2023-2024学年天津市南开中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年天津市南开中学八年级（下）期中数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列二次根式中，最简二次根式是( )
A. 4xB. x2+2C. 3x2D. x2
2.下列运算正确的是( )
A. 3− 3=3B. 4 5− 5=4C. 32÷ 8=4D. 3× 2= 6
3.已知直角三角形的两边长分别为3和2，则第三边长为( )
A. 5B. 13C. 1D. 5或 13
4.下列满足条件的三角形中，不是直角三角形的是( )
A. 三内角之比为1：2：3B. 三边长的平方之比为1：2：3
C. 三边长之比为3：4：5D. 三内角之比为3：4：5
5.若平行四边形中两个内角的度数比为1：2，则其中较小的内角是( )
A. 60°B. 90°C. 120°D. 45°
6.下列说法不正确的是( )
A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形B. 一个角是直角的平行四边形是矩形
C. 对角线互相平分且垂直的四边形是菱形D. 对角线相等的四边形是矩形
7.如图，在正方形网格中，A，B，C，D，E都是格点，则∠BAC+∠CDE的度数为( )
A. 45°
B. 40°
C. 35°
D. 30°
8.如图，阴影部分表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形.已知AC=2，BC=4，则S1+S2=( )
A. 4 3B. 84πC. 2πD. 4
9.在平行四边形ABCD中，∠ACB=25°，现将平行四边形ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，点D落在G处，则∠DFE的度数( )
A. 135°
B. 120°
C. 115°
D. 100°
10.用尺现作图的方法在一个平行四边形内作菱形ABCD，下列作法错误的是( )
A. B.
C. D.
11.如图，菱形ABCD，点A、B、C、D均在坐标轴上．∠ABC=120°，点A(−3,0)，点E是CD的中点，点P是OC上的一动点，则PD+PE的最小值是( )
A. 3B. 5C. 2 2D. 32 3
12.如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后折痕DE分别交AB.AC于点E、G，连结GF，给出下列结论，其中正确的个数有( )
①∠AGD=110.5°；
②S△AGD=S△OGD；
③四边形AEFG是菱形；
④OFBF= 22．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
13.二次根式 2x+1在实数范围内有意义，则x的取值范围为______．
14.如图，正方形ODBC中，OC=1，OA=OB，则数轴上点A表示的数是______．
15.如图，E为▱ABCD的边AD上任意一点，▱ABCD的面积为6，则图中阴影部分的面积为______．
16.在平面直角坐标系中，点A(−3,6)到原点的距离为______．
17.已知：正方形ABCD的边长为8，点E、F分别在AD、CD上，AE=DF=2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为______．
18.如图，已知∠AED=∠ACB=90°，AC=BC=3，AE=DE=1，点D在AB上，连接CE，点M，点N分别为BD，CE的中点，则MN的长为______．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
19.计算：
(1) 32−4 18+2 2；
(2)( 3+ 2)2−(2+ 5)(2− 5).
