2023-2024学年吉林省长春市农安县八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年吉林省长春市农安县八年级（下）期中数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列代数式中，属于分式的是( )
A. 2xB. xy3C. 3xD. 2 x+1
2.“N95口罩”表示此类型的口罩对空气动力学直径0.000 000 3m的颗粒过滤效果达到95%以上.其中0.0000003用科学记数法表示为( )
A. 3×10−6B. 3×10−7C. 0.3×10−6D. 0.3×10−7
3.在平面直角坐标系中，点P的坐标为(−4,3)则点P在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
4.分式x−2x+2的值为0，则x的值为( )
A. −2B. 2C. 0D. ±2
5.函数y= x+3自变量x的取值范围是( )
A. x≥−3B. x≥3C. x>3D. x>−3
6.下列计算正确的是( )
A. (−3)0=0B. (−3)0=−1C. 2−2=−4D. 2−2=14
7.把分式x+yx2中的x，y的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值( )
A. 不变B. 扩大为原来的2倍C. 扩大为原来的4倍D. 缩小为原来的12
8.小明的父亲从家走了20min到一个离家900m的书店，在书店看了10min书后，用15min返回家，下列图中表示小明的父亲离家的距离与时间的函数图象的是( )
A. B.
C. D.
9.如图，反比例函数y=4x的图象过点A，AB垂直于x轴，则△AOB的面积是( )
A. 4
B. 8
C. 2
D. 6
10.已知一次函数y=−12x−1，则下列说法正确的是( )
A. y随x的增大而增大B. 图象经过第一、二、四象限
C. 该函数图象一定过点(−1,0)，(0,−2)D. 当x>−2时，y<0
二、填空题：本题共9小题，每小题4分，共36分。
11.计算：3−2−(1+π)0= ______．
12.当式子2xx−2有意义时，实数x的取值范围是______．
13.方程1−xx+3=1的解为______．
14.约分3ab(a−b)612a(b−a)3的结果是______
15.若解关于x的分式方程2x−1x−7+m7−x=1(m为常数)过程中产生了增根，则m= ______．
16.在平面直角坐标系中，一次函数y=kx和y=−x+3的图象如图所示，则二元一次方程组y=kxx+y=3的解是______．
17.已知双曲线y=kx经过点(−1,2)，那么k的值等于______．
18.如果点A(1,m)、点B(2,n)在直线y=− 2x−4上，那么m ______n(填“>”、“<”)．
19.一次函数y=x−2的图象与坐标轴围成的三角形的面积是______．
三、计算题：本大题共1小题，共5分。
20.化简：3x−4−24x2−16．
四、解答题：本题共7小题，共45分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题5分)
化简：a2xyb2z2÷a2yzb2x2．
22.(本小题5分)
解下列方程：100x=30x−7．
23.(本小题5分)
先化简，再求值：1−xx+1÷xx2−1，其中x= 3−1．
24.(本小题7分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标为A(3,3)、B(1,4)、C(1,1)，若将△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向左平移2个单位得到△DEF，且点A与点D对应，点B与点E对应，点C与点F对应．
(1)在此坐标系中画出△DEF；
(2)写出点D的坐标为______．
25.(本小题7分)
某校为了丰富学生的校园生活，准备购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多40元，用1500元购进的篮球个数与900元购进的足球个数相同，篮球与足球的单价各是多少元？
26.(本小题8分)
在购买某场足球赛门票时，设购买门票数为x(张)，总费用为y(元)，现有两种购买方案：
方案一：若单位赞助广告费10000元，则该单位所购买门票的价格为每张60元(总费用=广告费+门票费)；
方案二：购买门票方式如图所示．
解答下列问题：
(1)方案一中，y与x的函数关系式为______；
(2)方案二中，当0≤x≤100时，y与x的函数关系式为______；当x>100时，y与x的函数关系式为______；
(3)当该单位需要购买120张门票时，应采用哪种购买门票方案更划算？请说明理由．
27.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿A→B→C移动到点C时停止，且P不与点A、C重合，设移动的时间为x秒，△APC的面积为y．
(1)AB= ______；
(2)用含有x的代数式表示线段BP的长度，并指出自变量x的取值范围；
(3)直接写出y与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A.是整式，答案错误；
B.是整式，答案错误；
C.是分式，答案正确；
D.是根式，答案错误；
故选：C．
根据分式的定义来判断即可．如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式．
本题考查的是分式的定义，解答此题时关键要注意分式是形式定义，只要是分母中含有未知数的式子，即为分式．
2.【答案】B
【解析】解：0.0000003=3×10−7．
故选：B．
绝对值小于1的小数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3.【答案】B
