广东省汕头市龙湖实验中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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一．选择题：(本大题10小题，每小题3分，共30分）
1. 16的平方根是（ ）
A. 8B. 4C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平方根的定义进行计算．
【详解】解：16的平方根是，
故答案选：C．
【点睛】本题主要考查的是平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是本题的解题关键．
2. 下列变形正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据算术平方根和立方根及平方根的定义求解可得．
【详解】解：A．，此选项错误；
B．=3，此选项错误；
C．=4，此选项错误；
D. ，此选项正确；
故选：D．
【点睛】本题主要考查平方根、算术平方根、立方根，解题的关键是掌握算术平方根和立方根及平方根的定义．
3. 如图，直线a，b相交于点O，若，则等于（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由对顶角相等可得，从而可求的度数，再利用邻补角的定义即可求．
【详解】解：∵，，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查对顶角，邻补角的概念，解答的关键是对相应的知识的掌握．
4. 如图，在平面直角坐标系中有一点被墨迹遮挡了，这个点的坐标可能是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由图可知，这个点在第二象限，根据平面直角坐标系内每个象限内点坐标的符号特征分别判断即可．
【详解】解：由图可知，这个点在第二象限，
在第一象限，故A不符合题意；
在第二象限，故B符合题意；
在第三象限，故C不符合题意；
在第四象限，故D不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了象限内点的坐标特征，熟练掌握象限内点的坐标特征是解本题的关键．象限内点的坐标特征：第一象限（正，正），第二象限（负，正），第三象限（负，负），第四象限（正，负）．
5. 若是关于，的二元一次方程的解，则的值为（ ）
A. B. 0C. 1D.
【答案】C
【解析】
【分析】把与的值代入方程计算即可求出的值．
【详解】解：把代入方程得：，
解得：，
则的值为1．
故选：C．
【点睛】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
6. 如图，下列条件中，不能判断直线的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据图形判断各角之间的位置关系，再根据平行线的判定方法进行判断即可得解．
【详解】解：A. 和不是与形成的内错角或同位角或同旁内角，故不能判定；
B. 和是与形成的内错角，且，故能判定；
C. 和是与形成的内错角，且，故能判定；
D. 和是与形成的同旁内角，且，故能判定．
故选：A
【点睛】本题考查了平行线的判定，解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．本题是一道探索性条件开放型题目，能有效地培养“执果索因”的思维方式与能力．
7. 如图，把一个直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据两直线平行，同位角相等，可得，再根据平角等于列式计算即可得解．
详解】解：如图，直尺对边互相平行，
又∵，
∴，
∴．
故选：A
【点睛】本题考查了平行线的性质、平角的定义．熟记性质并准确识图是解题的关键．
8. 下列命题中，是真命题的是（ ）
A. 7算术平方根是49B. 同旁内角互补
C. 相等的角是对顶角D. 若，，则
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了判断命题的真假、算术平方根、平行线的性质、对顶角、平行公理，根据算术平方根的定义可以判断A；根据平行线的性质可以判断B；根据对顶角的性质可以判断C；根据平行公理可以判断D，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：A、7的算术平方根是，故原选项错误，不符合题意；
B、两直线平行，同旁内角互补，故原选项错误，不符合题意；
C、相等的角不一定是对顶角，故原选项错误，不符合题意；
D、若，，则，故原选项正确，符合题意．
故选：D．
9. 如果点在轴上，那么点所在的象限是（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】先根据点在轴上可得m=0，然后确定B的坐标,最后根据B的坐标确定B所在的象限即可．
【详解】解：∵点在轴上
∴m=0
∴，即点B在第四象限．
故答案为D．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系内点的坐标特征，根据A点的位置确定m的值成为解答本题的关键．
10. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，点P，Q同时从点A出发，沿长方形的边作环绕运动，点P按逆时针方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动，点Q按顺时针方向以每秒3个单位长度的速度匀速运动，则第2024秒P，Q两点相遇地点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出长方形的周长，确定两点相遇所需时间，找到相遇的点的坐标，进而抽象出相应规律，即可得出结果．
【详解】解：∵，
∴，
∴长方形的周长为，
∴每次相遇需要的时间为：秒，即点每运动4个单位长度，两点相遇，
∴第一次相遇的点的坐标为：，
第二次相遇的点为：，
第三次相遇的点为：，
第四次相遇的点为：，
第五次相遇的点为：；
每5次一个循环，
∵，
∴第2024秒P，Q两点相遇地点的坐标是；
故选B．
【点睛】本题考查点的规律探究．解题的关键是确定两点相遇所需时间，以及相遇时点的坐标规律．
二、填空题 (本大题5小题，每小题3分，共15分）
11. 比较大小___________．（填“”，“”或者“”）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数大小比较的方法，熟练掌握“两个负实数绝对值大的反而小”是解题的关键．
【详解】解：∵，，
，
∴，
故答案为：．
12. 若3x+y＝5，用含x的代数式表示y，则y＝_______．
【答案】53x##-3x+5
【解析】
【分析】把含y的项放到方程左边，移项即可．
【详解】解：3x+y=5，
移项、得y=53x，
故答案为：53x
【点睛】本题考查的是方程的基本运算技能：移项、合并同类项、系数化为1等，表示谁就该把谁放到等号的一边，其他的项移到另一边，然后合并同类项、系数化1就可用含y的式子表示x的形式．
13. 如图，把长方形ABCD沿EF对折，若∠1=50°，则∠AEF的度数等于__.
