；
条件②：；
条件③：的面积为.
注：如果选择的条件不符合要求，第（II）问得0分.
（17）（本小题13分）
如图，在四棱锥中，，，，和都是等边三角形，且.
（I）求证：平面；
（II）求平面与平面所成角的余弦值.
（18）（本小题14分）
为了解某地区居民每户月均用电情况，采用随机抽样的方式，从该地区随机调查了100户居民，获得了他们每户月均用电量的数据，发现每户月均用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开区间），得到如下频率分布直方图：
（I）记频率分布直方图中从左到右的分组依次为第1组，第2组，…，第6组.从样本中第1组和第2组中，任取2户，求他们月均用电量都不低于的概率；
（II）从该地区全体居民中随机抽取3户，设月均用电量在之间的用户数为，以样本的频率估计总体的概率，求的分布列和数学期望；
（III）用图中数据估计该地区全体用户的月均用电量.有人估计该地区全体用户的月均用电量低于.请分析这一估计是否正确，说明理由.
（19）（本小题15分）
已知椭圆过点，点是椭圆的右焦点，且.过点作两条互相垂直的弦，.
（I）求椭圆的方程；
（II）若直线，的斜率都存在，设线段，的中点分别为，.求点到直线的距离的最大值.
（20）（本小题15分）
已知函数，其中.
（I）判断曲线在处切线是否与轴平行；
（II）求的单调区间；
（III）若有两个极值点，设极大值点为，且，判断与2的大小关系，并说明理由.
（21）（本小题15分）
已知整数，集合，，，满足，对任意的，都有且.记.
（I）若，写出两组满足条件的集合，并写出相应的；
（II）证明：；
（III）求的所有可能取值.
参考答案
一、
1-5CADBA6-10DBCAA
二、
11.12.13.
14.①2；②或得
15.①
②，不能确定
③，表示首项为，公比为的等比数列.则.
④，得，，
得.
当变大时，越来越趋近于0，，
则，得
16.解：（I）因为，
所以，即，
因为，所以.
（II）由（I）知，，由余弦定理知，，
所以，而条件①中，所以，
显然不符合题意，即条件①错误；
由条件②，条件③，解得，
由余弦定理知，，所以，
由正弦定理知，，所以.
17.解：（I）法：1：取线段中点为.
由，为等边三角形知，.
，平面.平面，.
，平面.
法2：求得，得，
得，得.
，平面.
（II）取线段的中点0，连接，则.由平面，知.
作交于.由，，则有，.
则，，两两垂直.如图建立坐标系.
，，，.
，.
平面的一个法向量.
设平面的法向量，，，
则有，，即，令，得.
则.
由于平面与平面所成的角是锐角，则其余弦值为.
18.解：（I）由频率分布直方图可知，100户居民中，第1组的居民户数为
，第2组的居民户数为，
从第1组、第2组中任取2户居民，他们月均用电量都不低于300千瓦时的概率为；
（II）该地区月均用电量在千瓦时之间的用户所占的频率为.由题意可知，，；
；
；
，
所以的分布列为：
.
（III）这一推断是不正确的.由于抽样的数据具有随机性，当总体的数据集中于区间的左端时，该地区全体用户月均用电量为：
千瓦时.
所以这一结论是不正确的.
19.解：（1），，则椭圆的方程为.
（2），斜率均存在，设直线方程为：
，设，，
联立：，消去得：
，，
，.
即，将上式中的换成，同理可得：，
①若直线斜率不存在，此时，解得：，直线过点；
②若直线䣄率存在，则，
直线为，得，
直线过点；综上，直线恒过定点.
因为，故斜率不为0，设直线，，当时，.
20.解：（I），，，
所以曲线在处切线为，与轴平行.
（II）令，则或.
当时，时，，；时，，.
故，，所以单增区间为
当时，，则有
所以单增区间为和，单减区间为.
当时，，则有
所以单增区间为和，单减区间为.
（III）由知，则.
若有两个极值点，则.
当时，，，则有，则.
当时，，即，又得则
设，.，令，得.
故，此时，.
所以当时，；当时，.
21.解：（I）（共6组，任写2组即可）
，，.，，.
，，.，，.
，，.，，.
（II）若，则，而，，，…，，所以.，所以，，结论成立.
若，则由且，，…，互不相同的正整数，知，
由和知，所以，结论成立.
（III）设，则，，
两个中，其中一个取等号，另一个不取等号，所以比中至少个数大，
因此，即，，…，，而，，…，两两不同，
所以，，…，恰好是，…，的一个排列.
再设，则，，…，，，，…，恰好是，…，的一个排列，所以，，…，是，…，的排列，故有：
.0
1
2
3
0
0
0
极大值
极小值
0
0
0
极大值
极小值
0
极大值