北京市北京交大附中2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题（原卷版+解析版）

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2024.04
说明：本试卷共4页，共120分.考试时长90分钟.
一､选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 的值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据特殊角的三角函数值得到，从而可求解.
【详解】由题意可得，故D正确.
故选：D.
2. 若角的终边过点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据余弦函数定义结合诱导公式计算求解即可.
【详解】因为角的终边过点，所以，所以.
故选：A
3. 已知扇形的弧长为，圆心角为，则此扇形的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由条件结合弧长公式求出圆的半径，然后结合扇形的面积公式可得答案．
【详解】因为扇形的圆心角，它所对的弧长，
所以根据弧长公式可得，圆的半径，
所以扇形的面积；
故选：B．
4. 向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若向量，则实数（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】将3个向量的起点归于原点，根据题设得到它们的坐标，从而可求的值.
【详解】如图，将的起点平移到原点，则，
由可得，解得，
故选：D.
5. 下列四个函数中以为最小正周期且为奇函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角函数的周期性和奇偶性对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】对于A，函数的最小正周期为，
因为，所以为偶函数，A错误，
对于B，函数的最小正周期为，
因为，所以函数为奇函数，B错误，
对于C，函数的最小正周期为，
因为，所以函数为奇函数，C正确，
对于D，函数的图象如下：
所以函数不是周期函数，且函数为偶函数，D错误，
故选：C.
6. 在中，，， 且， 则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将两边平方，即可得到，再由数量积的运算律计算可得.
【详解】因为，所以，
即，
所以，即，
所以.
故选：B
7. 函数在区间上的图像为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别讨论x在上的符号，然后切化弦将函数化简，作出图像即可.
【详解】因为，所以
故选：C.
8. 已知函数，则“”是“是偶函数，且是奇函数”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】首先求出、的解析式，再根据正弦函数的性质求出使是偶函数且是奇函数时的取值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】因为，则，
，
若是奇函数，则，解得，
若是偶函数，则，解得，
所以若是偶函数且是奇函数，则，
所以由推得出是偶函数，且是奇函数，故充分性成立；
由是偶函数，且是奇函数推不出，故必要性不成立，
所以“”是“是偶函数，且是奇函数”的充分不必要条件.
故选：A
9. 已知向量共面，且均为单位向量，，则的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，可设出向量的坐标，由于这三个向量都是单位向量，则向量的终点都落在以坐标原点为圆心的单位圆上，作出示意图，由向量的性质可知，只有当与同向时， 有最大值，求解即可.
【详解】因为向量共面，且均为单位向量，，
可设，，，如图，

所以，当与同向时，此时有最大值，为.
故选：A.
10. 窗花是贴在窗户玻璃上的贴纸，它是中国古老的传统民间艺术之一在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）．已知正方形的边长为2，中心为，四个半圆的圆心均为正方形各边的中点（如图2），若为的中点，则（ ）

A. 4B. 6C. 8D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】根据平面向量的线性运算将化为、、表示，再根据平面向量数量积的运算律可求出结果.
【详解】依题意得，，，，
所以，
，
所以
.
故选：C
二､填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上）
11. 写出一个与向量共线的单位向量_____________.
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】先求出，则即为所求.
【详解】
所以与向量共线的单位向量为或.
故答案为：（答案不唯一）
12. 已知函数的部分图象如图，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据图象可得函数的最大值，最小值，周期，由此可求，再由求，由此求得的解析式，然后求得.
【详解】由图可知，函数的最大值为，最小值为，，
当时，函数取最大值，
又
所以，，
所以，
所以，又，
所以，
由于，
所以，
所以，.
故答案为：.
13. 已知函数的图象过点，则__________.，若将函数图象仅向左平移个单位长度和仅向右平移个单位长度都能得到同一个函数的图象，则的最小值为__________.
【答案】 ①. ## ②. ##
【解析】
【分析】 由条件列方程求，再利用平移变换分别得到变换后的函数解析式，并根据相位差为求解；
【详解】因为函数的图象过点，
所以，又，
所以，
函数（）的图象仅向左平移个单位长度
得到函数的图象，
函数（）的图象仅向右平移个单位长度
得到的图象，
则（），
化简得（），
解得（），
由于，所以当时，取得最小值，
故答案为：．
14. 已知边长为2的菱形中，，点满足，点为线段上一动点，则的最大值为______.
【答案】
【解析】
【分析】建立如图平面直角坐标系，设，利用平面向量线性运算与数量积的坐标表示可得关于的表达式，从而得解.
【详解】如图，以A为原点建立平面直角坐标系，
则，
因为，所以，
由题意，设，则，
则，
所以，
因为，所以当时，的最大值为3.
故答案为：.
15. 声音是由物体振动产生声波.我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数.音有四要素，音调､响度､音长和音色.它们都与函数及其参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小；音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖锐.我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多音的结合，称为复合音.我们听到的声音对应的函数是..给出下列四个结论：
①函数不具有奇偶性；
②函数在区间上单调递增；
③若某声音甲对应的函数近似为，则声音甲的响度一定比纯音的响度小；
④若某声音乙对应的函数近似为，则声音乙一定比纯音更低沉.
其中所有正确结论的序号是__________.
【答案】②④
【解析】
【分析】对①，结合奇偶性的定义判断即可；对②，利用正弦型函数的单调性作出判断；对③，分别判断的振幅大小可得；对④，求出周期，可得频率，即可得出结论.
【详解】对于①，令，
所以，
所以，
所以，所以是奇函数，①错误；
对于②，由可得，，，，
所以都在上单调递增，
所以在上单调递增，
所以函数在区间上单调递增，②正确；
对于③．因为，所以，
所以，即的振幅比的振幅大，
所以声音甲的响度一定比纯音的响度大，所以③错误；
对于④，因为，
所以函数为周期函数，为其周期，
若存在，使恒成立，
则必有，
，
，因为，
，
又与不恒相等，
所以函数的最小正周期是，所以频率
而的周期为，频率，，
所以声音乙一定比纯音更低沉，所以④正确．
故答案为：②④.
三､解答题（本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 如图，在中，，E是AD的中点，设，.

