2023-2024学年江西省南昌一中教育集团八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江西省南昌一中教育集团八年级（下）期中数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列各式中，不是二次根式的是( )
A. 45B. −3C. a2+3D. 23
2.下列二次根式中，能与 3合并的是( )
A. 32B. 12C. 24D. 8
3.以直角三角形的三边为边做正方形，三个正方形的面积如图所示，正方形A的面积为( )
A. 6
B. 36
C. 64
D. 8
4.△ABC的三边分别为a，b，c，下列条件：
①∠A=∠B−∠C；②a2=(b+c)(b−c)；③a：b：c=3：4：5．
其中能判断△ABC是直角三角形的条件个数有( )
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
5.▱ABCD中，E，F是对角线BD上不同的两点．下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是( )
A. BE=DFB. AE=CF
C. AF/​/CED. ∠BAE=∠DCF
6.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F.已知AB=4，△AOE的面积为5，则DE的长为( )
A. 2B. 5C. 6D. 3
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.要使式子 x−2024有意义，则x的取值范围是______．
8.如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为______．
9.《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”大意是说：已知矩形门的高比宽多6尺，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？(1丈=10尺)，如果设门的宽为x尺，那么这个门的高为(x+6)尺，根据题意得方程：______．
10.如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O.如果AC=8，BD=14，AB=x，那么x的取值范围是______．
11.如图，一技术人员用刻度尺(单位：cm)测量某三角形部件的尺寸.已知∠ACB=90°，点D为边AB的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则CD= ______cm．
12.如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，连接AC，若点P在图中任意线段上，当AP=CP，则BP的长为______．
三、解答题：本题共11小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.(本小题6分)
计算：
(1) 27− 12+ 3；
(2)如图，在▱BFDE中，A、C分别在DE、BF的延长线上，且AE=CF.求证：四边形ABCD是平行四边形．
14.(本小题6分)
已知，m= 5+1，n= 5−1.求值：
(1)m2+n2；
(2)nm+mn．
15.(本小题6分)
如图，正方形网格中小方格边长为1，A，B，C都是小正方形的顶点，请你根据所学的知识解决下面问题．
(1)求△ABC的周长；
(2)判断△ABC是不是直角三角形，并说明理由．
16.(本小题6分)
如图，小巷左右两侧是竖直的墙，已知小巷的宽度CE是2.2米.一架梯子AB斜靠在左墙时，梯子顶端A与地面点C距离是2.4米.如果保持梯子底端B位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端D与地面点E距离是2米.求此时梯子底端B到右墙角点E的距离是多少米．
17.(本小题6分)
如图，在▱ABCD中，点E在AD上，请仅用无刻度直尺按要求作图(保留作图痕迹，不写作法)
(1)在图1中，过点E作直线EF将▱ABCD分成两个全等的图形；
(2)在图2中，DE=DC，请你作出∠BAD的平分线AM．
18.(本小题8分)
如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，且AB=AE．
(1)求证：△ABC≌△EAD；
(2)若AE平分∠DAB，∠EAC=25°，求∠AED的度数．
19.(本小题8分)
正方形ABCD中对角线AC、BD相交于O，E为AC上一点，AG⊥EB交EB于G，AG交BD于F．
(1)说明OE=OF的道理；
(2)在(1)中，若E为AC延长线上，AG⊥EB交EB的延长线于G，AG、BD的延长线交于F，其他条件不变，如图2，则结论：“OE=OF”还成立吗？请说明理由．
20.(本小题8分)
请你认真阅读思考下面的材料，完成相关问题．
【数学模型】
如图①，A，B是直线l同旁的两个定点，在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．
方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则点P即为所求.此时，PA+PB的值最小，且PA+PB=A′P+PB=A′B．
【模型应用】
(1)如图②，经测量得A，B两点到河边l的距离分别为AC=300米，BD=900米，且CD=900米.在l上确定一点P，则PA+PB的最短路径长为______米；
(2)如图③，在正方形ABCD中，AB=9，点E在边CD上，且DE=2CE，点P是对角线AC上一个动点，求PE+PD的最小值；
(3)如图④，在平面直角坐标系中，点A(−2,4)，B(4,2).请在x轴上确定一点P，使PA+PB的值最小，并求出PA+PB的最小值．
21.(本小题9分)
【阅读理解】
爱思考的小名在解决问题：已知a=12+ 3，求2a2−8a+1的值.他是这样分析与解答的：
∵a=12+ 3=2− 3(2+ 3)(2− 3)=2− 3，a−2=− 3．
∴(a−2)2=3，即a2−4a+4=3．
∴a2−4a=−1．
∴2a2−8a+1=2(a2−4a)+1=2×(−1)+1=−1．
请你根据小名的分析过程，解决如下问题：
(1)计算：1 2+1= ______；
(2)计算：1 2+1+1 3+ 2+1 4+ 3+…+1 2024+ 2023= ______；
(3)若a=1 5−2，求3a2−12a−1的值．
22.(本小题9分)
定义：有一个内角为90°，且对角线相等的四边形称为准矩形．

(1)如图1，准矩形ABCD中，∠ABC=90°，若AB=3，BC=6，求BD的长；
(2)如图2，正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，AB上的点，且四边形BCEF是准矩形，求证：CF⊥BE；
