2023-2024学年江苏省宿迁市宿豫区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省宿迁市宿豫区八年级（下）期中数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图案是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.事件：小明放学回家直行经过一个红绿灯路口，直行道恰好是绿灯.关于这个事件下列判断正确的是( )
A. 是随机事件B. 是必然事件
C. 是不可能事件D. 是必然事件或不可能事件
3.下列各式中是最简分式的是( )
A. x2B. 3y15xC. x2−1x−1D. x−2yx+2y
4.如图，A、B两地中间有一个池塘，为测量A、B两地的距离，在地面上选一点C，连接CA、CB，分别取CA、CB的中点D、E.若测量DE的长为54m，则A、B两地的距离为( )
A. 54m
B. 81m
C. 108m
D. 216m
5.若根据分式的基本性质aa−2=a2M，则M为( )
A. a2−2B. 2a−1C. 2a−2D. a2−2a
6.矩形具有而菱形不具有的性质是( )
A. 对角线互相平分B. 对角线互相垂直C. 四个角相等D. 四条边相等
7.下列运算正确的是( )
A. x+1x=2x+1xB. 1−2x=x−2xC. xy⋅1x3=12xyD. xy2÷yx=x
8.在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8，将矩形纸片沿EF折叠，点B与点D恰好重合，接BE，有以下结论：①△DGE≌△DCF；②四边形BEDF是菱形；③AE=74；④△DEF的面积是752，其中正确的个数是( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
9.若分式xx−2在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．
10.某工程队要修路a m，计划平均每天修b m，则计划完成此项工程的时间为______天.
11.某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下：
这种油菜籽发芽的概率的估计值为______(精确到0.01)．
12.若在▱ABCD中，∠B+∠D=86°，则∠A的度数为______．
13.计算2aa2−1−2a2−1的结果为______．
14.如图，在▱ABCD中，AC⊥BC，BC=5，AC=3，则CD的长为______．
15.已知一个菱形的两条对角线的长分别为10和24，则这个菱形的周长为______．
16.一个分数的分母比它的分子大3，如果将这个分数的分子加上11，分母加上2，那么所得分数是原分数的倒数.若设原分数的分子为x，则可列分式方程为______．
17.若关于x的分式方程1−xx+2=mx+2的解是负数，则m的取值范围为______．
18.以▱ABCD对角线的交点O为原点，平行于BC边的直线x轴，建立如图所示的平面直角坐标系.若点A的坐标为(−3,2)，点B的横坐标比点A的横坐标小1，则直线CD对应的函数表达式为______．
三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
解方程：3x−1=2−x+21−x．
20.(本小题8分)
计算：1−x2x−4÷x2x2−4x+4．
21.(本小题8分)
先化简，再求值：3x+9x÷(x−9x)，其中x=52．
22.(本小题8分)
如图，在▱ABCD中，点E、F在AC上，且∠ABF=∠CDE.求证：四边形EBFD是平行四边形．
23.(本小题10分)
如图，四边形ABCD是矩形，AE/​/BD，交CB的延长线于点E，CF/​/BD，交AB的延长线于点F，连接EF.求证：四边形AEFC是菱形．
24.(本小题10分)
某中学组织学生去离学校80km的红色教育基地进行校外实践活动，先遣队与大队同时出发，先遣队的速度是大队速度的43倍，结果先遣队比大队早到13h，先遣队和大队的速度各是多少？
25.(本小题10分)
如图，在四边形ABCD中，AB=DC，∠ABC=∠DCB，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.请你判断四边形EFGH是怎样的四边形？证明你的结论．
26.(本小题10分)
【阅读材料】
已知：如图，线段AB.用直尺和圆规求作：以线段AB为一边的矩形ABCD．
小红提出的作法是：
①作线段AB的垂直平分线l；
