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广东省茂名市高州中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题（原卷版+解析版）
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考试时长：120分钟 卷面总分：150分
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）.
1. 设随机变量的概率分布列为：
则（ ）
A. B. C. D.
2. 掷红蓝两个均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件：红骰子的点数为，：红骰子的点数为，：两个骰子的点数之和为，：两个骰子的点数之和为，则（ ）
A. 与对立B. 与不互斥
C. 与相互独立D. 与相互独立
3. 若，则的值为（ ）
A. 83B. 119C. 164D. 219
4. 已知，则的值是（ ）
A. 9B. 7C. 9或D. 8
5. 若一组样本数据的期望和方差分别为，则数据的期望和方差分别为（ ）
A. 3,1B. 11,1C. D.
6. 2024年3月16日下午3点，在贵州省黔东南苗族侗族自治州榕江县“村超”足球场，伴随平地村足球队在对阵口寨村足球队中踢出第一脚球，2024年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕.某校足球社的五位同学准备前往村超球队所在村寨调研，将在第一天前往平地村、口寨村、忠诚村，已知每个村至少有一位同学前往，五位同学都会进行选择并且每位同学只能选择其中一个村，若学生甲和学生乙必须选同一个村，则不同的选法种数是（ ）
A. 18B. 36C. 54D. 72
7. 如图，平面四边形中，，.若是椭圆和双曲线的两个公共焦点，是与的两个交点，则与的离心率之积为（ ）
A. B. C. 2D. 3
8. 已知函数的定义域为为的导函数.若，且在上恒成立，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 如图，在平行六面体中，分别是的中点，以为顶点的三条棱长都是，则下列说法正确的是（ ）
A. 平面
B. 平面
C.
D. 与夹角的余弦值为
10. 若，，则（ ）
A.
B.
C.
D.
11. 画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同中心的圆上，称此圆为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆分别为椭圆的左、右焦点，，其短轴上的一个端点到的距离为，点在椭圆上，直线，则（ ）
A. 直线与蒙日圆相切
B. 椭圆的蒙日圆方程为
C. 若点是椭圆的蒙日圆上的动点，过点作椭圆的两条切线，分别交蒙日圆于两点，则的长恒为4
D. 记点到直线的距离为，则的最小值为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 的展开式中的系数为______．
13. 第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元．ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，概率就被广泛应用于ChatGPT中，某学习小组设计了如下问题进行研究：甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球，从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，则2个球都是红球的概率为________；掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子中随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1个球，若抽到的是红球，则它是来自乙箱的概率是________．
14. 如图，在梯形ABCD中，，，，，将沿AC折起，使点D到达点P位置，此时二面角为，连接PB，得到三棱锥，则该三棱锥外接球表面积为______．
四、解答题
15. 已知等差数列前n项和为，且.
（1）求；
（2）求数列的前n项和.
16. 如图1，矩形中，，点为的中点，现将沿折起，使得平面平面，得到如图2所示的四棱锥，点为棱上一点.
（1）证明：；
（2）是否存在点，使得直线与平面所成角正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
17. 已知椭圆的左顶点为，两个焦点与短轴一个顶点构成等边三角形，过点且与轴不重合的直线与椭圆交于两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若过点且平行于的直线交直线于点，求证：直线恒过定点.
18. 某校为了解高三年级1200名学生对成语的掌握情况，举行了一次“成语测试”比赛．从中随机抽取120名学生，统计结果如下：获奖人数与不获奖人数之比为，其中获奖人数中，女生占，不获奖人数中，女生占．
（1）现从这120名学生中随机抽取1名学生，求恰好是女生的概率；
（2）对获奖学生采用按性别分层随机抽样的方法选取8人，参加赛后经验交流活动．若从这8人中随机选取2人．
①求在2人中有女生入选条件下，恰好选到1名男生和1名女生的概率；
②记为入选的2人中的女生人数，求随机变量的分布列及数学期望．
19. 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若函数有两个零点，
（一）求m的取值范围；
（二）求证：．
X
1
2
3
4
P
m
考试时长：120分钟 卷面总分：150分
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）.