四、解答题：本题共4小题，共38分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题8分)
《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”(注：1步=5尺)
译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺(水平距离)时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，问绳索有多长．”
21.(本小题8分)
(1)已知a，b满足 2a+b−4+|a+1|=0，求(a+b)2．
(2)已知x，y为实数，且y< 2x−1+ 1−2x+2，化简： y2−4y+452−x．
22.(本小题10分)
如图，在Rt△ABC中，已知∠ABC=90°，M是边AC的中点，过点A作AN//BM，且AN=CM．
(1)求证：四边形ABMN是平行四边形；
(2)若∠BAC=30°，BC=2，求四边形ABMN的周长．
23.(本小题12分)
如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒(0(1)求证：AE=DF；
(2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由；
(3)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：因为：A、 4x=2 x；C、 3x2= 3|x|；D、 x2= 2x2；
所以这三个选项都不是最简二次根式．
因此符合条件的只有B选项．
故选：B．
根据最简二次根式的定义进行解题即可．
本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
2.【答案】D
【解析】解：A． 3− 3=0，所以A选项不符合题意；
B.4 5− 5=3 5，所以B选项不符合题意；
C. 32÷ 8= 32÷8=2，所以C选项不符合题意；
D. 3× 2= 3×2= 6，所以D选项符合题意．
故选：D．
根据二次根式的减法运算对A、B选项进行判断；根据二次根式的除法法则对C选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对D选项进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：3是直角边时，第三边= 22+32= 13，
3是斜边时，第三边= 32−22= 5，
所以，第三边长为 13或 5．
故选：D．
分3是直角边和斜边两种情况讨论求解．
本题考查了勾股定理，是基础题，难点在于要分情况讨论．
4.【答案】D
【解析】解：A、因为根据三角形内角和定理可求出三个角分别为30度，60度，90度，所以是直角三角形，故不符合题意；
B、因为其符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形，故不符合题意；
C、因为其符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形，故不符合题意；
D、因为根据三角形内角和公式得三个角中没有90°角，所以不是直角三角形，故符合题意．
故选D．
根据三角形的内角和定理及勾股定理的逆定理进行分析，从而得到答案．
本题考查了直角三角形的判定：可用勾股定理的逆定理或三角形的内角和定理来判定．
5.【答案】A
【解析】解：设平行四边形中两个内角的度数分别是x°，2x°，
则x+2x=180，
解得：x=60，
∴其中较小的内角是：60°．
故选：A．
首先设平行四边形中两个内角的度数分别是x°，2x°，由平行四边形的邻角互补，即可得方程x+2x=180，继而求得答案．
此题考查了平行四边形的性质．注意平行四边形的邻角互补．
6.【答案】D
【解析】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形；故原说法正确；
B、一个角是直角的平行四边形是矩形，故原说法正确；
C、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故原说法正确；
D、对角线相等的四边形不一定是矩形，故原说法错误；
故选：D．
根据平行四边形、矩形、菱形的判定分别对各个选项进行判断即可得到答案．
本题考查了平行四边形、矩形、菱形的判定；熟练掌握平行四边形和特殊平行四边形的判定是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：如图：连接AD，
由题意得：AB//CF//DE，
∴∠BAC=∠ACF，∠FCD=∠CDE，
由勾股定理得：
AD2=32+12=10，