②在线段AB的上方直线l上取一点O，作线段AB关于点O对称的线段CD(点A、B的对应点分别为点C、D)；
③连接BC、AD．
四边形ABCD就是所求作的矩形．
【解答问题】
请你先按照小红的作法作图，再判断小红提出的作法是否正确，并说明理由．
27.(本小题12分)
定义a⊗b=2a+1b.根据定义，解答下列问题：
(1)2⊗(−1)= ______；
(2)计算1x−y⊗(x+y)−1x+y⊗(x−y)；
(3)求方程2⊗(x−2)=1⊗(4−2x)的解．
28.(本小题12分)
在正方形ABCD中，点E在边BC上，作射线AE，并将射线AE绕点A逆时针旋转45°，交边CD于点F．
(1)如图1，若CE=m，CF=n，则BE+DF的值为______；(用含m、n的代数式表示)
(2)如图2，若过点A作AM⊥EF，垂足为M，求证：AM=AB；
(3)如图3，若过点F作FN⊥AE，垂足为N，求∠CBN的度数．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B.该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C.该图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故此选项符合题意；
D.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：C．
根据轴对称图形定义及“将图形绕着某一点旋转180°与原图形重合的图形叫做中心对称图形”，逐一进行判断即可．
本题考查中心对称图形，轴对称图形，关键是掌握中心对称图形，轴对称图形的定义．
2.【答案】A
【解析】解：由题可知，
小明放学回家直行经过一个红绿灯路口，直行道恰好是绿灯是随机事件．
故选：A．
根据事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3.【答案】D
【解析】解：A.式子x2是整式，不是最简分式，故本选项不符合题意；
B.3y15x=y5x，即分式3y15x不是最简分式，故本选项不符合题意；
C.x2−1x−1=(x+1)(x−1)x−1=x+1，即分式x2−1x−1不是最简分式，故本选项不符合题意；
D.分式x−2yx+2y是最简分式，故本选项符合题意．
故选：D．
根据最简分式的定义逐个判断即可．
本题考查了最简分式的定义，能熟记最简分式的定义(分子和分母除1以外再没有其它的公因式的分式叫最简分式)是解此题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵点D、E分别为CA、CB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB=2DE=2×54=108(m)，
故选：C．
根据三角形中位线定理解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：∵aa−2=a2a(a−2)，
∴M=a(a−2)=a2−2a．
故选：D．
利用分式的基本性质求解．
本题考查分式的基本性质，解题的关键是掌握分式的基本性质．
6.【答案】C
【解析】解：A、矩形和菱形的对角线都互相平分，所以此选项结论错误；
B、菱形的对角线互相垂直，所以此选项结论错误；
C、因为矩形的四个角都是直角，则矩形的四个角都相等，所以此选项结论正确；
D、菱形的四条边相等，所以此选项结论错误；
故选：C．
矩形具有的性质：①对角线互相平分，②四个角相等；
菱形具有的性质：①对角线互相平分，②对角线互相垂直，②四条边相等；
因此矩形具有而菱形不具有的性质是：四个角相等．
本题考查了矩形和菱形的性质，做好本题的关键是熟练掌握性质即可．
7.【答案】B
【解析】解：A、x+1x=x2+1x，故A不符合题意；
B、1−2x=x−2x，故B符合题意；
C、xy⋅1x3=1x2y，故C不符合题意；
D、xy2÷yx=xy2⋅xy=x22，故D不符合题意；
故选：B．
利用分式的相应的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查分式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
8.【答案】D
【解析】解：由折叠的性质可得，BE=DE，BF=DF，∠BEF=∠DEF，
在矩形ABCD中，
∵AB=CD=6，AD=BC=8，AD//BC，
∴∠DEF=∠EFB，
∴∠BEF=∠BFE，
∴四边形BEDF是菱形，
∴②正确；
由折叠的性质可得DG=AB，
∴DG=CD，
在Rt△DGE和Rt△DCF中，