【解析】解：点P(−4,3)在第二象限．
故选：B．
根据各象限内点的坐标特征解答．
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限(+,+)；第二象限(−,+)；第三象限(−,−)；第四象限(+,−)．
4.【答案】B
【解析】解：∵分式x−2x+2的值为0，
∴x−2=0，x+2≠0
解得：x=2．
故选：B．
直接利用分式的值为零则x−2=0，而x+2≠0进而得出答案．
此题主要考查了分式的值为零的条件，正确分式的值为零的条件是解题关键．
5.【答案】A
【解析】解：根据题意得x+3≥0，解得：x≥−3，
故选：A．
根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数即可求解．
本题主要考查了函数自变量的范围的求法，一般从三个方面考虑：
(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
6.【答案】D
【解析】解：A、(−3)0=1，故此选项错误；
B、(−3)0=1，故此选项错误；
C、2−2=14，故此选项错误；
D、2−2=14，正确．
故选：D．
直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了零指数幂的性质以及负指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．
7.【答案】D
【解析】解：分式x+yx2中的x，y的值同时扩大为原来的2倍得：
2x+2y(2x)2=2(x+y)4x2=x+yx2×12，
故选：D．
根据分式的基本性质即可求出答案．
本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质．分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变．
8.【答案】B
【解析】解：依题意，0～20分钟去书店，离家的距离增加到900米，这段是正比例函数；
20～30分钟看书，离家的距离不变，是一段平行与x轴的线段；
30～45分钟返回家，离家的距离减少为0米．
故选：B．
根据函数图象的表示的意义解答即可．
本题考查了实际问题中的函数关系所表示的函数图象，熟练掌握函数图象与所表示的实际意义的关系是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：根据题意可知：S△AOB=12|k|=2，
故选：C．
过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S=12|k|．
本题考查了反比例函数kx中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得三角形面积为12|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
10.【答案】D
【解析】解：A、∵k=−12<0，
∴y随x的增大而减小，故此选项错误，不符合题意；
B、一次函数y=−12x−1的图象经过第二、三、四象限，故此选项错误，不符合题意；
C、当x=−1时，y=−12，当x=0时，y=−1，即该函数图象不过点(−1,0)，(0,−2)，故此选项错误，不符合题意；
D、当x=−2时，y=0，又y随x的增大而减小，
∴当x>−2时，y<0，故此选项正确，符合题意，
故选：D．
根据一次函数的性质逐项分析判断即可．
本题考查一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解答本题的关键．
11.【答案】−89
【解析】解：原式=19−1=−89．
根据负整数指数幂的性质和零指数幂的性质运算即可．
本题主要考查了实数的运算，熟练掌握负整数指数幂的性质和零指数幂的性质是解答本题的关键．
12.【答案】x≠2
【解析】解：∵x−2≠0，
∴x≠2．
故答案为：x≠2．
根据分式的分母不等于0即可得出答案．
本题考查了分式有意义的条件，掌握分式的分母不等于0是解题的关键．
13.【答案】x=−1
【解析】解：原方程去分母得：1−x=x+3，
解得：x=−1，
检验：当x=−1时，x+3=−1+3=2≠0，
故原方程的解为x=−1，
故答案为：x=−1．
利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．
本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
14.【答案】b(b−a)34
【解析】解：3ab(a−b)612a(b−a)3
=3ab(b−a)612a(b−a)3
=b(b−a)34．
故答案为：b(b−a)34．
分子、分母约去公因式3a(b−a)3．
本题考查了约分，由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．
15.【答案】13
【解析】解：2x−1x−7+m7−x=1，
2x−1x−7−mx−7=1，
方程两边乘以x−7得：2x−1−m=x−7，
x=−6+m，
x−7=0时，方程2x−1x−7+m7−x=1(m为常数)产生了增根，
∴x=7，
∴−6+m=7，
∴m=13，
故答案为：13．
先去分母，解方程，再将增根x=7代入求解即可．
本题考查了分式方程的增根，熟练掌握分式方程增根的含义是解题的关键．
16.【答案】x=1y=2
【解析】解：∵一次函数y=kx和y=−x+3的图象交于点(1,2)，
∴二元一次方程组y=kxx+y=3的解是x=1y=2．
故答案为：x=1y=2．
两个一次函数图象的交点坐标就是两函数组成的方程组的解．
此题主要考查了一次函数与二元一次方程组，关键是掌握二元一次方程(组)与一次函数的关系．
17.【答案】−2
【解析】解：∵双曲线y=kx经过点(−1,2)，
∴k=−1×2=−2，
故答案为：−2．
