2023-2024学年安徽省合肥市高新区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年安徽省合肥市高新区八年级（下）期中数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各式中，一定是二次根式的是( )
A. 37B. −2C. − 2D. x
2. 8+ 2的计算结果是( )
A. 5B. 10C. 3 2D. 4+ 2
3.用配方法解方程3x2−6x+2=0，将方程变为(x−m)2=13的形式，则m的值为( )
A. 9B. −9C. 1D. −1
4.已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2−7x+10=0的两个根，则该三角形的周长是( )
A. 9B. 12C. 9或12D. 不能确定
5.已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是( )
A. b2−c2=a2B. a：b：c=3：4：5
C. ∠A：∠B：∠C=9：12：15D. ∠C=∠A−∠B
6.关于x的方程kx2+2x−1=0有实数根，则k的取值范围是( )
A. k>−1B. k≥−1C. k≠0D. k≥−1且k≠0
7.某公司今年4月份的营业额为2500万元，按计划5、6月份总营业额要达到6600万元，设该公司5、6两个月的营业额的月平均增长率为x，则下列方程正确的是( )
A. 2500(1+x)2=6600
B. 2500(1+x%)2=6600
C. 2500(1+x)+2500(1+x)2=6600
D. 2500+2500(1+x)+2500(1+x)2=6600
8.若关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根之和是m，两根之积是n，则关于t的方程a(t+1)2+b(t+1)+c=0的两根之积是( )
A. n+m−1B. n+m+1C. n−m+1D. n−m−1
9.如图，在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=120°，P为AB上一动点，Q是BC上一动点，则AQ+PQ的最小值为( )
A. 2 2B. 2 3C. 2D. 3
10.商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b(b>a)
以及实数x(0A. 12B. 54C. 5+12D. 5−12
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.使得代数式1 x−3有意义的x的取值范围是______．
12.规定：在实数范围内定义一种运算“◎”，其规则为a◎b=a(a+b)，方程(x−2)◎7=0的根为______．
13.在△ABC中，若∠B=45°，AB=10 2，AC=5 5，则△ABC的面积是______．
14.如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=4，D为BC的中点，AD⊥AB，则AC的长为______．
三、计算题：本大题共2小题，共16分。
15.解方程：2x2+3x−1=0．
16.已知一元二次方程x2+2x−k=0有两个不相等的实数根；
(1)求k的取值范围；
(2)若该方程的两个根为x1和x2，且满足x1+x2+x1x2=−4，求k的值．
四、解答题：本题共7小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：( 3−2)2+ 12− 32+ 118．
18.(本小题8分)
如图所示，在一次暴风雨后，一棵大树从离地面3m处被折断，经测量树的顶端与地面的接触点离树根部的距离为2m，若在该树正上方离地面7m处有高压电线l，请判断，该树在折断前是否接触到电线？并说明你的理由．
19.(本小题10分)
如图，在四边形ABCD中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，∠B=90°．
(1)求证：CD⊥AD；
(2)求四边形ABCD的面积．
20.(本小题10分)
在10×10网格中，点A和直线l的位置如图所示：

(1)将点A向右平移6个单位，再向上平移2个单位长度得到点B，在图1中网格中标出点B并写出线段AB的长度______．
(2)在(1)的条件下，在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小，在图1中保留画图痕迹，并直接写出PA+PB的最小值______；
(3)若点A，点B的坐标分别为(0,2)，(6,4)；点C为直线l上的点，△ABC是以AB为斜边的直角三角形，在图2网格中建立直角坐标系，并标出点C点，点C的坐标是______．
21.(本小题12分)
某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了33m的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙(墙长15m)围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场(如图所示)．
(1)若要建的矩形养鸡场面积为90m2，求鸡场的长(AB)和宽(BC)；
(2)该扶贫单位想要建一个100m2的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由．
22.(本小题12分)
某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本价为60元，当售价为100元时，平均每天能售出200双；经过一段时间销售发现，平均每天售出的运动鞋数量y(双)与降低价格x(元)之间存在如图所示的函数关系．