1. 设随机变量的概率分布列为：
则（ ）
A. B. C. D.
2. 掷红蓝两个均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件：红骰子的点数为，：红骰子的点数为，：两个骰子的点数之和为，：两个骰子的点数之和为，则（ ）
A. 与对立B. 与不互斥
C. 与相互独立D. 与相互独立
3. 若，则的值为（ ）
A. 83B. 119C. 164D. 219
4. 已知，则的值是（ ）
A. 9B. 7C. 9或D. 8
5. 若一组样本数据的期望和方差分别为，则数据的期望和方差分别为（ ）
A. 3,1B. 11,1C. D.
6. 2024年3月16日下午3点，在贵州省黔东南苗族侗族自治州榕江县“村超”足球场，伴随平地村足球队在对阵口寨村足球队中踢出第一脚球，2024年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕.某校足球社的五位同学准备前往村超球队所在村寨调研，将在第一天前往平地村、口寨村、忠诚村，已知每个村至少有一位同学前往，五位同学都会进行选择并且每位同学只能选择其中一个村，若学生甲和学生乙必须选同一个村，则不同的选法种数是（ ）
A. 18B. 36C. 54D. 72
7. 如图，平面四边形中，，.若是椭圆和双曲线的两个公共焦点，是与的两个交点，则与的离心率之积为（ ）
A. B. C. 2D. 3
8. 已知函数的定义域为为的导函数.若，且在上恒成立，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 如图，在平行六面体中，分别是的中点，以为顶点的三条棱长都是，则下列说法正确的是（ ）
A. 平面
B. 平面
C.
D. 与夹角的余弦值为
10. 若，，则（ ）
A.
B.
C.
D.
11. 画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同中心的圆上，称此圆为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆分别为椭圆的左、右焦点，，其短轴上的一个端点到的距离为，点在椭圆上，直线，则（ ）
A. 直线与蒙日圆相切
B. 椭圆的蒙日圆方程为
C. 若点是椭圆的蒙日圆上的动点，过点作椭圆的两条切线，分别交蒙日圆于两点，则的长恒为4
D. 记点到直线的距离为，则的最小值为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 的展开式中的系数为______．
13. 第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元．ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，概率就被广泛应用于ChatGPT中，某学习小组设计了如下问题进行研究：甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球，从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，则2个球都是红球的概率为________；掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子中随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1个球，若抽到的是红球，则它是来自乙箱的概率是________．
14. 如图，在梯形ABCD中，，，，，将沿AC折起，使点D到达点P位置，此时二面角为，连接PB，得到三棱锥，则该三棱锥外接球表面积为______．
四、解答题
15. 已知等差数列前n项和为，且.
（1）求；
（2）求数列的前n项和.
16. 如图1，矩形中，，点为的中点，现将沿折起，使得平面平面，得到如图2所示的四棱锥，点为棱上一点.
（1）证明：；
（2）是否存在点，使得直线与平面所成角正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
17. 已知椭圆的左顶点为，两个焦点与短轴一个顶点构成等边三角形，过点且与轴不重合的直线与椭圆交于两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若过点且平行于的直线交直线于点，求证：直线恒过定点.
18. 某校为了解高三年级1200名学生对成语的掌握情况，举行了一次“成语测试”比赛．从中随机抽取120名学生，统计结果如下：获奖人数与不获奖人数之比为，其中获奖人数中，女生占，不获奖人数中，女生占．
（1）现从这120名学生中随机抽取1名学生，求恰好是女生的概率；
（2）对获奖学生采用按性别分层随机抽样的方法选取8人，参加赛后经验交流活动．若从这8人中随机选取2人．
①求在2人中有女生入选条件下，恰好选到1名男生和1名女生的概率；
②记为入选的2人中的女生人数，求随机变量的分布列及数学期望．
19. 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若函数有两个零点，
（一）求m的取值范围；
（二）求证：．
X
1
2
3
4
P
m
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