将点(−1,2)代入双曲线y=kx之中即可求出k的值．
此题主要考查了反比例函数图象上的点，理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的表达式是解决问题的关键．
18.【答案】>
【解析】解：∵k=− 2<0，
∴y随x的增大而减小，
又∵点A(1,m)，点B(2,n)都在直线y=− 2x−4上，且1<2，
∴m>n．
故答案为：>．
“k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x的增大而减小”是解题的关键．据此进行判断即可．
本题考查了一次函数的性质，牢记“k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
19.【答案】2
【解析】解：当x=0时，y=1×0−2=−2，
∴一次函数y=x−2的图象与y轴交于点(0,−2)；
当y=0时，x−2=0，
解得：x=2，
∴一次函数y=x−2的图象与x轴交于点(2,0)．
∴一次函数y=x−2的图象与坐标轴围成的三角形的面积是12×|−2|×2=2．
故答案为：2．
利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出一次函数y=x−2的图象与两坐标轴的交点坐标，再利用三角形的面积公式，即可求出一次函数y=x−2的图象与坐标轴围成的三角形的面积．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，利用一次函数图象上点的坐标特征及三角形的面积公式，求出一次函数y=x−2的图象与坐标轴围成的三角形的面积是解题的关键．
20.【答案】解原式=3(x+4)(x−4)(x+4)−24(x−4)(x+4)
=3x−12(x−4)(x+4)
=3(x−4)(x−4)(x+4)
=3x+4．
【解析】原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果．
此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21.【答案】解：原式=a2xyb2z2⋅b2x2a2yz
=x3z3．
【解析】原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．
此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22.【答案】解：方程两边同乘x(x−7)得
100(x−7)=30x
解得：x=10，
检验：当x=10时，x(x−7)≠0，
所以x=10是原分式方程的解．
【解析】利用等式的基本性质，把原分式方程转化为一元一次方程，求得x的值，进一步检验得出答案即可．
此题考查解分式方程，掌握解答的步骤与方法是解决问题的关键．
23.【答案】解：原式=1−xx+1⋅(x+1)(x−1)x
=1−(x−1)
=1−x+1
=2−x，
当x= 3−1时，
原式=2−( 3−1)
=2− 3+1
=3− 3．
【解析】根据分式的加减运算以及乘除运算进行化简，然后将x的值代入原式即可求出答案．
本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算，本题属于基础题型．
24.【答案】(−3,3)
【解析】解：(1)如图，△DEF即为所求．
(2)由图可得，点D的坐标为(−3,3)．
故答案为：(−3,3)．
(1)根据平移和旋转的性质作图即可．
(2)由图可得出答案．
本题考查作图−平移变换、旋转变换，熟练掌握平移的性质、旋转的性质是解答本题的关键．
25.【答案】解：设篮球的单价为x元，
依题意得，1500x=900x−40，
解得：x=100，
经检验：x=100是原分式方程的解，且符合题意，
则足球的价钱为：100−40=60(元)．
答：篮球和足球的单价分别为100元，60元．
【解析】设篮球的单价为x元，则足球的单价为(x−40)元，根据用1500元购进的篮球个数与900元购进的足球个数相同，列方程求解．
本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．
26.【答案】y=60x+10000 y=100x(0≤x≤100) y=80x+2000(x>100)
【解析】解：(1)根据题意，得y=60x+10000．
故答案为：y=60x+10000．
(2)当0≤x≤100时，每张门票的价格为10000÷100=100(元)，
∴y与x的函数关系式为y=100x(0≤x≤100)；
当x>100时，每张门票的价格为(14000−10000)÷(150−100)=80(元)，
y=10000+80(x−100)=80x+2000，
∴y与x的函数关系式为y=80x+2000(x>100)．
故答案为：y=100x(0≤x≤100)，y=80x+2000(x>100)．
(3)采用方案二购买门票更划算．理由如下：
方案一：当x=120时，y=60×120+10000=17200；
方案二：当x=120时，y=80×120+2000=11600．
∵11600<17200，
∴采用方案二购买门票更划算．
(1)根据“总费用=广告费+门票费”作答即可；
(2)根据“门票价格=总费用÷门票数量”求出每张门票的价格，再根据“总费用=门票价格×门票数量”求出y与x的函数关系式即可；
(3)将x=120分别代入方案一和方案二相应的函数关系式中，求出对应y的值，选择y值较小的那个方案更划算．
本题考查一次函数的应用，根据图象提供的信息写出函数关系式是解题的关键．
27.【答案】5
【解析】解：(1)AB= 32+42=5；
故答案为：5．
(2)当0当2.5(3)当0得y=2.4⋅2x÷2=2.4x；
当2.5故y=3(9−2x)÷2=13.5−3x．
(1)AB= 32+42=5；
(2)当0(3)当0本题主要考查了勾股定理，解题关键是正确应用勾股定理建立函数关系式．