∵DE=DFDG=DC，
∴Rt△DGE≌Rt△DCF(HL)，
∴①正确；
设AE=x，则BF=DE=8−x，
在Rt△ABE中，AE2+AB2=BE2，
即x2+62=(8−x)2，
解得：x=74，
即AE=74，
故③正确；
∴DE=AD−AE=8−74=254，
∴S△DEF=12×DE×AB=12×254×6=754，
∴④正确，
故正确的有4个．
故选：D．
由翻折变换可知BE=DE，BF=DF，∠BEF=∠DEF，又由于在矩形ABCD中可证明∠DEF=∠EFB，得知∠BEF=∠BFE，进一步可知四边形BEDF是菱形；
由折叠的性质可得DG=AB，从而得知DG=CD，则Rt△DGE≌Rt△DCF；
设AE=x，则BF=DE=8−x，根据勾股定理列出关于x的方程式即可求得AE的长度；
先求出DE的长度，再根据三角形的面积公式即可求得．
本题主要考查翻折变换、三角形的面积、全等三角形的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
9.【答案】x≠2
【解析】解：由题意得：x−2≠0，
解得：x≠2．
故答案为：x≠2．
根据分式的分母不为零列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是分式有意义的条件，熟记分式的分母不为零是解题的关键．
10.【答案】ab
【解析】解：a÷b=ab，
故答案为：ab．
根据工作时间=工作总量÷工作效率，即可求出结果．
本题考查了列代数式，解题的关键是根据等量关系式来解答．
11.【答案】0.95
【解析】解：观察表格得到这种油菜籽发芽的频率稳定在0.95附近，
则这种油菜籽发芽的概率是0.95，
故答案为：0.95．
观察表格得到这种油菜籽发芽的频率稳定在0.95附近，即可估计出这种油菜发芽的概率．
此题考查了利用频率估计概率，从表格中的数据确定出这种油菜籽发芽的频率是解本题的关键．
12.【答案】137°
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，∠B=∠D，
∵∠B+∠D=86°，
∴∠B+∠B=86°，
∴∠B=43°，
∴∠A=180°−∠B=180°−43°=137°，
故答案为：137°．
由平行四边形的性质得AD//BC，∠B=∠D，而∠B+∠D=86°，则∠B+∠B=86°，求得∠B=43°，则∠A=180°−∠B=137°，于是得到问题的答案．
此题重点考查平行四边形的性质、平行线的性质等知识，证明AD//BC，∠B=∠D是解题的关键．
13.【答案】2a+1
【解析】解：原式=2a−2a2−1
=2(a−1)(a+1)(a−1)
=2a+1，
故答案为：2a+1．
利用分式的加减法则计算即可．
本题考查分式的加减，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
14.【答案】 34
【解析】解：∵BC=5，AC=3，AC⊥BC，
∴AB= AC2+BC2= 25+9= 34，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB= 34，
故答案为： 34．
由勾股定理可求AB的长，由平行四边形的性质可求解．
本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
15.【答案】52
【解析】解：已知AC=10，BD=24，菱形对角线互相垂直平分，
∴AO=5，BO=12，
∴AB= OB2+OA2=13，
∴BC=CD=AD=AB=13，
∴菱形的周长为4×13=52．
故答案是：52．
根据菱形的对角线互相垂直平分，可知AO和BO的长，再根据勾股定理即可求得AB的值，由菱形的四个边相等，进而求出菱形的周长．
本题考查了菱形对角线互相垂直平分的性质，考查了菱形各边长相等的性质，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，根据勾股定理求AB的值是解题的关键．
16.【答案】x+11x+3+2=x+3x
【解析】解：设原分数的分子为x，则分母为x+3，
根据题意得：x+11x+3+2=x+3x．
故答案为：x+11x+3+2=x+3x．
设原分数的分子为x，则分母为x+3，根据“如果将这个分数的分子加上11，分母加上2，那么所得分数是原分数的倒数”，即可得出关于x的分式方程．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
17.【答案】m>1且m≠3
【解析】解：分式方程的两边都乘以x+2，
得1−x=m，