【答案】
【解析】
【详解】解：∵把长方形ABCD沿EF对折，
∴AD∥BC，∠BFE=∠2，
∵∠1=50°，∠1+∠2+∠BFE=180°，
∴∠BFE==65°，
∵∠AEF+∠BFE=180°，
∴∠AEF=115°．
故答案为：115°．
14. 如果一个正数的平方根是和，则a的值为_______________．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了平方根，解答本题的关键是掌握一个正数的两个平方根互为相反数．根据一个正数的两个平方根互为相反数可以求得a的值．
【详解】解：∵一个正数的平方根是和，
∴，
解得：．
故答案为：4．
15. 如图，直线经过原点O，点C在y轴上，D为线段上一动点，若，，，，则长度的最小值为_______________．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形性质及三角形的面积，垂线段最短，三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半是解题的关键．分别过点A、作轴的垂线，垂足分别为点、点，得出，，，最后利用垂线段最短及三角形的面积公式解决问题．
【详解】解：如图，分别过点、作轴的垂线，垂足分别为点、点，
∵，，，
∴，，，
∵垂线段最短，
∴当时有最小值，
∵，
∴
∵，
∴，
∴长度的最小值为1，
故答案为：1．
三、解答题（一）（本大题2小题，每小题5分，共10分）
16. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算、立方根、实数的混合运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键．根据二次根式的混合运算、立方根、绝对值、有理数的乘方运算法则即可求解．
【详解】解：原式=
17. 解方程
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，用加减消元法解二元一次方程组即可．
【详解】解：
得
得，
解得，
把代入①得，
所以方程组的解为：．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分）
18. 如图，，，试说明：．
补全下列推理过程，并在括号内填写推理依据．
∵，（已知）
∴__________，（__________）
∴__________，（__________）
又∵，（已知）
∴__________，（__________）
∴．（__________）
【答案】；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；等量代换；内错角相等，两直线平行
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，解题关键是有理有据．
结合图形进行分析推理即可．
【详解】解：∵，(已知)
∴，(内错角相等，两直线平行)
∴，(两直线平行，内错角相等)
又∵，(已知)
∴，(等量代换)
∴．(内错角相等，两直线平行)
故答案为：；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；等量代换；内错角相等，两直线平行．
19. 已知2a+4的立方根是2，3a+b﹣1的算术平方根是3，的整数部分为c．
（1）分别求出a，b，c的值；
（2）求a+b+c的平方根．
【答案】（1），，
（2）
【解析】
【分析】（1）利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，即可求出a、b、c的值；
（2）求出a+b+c的值，再求其平方根即可．
【小问1详解】
解：∵的立方根是2，的算术平方根是3，
∴
解得： ，
∵c是的整数部分，，
∴；
【小问2详解】
解：∵，，，
∴，
的平方根为．
【点睛】本题考查立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、代数式求值、求一个数的平方根等知识点．熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
20. 如图，已知直线和相交于点，，平分，，
（1）请直接写出的邻补角
（2）求和的度数．
【答案】（1）和
（2）的度数为，的度数为
【解析】
【分析】本题考查角平分线的定义，邻补角定义，垂直的定义，解题的关键是理解定义．
（1）根据邻补角定义进行求解即可；
（2）先根据垂直的定义得出，对顶角的性质可得的度数，再利用角平分线的定义可求解的度数，最后将数据代入计算即可．掌握角平分线的定义及对顶角相等的性质是解题的关键．
【小问1详解】
解：的邻补角为和．
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴
∴的度数为，的度数为．
五、解答题（三）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
21. 已知平面直角坐标系中有一点．
（1）点M在一、三象限的角平分线上，求点M的坐标；
（2）点M到x轴的距离为1时，求点M的坐标．
【答案】（1）
（2）点M坐标为或
【解析】
【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，一、三象限角平分线上点的坐标特点：
（1）根据一、三象限角平分线上的点横纵坐标相等进行求解即可；
（2）根据点到x轴的距离为纵坐标的绝对值得到，据此求出m的值即可得到答案．
【小问1详解】
解：∵点在一、三象限的角平分线上，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵点M到x轴的距离为1，
∴，
∴或，
∴或，
当时，，则；
当时，，则，
综上所述，点M坐标为或．
22. 在平面直角坐标系中，ABC三个顶点位置如图（每个小正方形的边长均为1）：