(1)求出y与x的函数关系式；
(2)公司希望平均每天获得的利润达到8910元，且优惠力度最大，则每双运动鞋的售价应该定为多少？
(3)为了保证每双运动鞋的利润不低于成本价的50%，公司每天能否获得9000元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．
23.(本小题14分)
由两个全等的Rt△ABE和Rt△ECD构成如图所示的四边形ABCD，已知直角三角形的直角边长分别为m、n，斜边长为q，分别以m， 2q，n为二次项系数、一次项系数和常数项构造的一元二次方程mx2+ 2qx+n=0，称为勾股方程．
(1)直接写出一个勾股方程．
(2)若勾股方程mx2+ 2qx+n=0有两个相等的实数根，求mq的值．
(3)若x=−1是勾股方程mx2+ 2qx+n=0的一个根，且四边形ABCD的周长是6，求四边形ABCD的面积．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A选项，37是三次根式，故该选项不符合题意；
B选项，−2是负数，故该选项不符合题意；
C选项，2是正数，故该选项符合题意；
D选项，x<0时不是二次根式，故该选项不符合题意；
故选：C．
根据一般地，我们把形如 a(a≥0)的式子叫做二次根式判断即可．
本题考查二次根式的定义，掌握一般地，我们把形如 a(a≥0)的式子叫做二次根式是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：原式=2 2+ 2
=3 2．
故选：C．
先化简 8，再加减．
本题考查了二次根式的加减．化简 8是解决本题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：方程3x2−6x+2=0，
变形得：x2−2x=−23，
配方得：x2−2x+1=13，即(x−1)2=13，
则：m=1．
故选：C．
方程整理后，利用完全平方公式配方得到结果，即可求出m的值．
此题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：方程x2−7x+10=0，
分解因式得：(x−2)(x−5)=0，
解得：x=2或x=5，
当底为5，腰为2时，由于2+2<5，不符合三角形三边关系；
当底为2，腰为5时，可构成三角形，此时周长为2+5+5=12，
故选：B．
方程利用因式分解法求出解，确定出等腰三角形的腰与底，即可求出周长．
此题考查了解一元二次方程−因式分解法，三角形三边关系，以及等腰三角形的性质，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：A、∵b2−c2=a2，∴b2=c2+a2，故△ABC为直角三角形；
B、∵32+42=52，∴△ABC为直角三角形；
C、∵∠A：∠B：∠C=9：12：15，∴∠C=159+12+15×180°=75°，故不能判定△ABC是直角三角形；
D、∵∠C=∠A−∠B，且∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=90°，故△ABC为直角三角形；
故选：C．
根据勾股定理逆定理可判断出A、B是否是直角三角形；根据三角形内角和定理可得C、D是否是直角三角形．
本题考查勾股定理的逆定理的应用，以及三角形内角和定理．判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义判断．
6.【答案】B
【解析】解：当k=0时，2x−1=0，解得x=12，
当k≠0时，Δ=22−4k×(−1)≥0，解得k≥−1，则k的范围为k≥−1且k≠0，
综上所述，k的取值范围是k≥−1．
故选：B．
讨论：当k=0时，方程为一元一次方程，有一个实数解；当k≠0时，根据判别式的意义得到Δ=22−4k×(−1)≥0，解不等式得k的范围为k≥−1且k≠0，然后综合两种情况得到k的取值范围．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
7.【答案】C
【解析】解：设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x．
根据题意列方程得：2500(1+x)+2500(1+x)2=6600．
故选：C．
分别表示出5月，6月的营业额进而得出等式即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确理解题意是解题关键．
8.【答案】C
【解析】解：把方程a(t+1)2+b(t+1)+c=0看作关于t+1的一元二次方程，
设关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1，x2，则方程a(t+1)2+b(t+1)+c=0的两根为t1=x1−1，t2=x2−1，
∵关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根之和是m，两根之积是n，
∴x1+x2=m，x1x2=n，
∴t1t2=(x1−1)(x2−1)=x1x2−(x1+x2)+1=n−m+1．
故选：C．
把方程a(t+1)2+b(t+1)+c=0看作关于t+1的一元二次方程，则利用关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1，x2得到t1=x1−1，t2=x2−1，然后利用根与系数的关系得到结论．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根，则x1+x2=−ba，x1x2=ca.利用换元的思想是解决问题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：作点A关于CB的对称点A′，过点A′作A′P⊥AB，