CD2=12+32=10，
AC2=42+22=20，
∴AD2+CD2=AC2，
∴△ACD是直角三角形，
∴∠ADC=90°，
∵AD=CD= 10，
∴∠DAC=∠ACD=45°，
∴∠BAC+∠CDE=∠ACF+∠DCF=∠ACD=45°，
故选：A．
连接AD，根据题意可得：AB//CF//DE，从而可得∠BAC=∠ACF，∠FCD=∠CDE，然后根据勾股定理的逆定理证明△ACD是直角三角形，从而可得∠ADC=90°，最后根据AD=CD= 10，可得∠DAC=∠ACD=45°，从而利用等量代换即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：∵AC=2，BC=4，
∴AB2=AC2+BC2=20，
∴S1+S2=半圆BC面积+半圆AC面积+S△ABC−半圆AB面积
=12π(BC2)2+12π(AC2)2+12BC⋅AC−12π(AB2)2
=12π+2π+12×2×4−52π
=4，
故选：D．
根据勾股定理及图形关系表示出S1+S2即可．
本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
9.【答案】C
【解析】解：∵将平行四边形ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，点D落在G处，∠ACB=25°，
∴∠EAC=∠ECA=25°，∠FEC=∠FEA，
∴∠AEC=180°−(∠EAC+∠ECA)=180°−(25°+25°)=130°，
∴∠FEC=12∠AEC=12×130°=65°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠DFE=180°−∠FEC=180°−65°=115°，
∴∠DFE的度数为115°．
故选：C．
首先根据折叠找到对应相等的角∠EAC=∠ECA=25°，∠FEC=∠FEA，然后根据三角形内角和可算出∠AEC，进而可得∠FEC的度数，再根据平行四边形的性质可得∠DFE．
本题考查平行四边形的性质以及折叠变换，解题的关键是找准折叠后哪些角是对应相等的．
10.【答案】A
【解析】解：A.由作法得AD=BC，而AD//BC，则四边形ABCD为平行四边形，所以A选项符合题意；
B.由作法得BA=BC，DA=DC，则△ADC≌△ABD，所以AB=AD，则四边形ABCD为菱形，所以B选项不符合题意；
C.由作法得BA=BC，AD=AB=AC，则△ABC为等边三角形，所以△ACD为等边三角形，则四边形ABCD为菱形，所以C选项不符合题意；
D.由作法得AB=AD，CB=CD，则△ABD≌△CBD，所以BA=BC，则四边形ABCD为菱形，所以D选项不符合题意．
故选：A．
在A选项中只能证明四边形ABCD为平行四边形，利用作法和菱形的判定方法可得到B、C、D选项中四边形ABCD为菱形．
本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的性质和菱形的判定．
11.【答案】A
【解析】解：根据题意得，E点关于x轴的对称点是BC的中点E′，连接DE′交AC与点P，此时PD+PE有最小值为DE′，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，点A(−3,0)，
∴OA=OC=3，∠DBC=60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴DE′=OC=3，
即PD+PE的最小值是3，
故选：A．
根据题意得，E点关于x轴的对称点是BC的中点E′，连接DE′交AC与点P，此时PD+PE有最小值，求出此时的最小值即可．
本题主要考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定和性质是解题的关键．
12.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠GAD=∠ADO=45°，
由折叠的性质可得：∠ADG=12∠ADO=22.5°，
∴∠AGD=180°−∠GAD−∠ADG=112.5°，
故①错误．
由折叠的性质可得：AE=EF，∠AEG=∠FEG，
在△AEG和△FEG中，
∵AE=FE∠AEG=∠FEGEG=EG,
∴△AEG≌△FEG(SAS)，
∴AG=FG，
∵∠GOF=90°，
∴在Rt△GOF中，AG=FG>GO，
∴S△AGD>S△OGD，故②错误．
∵∠AGE=∠GAD+∠ADG=67.5°=∠AED，
∴AE=AG，
又AE=FE、AG=FG，
∴AE=EF=GF=AG，
∴四边形AEFG是菱形，故③正确．
设OF=a，
∵四边形AEFG是菱形，且∠AED=67.5°，
∴∠FEG=∠FGE=67.5°，