解得x=1−m，
由于分式方程的解为负数，即1−m<0，
解得m>1，
又因为x+2≠0，
所以x≠−2，即1−m≠−2，
所以m≠3，
综上所述，m的取值范围为m>1且m≠3．
故答案为：m>1且m≠3．
根据分式方程的解法求出关于x的分式方程的解，使分式方程的解为负数，确定m的取值范围，再根据分式方程的增根，再确定m的取值范围即可．
本题考查分式方程的解，解分式方程，理解分式方程解的定义，掌握分式方程的解法以及增根的定义是正确解答的关键．
18.【答案】y=4x−14
【解析】解：∵点A的坐标为(−3,2)，点B的横坐标比点A的横坐标小1，
∴B(−4,−2)，
根据平行四边形中心对称性质得到C(3,−2)、D(4,2)坐标，
设直线CD的解析式为：y=kx+b，代入点C、D坐标得：
3k+b=−24k+b=2，解得k=4b=−14，
∴直线CD的解析式为：y=4x−14．
根据平行四边形中心对称性质得到C、D坐标，再利用待定系数法求出解析式即可．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式是关键．
19.【答案】解：原方程去分母得：3=2(x−1)+x+2，
整理得：3x=3，
解得：x=1，
检验：当x=1时，x−1=0，
则x=1是分式方程的增根，
故原方程无解．
【解析】利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．
本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
20.【答案】解：1−x2x−4÷x2x2−4x+4
=1−x2(x−2)⋅(x−2)2x2
=1−x−22x
=2x−x+22x
=x+22x．
【解析】先把能分解的因式进行分解，除法转为乘法，再约分，最后算减法即可．
本题主要考查分式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
21.【答案】解：原式=3(x+3)x÷x2−9x
=3(x+3)x⋅x(x+3)(x−3)
=3x−3，
当x=52时，原式=352−3=−6．
【解析】先计算括号，再计算乘除即可．
本题考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算法则．
22.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//DC，
∴∠BAC=∠DCA，
又∵∠ABF=∠CDE，
∴△AFB≌△CED(ASA)，
∴DE=BF，∠AFB=∠CED，
∴DE/​/BF，
∴四边形EBFD是平行四边形．
【解析】由“ASA”可证△AFB≌△CED，可得DE=BF，∠AFB=∠CED，即可求解．
本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形判定和性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
23.【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AD//BC，AB/​/CD，
∵AE/​/BD，AD/​/EB，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∴AE=BD，
∵CF/​/BD，BF/​/DC，
∴四边形DBFC是平行四边形，
∴BD=CF，
由上可得，AE/​/CF，AE=CF，
∴四边形AEFC是平行四边形，
又∵AC=BD，BD=CF，
∴AC=CF，
∴四边形AEFC是菱形．
【解析】根据矩形的性质可以得到AC=BD，再根据平行四边形的判定和性质、菱形的判定可以证明结论成立．
本题考查平行四边形的判定与性质、矩形的性质、菱形的判定，解答本题的关键是明确题意，找出结论需要的条件．
24.【答案】解：设大队的速度是xkm/h，则先遣队的速度是43x km/h，
根据题意得：80x−8043x=13，
解得：x=60，
经检验，x=60是所列方程的解，且符合题意，
∴43x=43×60=80(km/h)．
答：先遣队的速度是80km/h，大队的速度是60km/h．
【解析】设大队的速度是xkm/h，则先遣队的速度是43xkm/h，利用时间=路程÷速度，结合先遣队比大队早到13h，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出大队的速度，再将其代入43x中，即可求出先遣队的速度．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