则AQ+PQ的最小值为A′P的长；
∵AB=AC=4，∠BAC=120°，
∴AA′=4，∠AA′P=30°，
∴A′P=2 3；
故选：B．
作点A关于CB的对称点A′，过点A′作A′P⊥AB，则AQ+PQ的最小值为A′P的长；在Rt△AA′P中，AA′=4，∠PAA′=60°，即可求A′P；
本题考查等腰三角形的性质，轴对称求最短路径；通过作对称点，将AQ+PQ的最小值转化为A′P的长是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：∵c−a=x(b−a)，b−c=(b−a)−x(b−a)，b−ac−a=c−ab−c，
∴[x(b−a)]2=(b−a)2−x(b−a)2，
∴x2+x−1=0，
解得x=−1± 52，
∵0∴x=−1+ 52．
故选：D．
根据题设条件，由b−ac−a=c−ab−c，知[x(b−a)]2=(b−a)2−x(b−a)2，由此能求出最佳乐观系数x的值．
本题考查黄金分割的应用，解题时要注意一元二次方程的求解方法．
11.【答案】x>3
【解析】解：∵代数式1 x−3有意义，
∴x−3>0，
∴x>3，
∴x的取值范围是x>3，
故答案为：x>3．
根据二次根式中的被开方数是非负数且分母不为零列不等式，求解即可．
本题主要考查了二次根式有意义的条件，如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
12.【答案】x1=2，x2=−5
【解析】解：由题意得：(x−2)(x−2+7)=0，
(x−2)(x+5)=0，
x−2=0或x+5=0，
x1=2，x2=−5．
故答案为：x1=2，x2=−5．
直接根据定义的这种运算的规则求解．
本题考查了新定义和解一元二次方程，利用新定义得到方程：(x−2)(x−2+7)=0是解题的关键．
13.【答案】75或25
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理以及三角形的面积，求出AD，BC的长度是解题的关键．
过点A作AD⊥BC，垂足为D，通过勾股定理可求出AD，BD，CD的长，进而可得出BC的长，再利用三角形的面积公式可求出△ABC的面积．
【解答】
解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，如图所示．
在Rt△ABD中，AD= 22AB=10，BD=AD=10；
在Rt△ACD中，AD=10，AC=5 5，
∴CD= AC2−AD2=5，
∴BC=BD+CD=15或BC=BD−CD=5，
∴当BC=15时，S△ABC=12BC⋅AD=75．
当BC=5时，S△ABC=12BC⋅AD=25．
故答案为75或25．
14.【答案】8
【解析】解：如图，作CE⊥AD交AD的延长线于E．
∵∠BAD=∠E=90°，∠ADB=∠EDC，BD=DC，
∴△ADB≌△EDC(AAS)，
∴AB=EC=4，
∵∠BAC=120°，
∠EAC=30°，
∴AC=2EC=8，
故答案为8．
如图，作CE⊥AD交AD的延长线于E.利用全等三角形的性质证明EC=AB=4，再利用直角三角形30度角的性质解决问题即可．
本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
15.【答案】解：2x2+3x−1=0，
a=2，b=3，c=−1，
Δ=32−4×2×(−1)=17，
x=−3± 174，
∴x1=−3+ 174，x2=−3− 174．
【解析】本题考查的是一元二次方程的解法有关知识，解题的关键在于熟练掌握运用公式法解一元二次方程.利用公式法直接进行解答即可得到结果．
16.【答案】解：(1)∵一元二次方程x2−2x−k=0有两个不相等的实数根，
∴△=22+4k>0，
∴k>−1；
(2)∵方程x2+2x−k=0的两个根为x1和x2，
∴x1+x2=−2，x1x2=−k，
∴x1+x2+x1x2=−2−k=−4，
∴k=2，
∵2>−1，
∴k的值为2．
【解析】(1)根据方程有两个不相等的实数根可得出△>0，求出k的取值范围即可；
(2)利用根与系数的关系得到x1+x2=−2，x1x2=−k，根据x1+x2+x1x2=−4列出关于k的方程，然后解方程求出k的值．
本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，解题的关键是熟记一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系为：x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca．
17.【答案】解：原式=3−4 3+4+2 3− 62+ 26
=7−2 3− 62+ 26．
【解析】先用完全平方公式展开，再化为最简二次根式，最后合并同类二次根式即可．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关的运算法则．
18.【答案】解：根据题意可知BC=3m，AC=2m，根据勾股定理可求得：AB= BC2+AC2= 32+22= 13(m)，
故大树的高度为(3+ 13)m，
∵13<16，
∴ 13<4，3+ 13<7，
∴该树不会触碰到电线．
【解析】根据题意求出AB的长度，然后求出整个大树的高度；最后求出与电线的关系．
本题考查了勾股定理的应用．这类题目是用数学模型来解决实际问题，利用勾股定理使求解过程变得简单．
19.【答案】(1)证明：连接AC，
∵∠B=90°，
∴AC2=BA2+BC2=400+225=625，
∵DA2+CD2=242+72=625，
∴AC2=DA2+DC2，
∴△ADC是直角三角形，即∠D是直角，
∴CD⊥AD；