∴∠EFG=45°，
又∠EFO=90°，
∴∠GFO=45°，
∴GF=EF= 2a，
∵∠EFO=90°，∠EBF=45°，
∴BF=EF=GF= 2a，即BF= 2OF，
∴OFBF= 22，故④正确；
故选：B．
①由四边形ABCD是正方形，可得∠GAD=∠ADO=45°，又由折叠的性质，可求得∠ADG的度数，从而求得∠AGD；
②证明△AEG≌△FEG得AG=FG，由FG>OG即可得；
③由折叠的性质与平行线的性质，易得△AEG是等腰三角形，由AE=FE、AG=FG即可得证；
④设OF=a，先求得∠EFG=45°，从而知BF=EF=GF= 2OF．
此题考查的是正方形的性质、折叠的性质、等腰直角三角形的性质以及菱形的判定与性质等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．
13.【答案】x≥−12
【解析】解：∵二次根式 2x+1在实数范围内有意义，
∴2x+1≥0，
解得x≥−12．
故答案为：x≥−12．
先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解答此题的关键．
14.【答案】− 2
【解析】解：∵OB= 12+12= 2，
∴OA=OB= 2，
∵点A在数轴上原点的左边，
∴点A表示的数是− 2，
故答案为：− 2．
在直角三角形中根据勾股定理求得OB的值，即OA的值，进而求出数轴上点A表示的数
本题考查了实数与数轴、勾股定理的综合运用．
15.【答案】3
【解析】解：∵平行四边形ABCD面积为6，
∴S△EBC=12S▱ABCD=12×6=3．
故答案为：3．
由点E是平行四边形ABCD中边AD上的任意一点，可得△EBC与▱ABCD等底等高，继而可得S△EBC=12S▱ABCD．
此题考查了平行四边形的性质．注意△EBC与▱ABCD等底等高．
16.【答案】3 5
【解析】解：过A作AB⊥x轴于B，
∵点A的坐标为(−3,6)，
∴AB=6，OB=|−3|=3，
∴OA= AB2+OB2= 62+32=3 5，
∴点A(−3,6)到原点的距离为3 5，
故答案为3 5．
过A作AB⊥x轴于B，根据坐标的定义，AB=6，OB=|−3|=3，根据勾股定理即可求得OA．
此题主要考查了点的坐标和勾股定理，准确找出B点才是解题的关键．
17.【答案】5
【解析】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAE=∠D=90°，AB=AD，
在△ABE和△DAF中，
AB=AD∠BAE=∠DAE=DF
∴△ABE≌△DAF(SAS)，
∴∠ABE=∠DAF，
∵∠ABE+∠BEA=90°，
∴∠DAF+∠BEA=90°，
∴∠AGE=∠BGF=90°，
∵点H为BF的中点，
∴GH=12BF，
∵BC=8，CF=CD−DF=8−2=6
∴BF= BC2+CF2=10
∴GH=5
故答案为：5
根据正方形的四条边都相等可得AB=AD，每一个角都是直角可得∠BAE=∠D=90°，然后利用“边角边”证明△ABE≌△DAF得∠ABE=∠DAF，进一步得∠AGE=∠BGF=90°，从而知GH=12BF，利用勾股定理求出BF的长即可得出答案．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余等知识，掌握三角形全等的判定方法与正方形的性质是解题的关键．
18.【答案】 102
【解析】解：连接DN，延长DN交AC于F，连BF，
∵△ACB和△AED是等腰直角三角形，∠AED=∠ACB=90°，DE=AE，AC=BC，
∴∠EAD=∠EDA=∠BAC=45°，
∴DE/​/AC，
∴∠DEN=∠FCN，
在△DEN和△FCN中，
∠DNE=∠FNCEN=NC∠DEN=∠FCN，
∴△DEN≌△FCN(ASA)，
∴DE=FC，DN=NF，
∴AE=FC，
∵M是BD中点，
∴MN是△BDF的中位线，
∴MN=12BF，
∵∠EAD=∠BAC=45°，
∴∠EAC=∠ACB=90°，
在△CAE和△BCF中，
AC=BC∠EAC=∠FCB=90°AE=FC，
∴△CAE≌△BCF(SAS)，
∴BF=CE，
∴MN=12CE，
∵∠AED=∠ACB=90°，AC=BC=3，AE=DE=1，
∴△ADE和△ABC是等腰直角三角形，
∴∠EAD=∠BAC=45°，
∴∠EAC=90°，
∴CE= AE2+AC2= 12+32= 10，
∴MN=12CE= 102．
故答案为： 102．
延长DN交AC于F，连BF，根据DE/​/AC，可证△EDN≌△CFN，可得DE=CF，求出DN=FN，FC=ED，得出MN是中位线，再证△CAE≌△BCF，得出BF=CE，即可解题；推出∠ACE=∠CBF，求出∠CBF+∠BCE=90°，即可得出答案．