25.【答案】解：四边形EFGH是菱形．
如图，连接AC、BD，
在△ABC和△DCB中，
AB=DC∠ABC=∠DCBBC=CB，
∴△ABC≌△DCB(SAS)，
∴AC=BD，
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，
∴EH/​/BD，GF/​/BD，EH=BD2，GF=BD2，
GH/​/AC，EF/​/AC，HG=AC2，EF=AC2，
∴EH/​/FG，GH//EF，HE=HG，
∴四边形EFGH是菱形．
【解析】由三角形中位线的性质，可判定EH/​/FG，GH//EF，继而可证得四边形EFGH是平行四边形．四边形ABCD的对角线AC、BD满足AC⊥BD且AC=BD时，四边形EFGH是菱形．
本题考查中点四边形，掌握三角形中位线的性质是关键．
26.【答案】解：如图，四边形ABCD即为所求．

理由：∵直线l垂直平分线段AB，
∴OA=OB，
∵A，C关于点O的对称点为C，D，
∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形．
【解析】根据要求作出图形，证明四边形是平行四边形且对角线相等即可．
本题考查作图−旋转变换，线段的垂直平分线的性质，矩形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
27.【答案】3
【解析】解：(1)原式=2×2+1−1
=4−1
=3，
故答案为：3；
(2)原式=2x−y+1x+y−(2x+y+1x−y)
=2x−y+1x+y−2x+y−1x−y
=1x−y−1x+y
=x+y−x+y(x+y)(x−y)
=2yx2−y2；
(3)由题意可得4+1x−2=2+14−2x，
解得：x=54，
经检验，x=54是分式方程的解．
(1)根据定义的运算列式计算即可；
(2)根据定义的运算列式计算即可；
(3)根据定义的运算列得分式方程，解方程并检验即可．
本题考查有理数及分式的运算，解分式方程，结合已知条件列得正确的算式及方程是解题的关键．
28.【答案】 m2+n2
【解析】(1)解：延长CB至N，使BN=DF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠D=∠ABE=90°，
∴∠ABN=∠D，
∴△ABN≌△ADF(SAS)，
∴AN=AF，∠BAN=∠DAF，
∵射线AE绕点A逆时针旋转45°，
∴∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=∠BAE+∠BAN=∠EAN=45°，
∴∠EAF=∠EAN，
∵AE=AE，
∴△AEN≌△AEF(SAS)，
∴EN=EF，
∴EF=BE+BN=BE+DF，
∵EF= CE2+CF2= m2+n2，
∴BE+DF= m2+n2，
故答案为： m2+n2；
(2)证明：延长CB至N，使BN=DF，
由(1)可知，△AEN≌△AEF，
∴∠AEB=∠AEF，
∵AM⊥EF，
∴∠B=∠AME=90°，
∴△ABE≌△AME(AAS)，
∴AB=AM；
(3)解：过N点作NG⊥AB交于G，延长GN交DC于H点，
∴∠BGH=∠GHC=∠C=90°，
∴四边形BCHG是矩形，
∴∠GAN+∠ANG=90°，
∵AN⊥NF，∠EAF=45°，
∴∠ANG+∠FNH=90°，
∴∠FNH=∠NAG，
∵∠ANF=90°，∠EAF=45°，
∴△ANF是等腰直角三角形，
∴AN=FN，
∴△ANG≌△NFH(AAS)，
∴AG=HN，
∵AG+BG=GN+NH，
∴BG=NG，
∴△BNG为等腰直角三角形，
∴∠NBG=45°，
∴∠CBN=45°．
(1)延长CB至N，使BN=DF，证明△ABN≌△ADF(SAS)，得出AN=AF，∠BAN=∠DAF，证明△AEN≌△AEF(SAS)，得出EN=EF，由勾股定理可得出答案；
(2)延长CB至N，使BN=DF，证明△ABE≌△AME(AAS)，得出AB=AM；
(3)过N点作NG⊥AB交于G，延长GN交DC于H点，证明△ANG≌△NFH(AAS)，得出AG=HN，证出△BNG为等腰直角三角形，则可得出答案．
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识是解题的关键．每批粒数n
100
300
400
600
1000
2020
3000
发芽的频数m
96
283
380
571
948
1912
2848
发芽的频率mn(精确到0.001)
0.960
0.943
0.950
0.952
0.948
0.956
0.949