（1）试用，表示，；
（2）若，与夹角为，求.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）利用向量加法减法的三角形法则及数乘运算即可求解；
（2）根据（1）的结论，利用向量的数量积运算法则即可求解.
【小问1详解】
因，所以，
所以.
因为E是AD的中点，
所以
.
【小问2详解】
因为，与的夹角为，
所以，
由（1）知，，，
所以
.
17. 已知函数
（1）求的最小正周期；
（2）求函数的单调递增区间；
（3）若函数在区间内只有一个零点，直接写出实数的取值范围.
【答案】（1）的最小正周期为，
（2）函数的单调递增区间是；
（3）的取值范围为.
【解析】
【分析】（1）根据正弦型函数的周期公式求解即可；
（2）利用正弦函数的单调区间结论求解；
（3）求出的解后可得的范围．
【小问1详解】
因为，
所以函数的最小正周期；
【小问2详解】
由，，
可得，，
所以函数的单调递增区间是；
【小问3详解】
由可得，
，
所以，，
因为函数在区间上有且只有一个零点，
所以，
所以实数取值范围为.
18. 已知.
（1）若（为坐标原点），求与的夹角；
（2）若，求的值.
【答案】（1）与的夹角为，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量模长以及夹角的坐标公式计算即可；
（2）由向量垂直得到数量积为，进而得到，通过平方得到，进而可得，再根据的范围确定正负，开方得解.
【小问1详解】
因为，
所以，
所以，
由得，
所以，
又，，
所以，，
设与的夹角为，
则,
又，故与的夹角为，
【小问2详解】
由得，
又，，
所以，
所以，
所以，又，
所以,
所以，
所以.
19. 已知函数，且图像的相邻两条对称轴之间的距离为，再从条件①､条件②､条件③中选择两个作为一组已知条件.
（1）确定的解析式；
（2）设函数，则是否存在实数，使得对于任意，存在，成立？若存在，求实数的取值范围：若不存在，请说明理由.
条件①：的最小值为；
条件②：图像的一个对称中心为；
条件③：的图像经过点.
注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1）选①②，②③，①③答案都为，
（2）存在满足条件，的取值范围为.
【解析】
【分析】（1）先根据已知求出的最小正周期，即可求解，
选条件①②：可得的最小值为，可求．根据对称中心可求，即可得解函数解析式；
选条件①③：可得的最小值为，可求．根据函数的图象过点，可求，可得函数解析式；
选条件②③：根据对称中心可求，再根据函数的图象过点，可求的值，即可得解函数解析式．
（2）求出函数，在上的值域，再结合恒成立、能成立列式求解作答.
【小问1详解】
由于函数图像上两相邻对称轴之间的距离为，
所以的最小正周期，
所以，
此时.
选条件①②：
因为的最小值为，所以．
因为图象的一个对称中心为，
所以，
所以，，
因为，所以，此时，
所以．
选条件①③：
因为的最小值为，
所以．
因为函数的图象过点，
则，
所以，即．
因为，所以，
所以，
所以，
所以．
选条件②③：
因为函数的一个对称中心为，
所以，
所以．
因为，所以，此时．
所以．
因为函数的图象过点，
所以，
所以，，
所以，
所以．
综上，不论选哪两个条件，.
【小问2详解】
由（1）知，，由得：，
，因此，
由得：，，
因此，从而，
由得：，
假定存在实数，使得对，，成立，
即存在实数，使得对，，成立，则，
于是得，解得，
因此存在实数，使得对，，成立，
所以实数的取值范围是.
20. 对于定义在上函数和正实数若对任意，有，则为阶梯函数.
（1）分别判断下列函数是否为阶梯函数（直接写出结论）：
①；
②.
（2）若为阶梯函数，求的所有可能取值；
（3）已知为阶梯函数，满足：在上单调递减，且对任意，有.若函数有无穷多个零点，记其中正的零点从小到大依次为；若时，证明：存在，使得在上有4046个零点，且.
【答案】（1）①否；②是
（2），
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用阶梯函数的定义进行检验即可判断；
（2）利用阶梯函数的定义，结合正弦函数的性质即可得解；
（3）根据题意得到，，从而取，结合零点存在定理可知在上有且仅有两个零点：，，从而得解.
【小问1详解】
，则；
，则，
故①否；②是.
【小问2详解】
因为为阶梯函数，所以对任意有：
.
所以对任意，，
因为是最小正周期为的周期函数，
又因为，所以，.
【小问3详解】
因为，所以函数，
则，
.
取，
则有，，
由于在上单调递减，因此在上单调递减，
结合，
则有在上有唯一零点，在上有唯一零点.
又由于，
则对任意，有，，
因此，对任意，在上有且仅有两个零点：，.
综上所述，存在，使得在上有4046个零点，
且，，，，，，，
其中，.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是充分理解新定义阶梯函数，从而在第3小问推得，，由此得解.