(2)解：S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC
=12AB⋅BC+12AD⋅CD
=12×20×15+12×24×7
=234．
【解析】(1)连接AC，根据勾股定理可知AC2=BA2+BC2，再根据AC2=DA2+DC2即可得出结论；
(2)根据S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC即可得出结论．
本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
20.【答案】2 10 6 2 (2,0)或(4,0)
【解析】解：(1)如图1，点B即为所求，AB= 62+22=2 10，
故答案为：2 10；
(2)如图1，点P即为所求，PA+PB的最小值=A′B= 62+62=6 2，
故答案为：6 2；
(3)建立直角坐标系如图2所示，
设C(x,0)，
∵△ABC是以AB为斜边的直角三角形，点C在x轴上，
∴AC2+BC2=AB2，
∴22+x2+(6−x)2+42=62+22，
解得x=2或4，
∴C(2,0)或(4,0)
故答案为：(2,0)或(4,0)．
(1)根据平移变换的性质作出图形即可，再根据勾股定理求出AB的长；
(2)作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B交x轴于点P，则点P即为所求，此时PA+PB的最小值为A′B的长，根据勾股定理求出A′B的长即可；
(3)根据点的坐标建立平面直角坐标系，设C(x,0)根据勾股定理得出方程求出x的值即可得出点C的坐标．
本题考查了作图−平移变换，勾股定理，轴对称−最短路线问题，熟记各性质定理是解题的关键．
21.【答案】解：(1)设BC=x m，则AB=(33−3x)m，
依题意，得：x(33−3x)=90，
解得：x1=6，x2=5．
当x=6时，33−3x=15，符合题意，
当x=5时，33−3x=18，18>15，不合题意，舍去．
答：鸡场的长(AB)为15m，宽(BC)为6m．
(2)不能，理由如下：
设BC=y m，则AB=(33−3y)m，
依题意，得：y(33−3y)=100，
整理，得：3y2−33y+100=0．
∵△=(−33)2−4×3×100=−111<0，
∴该方程无解，即该扶贫单位不能建成一个100m2的矩形养鸡场．
【解析】(1)设BC=xm，则AB=(33−3x)m，根据矩形的面积公式结合矩形养鸡场面积为90m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可求出x的值，分别代入(33−3x)中，取使得(33−3x)小于等于15的值即可得出结论；
(2)不能，理由如下，设BC=y m，则AB=(33−3y)m，同(1)可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ=−111<0，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22.【答案】解：(1)设y与x的函数关系式为y=kx+b (k≠0)，
由图可知其函数图象经过点(0,200)和(10,300)，
将其代入y=kx+b 得300=10k+b，200=b，
解得k=10，b=200
∴y与x的函数关系式为y=10x+200；
(2)由题意得 (10x+200)(100−x−60)=8910，
整理得 x2−20x+91=0，
解得：x1=7，x2=13；
当x=7时，售价为100−7=93(元)，
当x=13时，售价为100−13=87(元)，
∵优惠力度最大，
∴取x=13，
答：当每双运动鞋的售价为87元时，企业每天获得的销售利润达到8910元并且优惠力度最大；
(3)公司每天能获得9000元的利润，理由如下：
∵要保证每双运动鞋的利润率不低于成本价的50%，
∴100−60−x≥60×50%，
解得：x≤10；
依题意，得 (100−60−x)(10x+200)=9000，
整理得 x2−20x+100=0，
解得：x1=x2=10；
∴降价10元时，公司每天能获得9000元的利润，且每双运动鞋的利润不低于成本价的50%．
【解析】(1)由题意，设y与x的函数关系式为y=kx+b，然后由待定系数法求解析式，即可得到答案；
(2)根据题意，列出一元二次方程，然后解方程，即可求出方程的解；
(3)由题意，列出一元一次不等式，求出不等式的解集，然后列一元二次方程，即可求出答案．
本题考查了一次函数的性质，一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是熟练掌握题意，正确的列出方程，从而进行解题．
23.【答案】解：(1)设m=3，n=4，
则q=5，
∴3x2+5 2x+4=0是勾股方程；
(2)∵勾股方程mx2+ 2qx+n=0有两个相等的实数根，
∴Δ=2q2−4mn=0，
∴q2=2mn，
∵q2=m2+n2，
∴m2+n2=2mn，
∴m−n=0，
∴m=n，
∴q= 2m，
∴mq= 22；
(3)∵x=−1是勾股方程mx2+ 2qx+n=0的一个根，
∴m− 2q+n=0，
∴ 2q=m+n，
∵四边形ABCD的周长是6，
∴2m+2n+ 2q=6，
∴q= 2，
∵q2=m2+n2，
∴m2+n2=2，m+n=2，
∴mn=1，
∴四边形ABCD的面积=mn+12q2=1+1=2．
【解析】(1)设m=3，n=4，则q=5，即可写出一个符合条件的勾股方程；
(2)由已知可知Δ=2q2−4mn=0，再结合勾股定理q2=m2+n2，能求出m=n，q= 2m，即可求解；
(3)由已知可得 2q=m+n，2m+2n+ 2q=6，求出mn=1，再求面积即可．
本题考查一元二次方程、勾股定理，理解题意，灵活应用勾股定理、一元二次方程的判别式、完全平方公式是解题的关键．