（1）请画出△ABC沿轴向右平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后 (其中分别是A、B、C的对应点，不写画法)；
（2）直接写出三点的坐标；
（3）直接写出△ABC面积___________．
【答案】（1）见解析 （2）（0，5），（-1，3），（4，0）
（3）6.5
【解析】
【分析】（1）先作出△ABC三个顶点平移后的对应点，然后顺次连接即可；
（2）根据平移方式，结合图形写出三个点的坐标即可；
（3）用三角形所在正方形的面积减去四周三个三角形的面积即可得出结果．
【小问1详解】
解：作出△ABC三个顶点平移后的对应点，然后顺次连接，则即为所求作的三角形，如图所示：
【小问2详解】
解：∵△ABC沿轴向右平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后的，
∴根据上图可得：三点的坐标分别为：（0，5），（-1，3），（4，0）．
【小问3详解】
根据三角形ABC的面积等于正方形的面积减去周围三个直角三角形的面积可得：
．
故答案为：6.5．
【点睛】本题主要考查了平移作图，根据平移后求出对应点的坐标，本题考查了利用平移变换作图，三角形的面积，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置，是解题的关键．
23. 如图，已知∠1＝∠BDE，∠2＋∠3＝180°
（1）证明：ADEF．
（2）若DA平分∠BDE，FE⊥AF于点F，∠1＝40°，求∠BAC的度数．
【答案】（1）见解析 （2）70°
【解析】
【分析】（1）根据平行线的判定得出ACDE，根据平行线的性质得出∠2=∠ADE，求出∠3+∠ADE=180°，根据平行线的判定得出即可；（2）求出∠BDE的度数，求出∠2的度数，根据平行线的性质求出∠DAB=∠F=90°，再求出答案即可．
【小问1详解】
证明：∵∠1=∠BDE，
∴ACDE，
∴∠2=∠ADE，
∵∠2+∠3=180°，
∴∠3+∠ADE=180°，
∴ADEF；
【小问2详解】
解∶ ∵∠1=∠BDE，∠1=40°，∴∠BDE=40°，∵DA平分∠BDE，
∴∠ADE=∠BDE=20°，
∴∠2=∠ADE=20°，
∵FE⊥AF，
∴∠F=90°，由（1）得，ADEF，
∴∠BAD=∠F=90°，
∴∠BAC=∠BAD-∠2=90°-20°=70°．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，三角形的内角和定理，能灵活运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．
六、解答题（四）（本大题2小题，每小题10分，共20分）
24. 已知：如图，直线，点C是之间（不在直线上）的一个动点．
（1）若与都是锐角，如图1，请直接写出与之间的数量关系；
（2）若小明把一块三角板（）如图2放置，点D，E，F是三角板的边与平行线的交点，若，求的度数．
（3）将图2中的三角板进行适当转动，如图3，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G 在线段上，连接，且有，求的值是否变化？ 如果不变，求出比值；如果变化，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）不变，2
【解析】
【分析】（1）过C作，则，依据平行线的性质，即可得出；
（2）根据（1）中的结论可得，，再根据对顶角相等即可得出结论；
（3）设，得到，再根据（1）中的结论可得，再根据对顶角相等即可得出，据此可得结论．
【小问1详解】
解：，理由如下：
如图所示，过C作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
由（1）可知：，
又∵，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：的值不变；理由如下：
设，则，
由（1）可得，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质与判定，以及三角板中角度的计算，平行公理的应用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，依据两直线平行，内错角相等进行求解．
25. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．
（1）如图1所示，平移线段到线段，使点的对应点为，点的对应点为，若点的坐标为，则点的坐标为______；
（2）平移线段到线段，使点在轴的正半轴上，点在第二象限内，连接，如图2所示，若的面积为，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，在轴上是否存在一点，使与的面积之比为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2），
（3）存在点，其坐标为或
【解析】
【分析】本题主要考查平面直角坐标系中几何图形的变换，掌握图形平移的规律，几何图形的面积的计算方法是解题的关键．
（1）根据点，点的坐标可得平移规律，再根据平移规律即可求解；
（2）根据点可得平移规律，连接，根据可求点的平移，再求出点的坐标；
（3）根据题意，先计算出，再根据题意，分类讨论：①当P在x轴上方时；②当在轴下方时；根据几何图形面积的计算即可求解．
【小问1详解】
解：已知点的坐标为，点的坐标为，平移后点的对应点为，若点的坐标为，
平移后的对应点，
设，，
，，
即：点向左平移个单位，再向上平移个单位得到点，
∴，，
点平移后的对应点；
【小问2详解】
解：点在轴上，点在第二象限，，，
∴点向左平移个单位，
∴点向左平移个单位，横坐标为：，即点的横坐标为，
∵对应点在第二象限，
∴设点向上平移了个单位，
线段向左平移个单位，再向上平移个单位，符合题意，
，，
∴，，
如图所示，连接，
∴，
∴，
，
，
，；
【小问3详解】
解：由（2）得，
∵，，
∴，
①当P在x轴上方时，如图1，
，
，
∴；
②当在轴下方时，如图2，
，
，
∴，
存在点，其坐标为或．