2024年广东省广州市天河区中考数学一模试卷（附参考答案）

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1．如图，数轴上点A所表示的数的相反数是（ ）
A．3B．C．D．﹣3
2．据国家统计局公布，2023年第一季度，全国居民人均可支配收入10870元．数据10870用科学记数法表示为（ ）
A．1.087×104B．10.87×104C．10.87×103D．1.087×103
3．下列几何体中，各自的三视图完全一样的是（ ）
A．B．C．D．
4．下列运算正确的是（ ）
A．（m﹣1）2＝m2﹣1B．（2m）3＝6m3
C．m7÷m3＝m4D．m2+m5＝m7
5．一组数据：3，4，4，4，5，若去掉一个数据4，则下列统计量中发生变化的是（ ）
A．众数B．方差C．平均数D．中位数
6．某运输公司运输一批货物，已知大货车比小货车每俩多运输5吨货物，且大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同，设大货车每辆运输x吨，则所列方程正确的是（ ）
A．B．C．D．
7．下列四个函数图象中，当x＜0时，函数值y随自变量x的增大而减小的是（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，为了测量校园里实验楼AB的高度，将测角仪CD竖直放置在与教学楼水平距离为的地面上，若测角仪的高度是1.5m．测得实验楼的顶部A处的仰角为30°，则教学楼的高度是（ ）
A．55.5mB．54mC．19.5mD．18m
9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝AC，∠BAC＝30°，在上取点D（不与点A，B重合），连接BD，AD，则∠BAD+∠ABD的度数是（ ）
A．60°B．105°C．75°D．72°
10．如图，M是△ABC三条角平分线的交点，过M作DE⊥AM，分别交AB，AC于D，E，设BD＝a，DE＝b，CE＝c，下列关于x的方程ax2+bx+c＝0的根的情况判断正确的是（ ）
A．一定有两个相等的实数根
B．一定有两个不相等的实数根
C．有两个实数根，但无法确定是否相等
D．无实数根
二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分．）
11．方程4+2x＝0的解为 ．
12．因式分解：x2﹣3x＝ ．
13．现有50张大小、质地及背面图案均相同的《西游记》人物卡片正面朝下放置在桌面上，从中随机抽取一张并记下卡片正面所绘人物的名字后原样放回，洗匀后再抽．通过上百次试验后，发现抽到绘有孙悟空这个人物卡片的频率约为0.3．估计这些卡片中绘有孙悟空这个人物的卡片张数约为 ．
14．已知P（x1，1），Q（x2，1）两点都在抛物线y＝x2﹣3x+1上，那么x1+x2＝ ．
15．如图，平面直角坐标系中，⊙A与x轴相切于点B，作直径BC，函数y＝（x＞0）的图象经过点C，D为y轴上任意一点，则△ACD的面积为 ．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E，F分别是边CD，BC上的动点，且∠AFE＝90°．
（1）当BF＝5时，tan∠FEC＝ ；
（2）当∠AED最大时，DE的长为 ．
三、解答题（本大题有9小题，共72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤．）
17．解不等式：6x﹣3＞2x﹣7．
18．如图，四边形ABCD中，AB＝DC，AB∥DC，E，F是对角线AC上两点，且AE＝CF．求证：△ABE≌△CDF．
19．为打造书香文化，培养阅读习惯，某中学计划在各班建设图书角，并开展主题为“我最喜欢阅读的书篇”的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类，B：文学类，C：政史类，D：艺术类，E：其他类）．张老师组织数学兴趣小组对学校部分同学进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．
根据图中信息，请回答下列问题：
（1）填空：参与本次问卷调查活动的学生人数是 ；
（2）甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率．
20．已知关于x的函数图象经过点A（m﹣1，n）．
（1）用含m的代数式表示m；
（2）当时，若反比例函数的图象也经过点A，求k的值．
21．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，AB＝3．
（1）尺规作图：在BC上找一点P，作⊙P与AC，AB都相切，与AC的切点为Q；（保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图中，连接BQ，求sin∠CBQ的值．
22．如图是气象台某天发布的某地区气象信息，预报了次日0时至8时气温随着时间变化情况，其中0时至5时的图象满足一次函数关系式y＝kx+b，5时至8时的图象满足函数关系式y＝﹣x2+16x﹣60．请根据图中信息，解答下列问题：
（1）填空：次日0时到8时的最低气温是 ；
（2）求一次函数y＝kx+b的解析式；
（3）某种植物在气温0℃以下持续时间超过4小时，即遭到霜冻灾害，需采取预防措施．请判断次日是否需要采取防霜措施，并说明理由．
23．在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图MN为一凸透镜，F是凸透镜的焦点．在焦点以外的主光轴上垂直放置一小蜡烛AB，透过透镜后呈的像为CD．光路图如图所示：经过焦点的光线AE，通过透镜折射后平行于主光轴，并与经过凸透镜光心的光线AO汇聚于C点．
（1）若焦距OF＝4，物距OB＝6，小蜡烛的高度AB＝1，求蜡烛的像CD的长度；
（2）设，，求y关于x的函数关系式，并通过计算说明当物距大于2倍焦距时，呈缩小的像．
24．矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8．
（1）如图1，矩形的对角线AC，BD相交于点O．
①求证：A，B，C，D四个点在以O为圆心的同一个圆上；
②在⊙O的劣弧AD上取一点E，使得AE＝AB，连接DE，求△AED的面积．
（2）如图2，点P是该矩形的边AD上一动点，若四边形ABCP与四边形GHCP关于直线PC对称，连接GD，HD，求△GDH面积的最小值．
25．已知抛物线C：y1＝a（x﹣h）2﹣1，直线l：y2＝k（x﹣h）﹣1，其中0＜a≤2，k＞0．
（1）求证：直线l与抛物线C至少有一个交点；
（2）若抛物线C与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，其中x1＜x2，且0＜x1+x2＜3，求当a＝1时，抛物线C存在两个横坐标为整数的顶点；
（3）若在直线l下方的抛物线C上至少存在两个横坐标为整数的点，求k的取值范围．
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