本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△EDN≌△CFN和△CAE≌△BCG是解题的关键．
19.【答案】解：(1) 32−4 18+2 2
=4 2− 2+ 2
=4 2；
(2)( 3+ 2)2−(2+ 5)(2− 5)
=3+2 6+2−4+5
=6+2 6．
【解析】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
(1)先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行加减计算即可；
(2)利用平方差公式和完全平方公式，即可解答．
20.【答案】解：设绳索有x尺长，
由题意得：102+(x+1−5)2=x2，
解得：x=14.5，
即绳索长14.5尺．
【解析】本题考查了勾股定理的应用，理解题意，由勾股定理得出方程是解题的关键．设绳索有x尺长，由勾股定理得出方程，解方程即可．
21.【答案】解：(1) 2a+b−4+|a+1|=0，
∵2a+b−4≥0，a+1≥0，
∴2a+b−4=0，a+1=0，
∴a=−1，b=6，
∴(a+b)2=(−1+6)2=25；
(2)y< 2x−1+ 1−2x+2，
∵2x−1≥0，1−2x≥0，
∴2x−1=0，
解得，x=12，
∴y<2，
y2−4y+452−x= (y−2)252−x，
∵y<2，则y−2<0，
∴原式=2−y52−x
把x=12代入得，=y−252−12=y−22．
【解析】(1)根据绝对值的非负性，二次根式的非负性计算出a，b的值，代入计算即可求解；
(2)根据二次根式的非负性可算出x，y的值和取值范围，再结合二次根式的性质进行化简即可求解．
本题主要考查绝对值，二次根式的非负性，二次根式的性质化简，乘方运算，掌握二次根式的性质是解题的关键．
22.【答案】(1)证明：∵∠ABC=90°，M是边AC的中点，
∴BM=12AC=CM，
∵AN=CM，
∴AN=BM，
又∵AN//BM，
∴四边形ABMN是平行四边形；
(2)解：∵∠ABC=90°，∠BAC=30°，BC=2，
∴AC=2BC=4，
∴AN=BM=12AC=2，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB= AC2−BC2= 42−22=2 3，
由(1)可知，四边形ABMN是平行四边形，
∴MN=AB=2 3，
∴四边形ABMN的周长=2AB+2AN=2×2 3+2×2=4+4 3．
【解析】(1)利用直角三角形斜边上的中线性质得BM=CM，再证明AN=BM，然后由平行四边形的判定即可得出结论；
(2)利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得AN=BM=2，AB=2 3，再由平行四边形的性质即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：∵直角△ABC中，∠C=90°−∠A=30°．
∵CD=4t，AE=2t，
又∵在直角△CDF中，∠C=30°，
∴DF=12CD=2t，
∴DF=AE．
解：(2)∵DF/​/AB，DF=AE，
∴四边形AEFD是平行四边形，
当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，
即60−4t=2t，
解得：t=10，
即当t=10时，▱AEFD是菱形．
(3)当t=152时，△DEF是直角三角形(∠EDF=90°)；或当t=12时，△DEF是直角三角形(∠DEF=90°)．
理由如下：
当∠EDF=90°时，DE/​/BC．
∴∠ADE=∠C=30°，
∴AD=2AE，
∵CD=4t，
∴DF=2t=AE，
∴AD=4t，
∴4t+4t=60，
∴t=152时，∠EDF=90°．
当∠DEF=90°时，DE⊥EF，
∵四边形AEFD是平行四边形，
∴AD/​/EF，
∴DE⊥AD，
∴△ADE是直角三角形，∠ADE=90°，
∵∠A=60°，
∴∠DEA=30°，
∴AD=12AE，
AD=AC−CD=60−4t，AE=DF=12CD=2t，
∴60−4t=t，
解得t=12．
综上所述，当t=152时△DEF是直角三角形(∠EDF=90°)；或当t=12时，△DEF是直角三角形(∠DEF=90°)．
【解析】本题考查了直角三角形的性质，菱形的判定与性质，正确利用t表示DF、AD的长是关键，属于较难题．
(1)利用t表示出CD以及AE的长，然后在直角△CDF中，利用直角三角形的性质求得DF的长，即可证明；
(2)易证四边形AEFD是平行四边形，当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，据此即可列方程求得t的值；
(3)分两种情况讨论即可求解．