(3)如图3，准矩形ABCD中，∠ABC=90°，∠BAC=45°，AB=2，AC=DC，求这个准矩形的面积．
23.(本小题12分)
(1)【探究发现】如图①，已知矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别交于点E，F.求证：四边形AFCE是菱形；
(2)【类比应用】如图②，直线EF分别交矩形ABCD的边AD，BC于点E，F，将矩形ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为D′，若AB=3，BC=4，求四边形ABFE的周长；
(3)【拓展延伸】如图③，直线EF分别交平行四边形ABCD的边AD，BC于点E，F，将平行四边形ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为D′，若AB=2 2，BC=4，∠C=45°，求EF的长．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、 45是二次根式，故A正确；
B、被开方数小于零，故B错误；
C、 a2+3是二次根式，故C正确；
D、 23是二次根式，故D正确；
故选：B．
根据二次根式的定义，可得答案．
本题考查了二次根式的定义，注意二次根式的被开方数是非负数．
2.【答案】B
【解析】解：(A)原式= 62，故A与 3不能合并；
(B)原式=2 3，故B与 3能合并；
(C)原式=2 6，故C与 3不能合并；
(D)原式=2 2，故D与 3不能合并；
故选：B．
先将各二次根式化为最简二次根式，然后根据同类二次根式即可判断．
本题考查同类二次根式，解题的关键是将各根式化为最简二次根式，本题属于基础题型．
3.【答案】A
【解析】解：如图，∵∠CBD=90°，CD2=14，BC2=8，
∴BD2=CD2−BC2=6，
∴正方形A的面积为6，
故选：A．
根据正方形可以计算斜边和一条直角边，则另一条直角边根据勾股定理就可以计算出来．
本题考查了勾股定理的运用，考查了正方形面积的计算，本题中解直角△BCD是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：①∵∠A=∠B−∠C，
∴∠A+∠C=∠B，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴2∠B=180°，
∴∠B=90°，
∴△ABC是直角三角形，
∴①正确；
②a2=(b+c)(b−c)，
∴a2=b2−c2，
∴a2+c2=b2，
∴△BAC是直角三角形，∴②正确；
③∵a：b：c=3：4：5，
∴设a=3k，b=4k，c=5k，
∵a2+b2=25k2，c2=25k2，
∴a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形，∴③正确；
故选：D．
根据三角形的内角和定理和已知求出最大角∠B的度数，即可判断①；根据已知得出a2+c2=b2，根据勾股定理的逆定理即可判断②；设a=3k，b=4k，c=5k求出a2+b2=c2，根据勾股定理的逆定理即可判断③．
本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理的应用，主要考查学生的辨析能力，题目比较典型，难度适中．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
连接AC与BD相交于O，根据平行四边形的对角线互相平分可得OA=OC，OB=OD，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，只要证明得到OE=OF即可，然后根据各选项的条件分析判断即可得解．
【解答】
解：如图，连接AC与BD相交于O，
在▱ABCD中，OA=OC，OB=OD，
A.若BE=DF，则OB−BE=OD−DF，即OE=OF，所以四边形AECF是平行四边形，故本选项不符合题意；B.若AE=CF，则无法证明四边形AECF是平行四边形，故本选项符合题意；
C.AF/​/CE，则∠FAO=∠ECO，
又∵AO=OC，
∴在△AOF和△COE中，
∠FAO=∠ECOAO=OC∠AOF=∠COE
∴△AOF≌△COE(ASA)，
∴OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形，故本选项不符合题意；
D.在▱ABCD中，AB=CD，AB/​/CD，
∴∠CDF=∠ABE，
∵∠BAE=∠DCF，
∴在△ABE和△CDF中，
∠BAE=∠DCFAB=CD∠ABE=∠CDF
∴△ABE≌△CDF(ASA)，
∴BE=DF，然后同A可得四边形AECF是平行四边形，故本选项不符合题意．
6.【答案】D
【解析】解：如图，连接CE，
由题意可得，OE为对角线AC的垂直平分线，
∴BF=DE，S△AOE=S△DOE=5，
∴S△ACE=2S△COE=10．
∴12AE⋅CD=10，
∵CD=4，
∴EE=5，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：DE= 52−42=3．
故选：D．
连接BE，由题意可得OE为对角线BD的垂直平分线，可得BE=DE，S△BOE=S△DOE=5，由三角形的面积则可求得DE的长，得出BE的长，然后由勾股定理求得答案．
本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理以及三角形的面积问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
7.【答案】x≥2024
【解析】解：由题意可得x−2024≥0，
解得：x≥2024，
故答案为：x≥2024．
根据二次根式有意义的条件即可求得答案．
本题考查二次根式有意义的条件，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
8.【答案】−1+ 10
【解析】解：AC= AB2+BC2= 32+12= 10，
则AM=AC= 10，
∵A点表示−1，
∴M点表示的数为：−1+ 10．
故答案是：−1+ 10．
首先根据勾股定理计算出AC的长，进而得到AM的长，再根据A点表示−1，可得M点表示的数．
此题主要考查了勾股定理，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
9.【答案】x2+6x−32=0
【解析】解：设门的宽为x尺，那么这个门的高为(x+6)尺，根据题意得方程：
x2+(x+6)2=100，
整理得：x2+6x−32=0．
故答案为：x2+6x−32=0．
直接利用勾股定理进而得出等式方程即可．
此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题关键．
10.【答案】3