广东省珠海市华发教育2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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（试卷满分：120分 时间：120分钟）
一、选择题（共10小题，每题3分，共30分）
1. 下列各图中,∠1与∠2是对顶角的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】依据对角的定义进行判断即可．
【详解】解：∵互为对顶角的两个角的两边互为反向延长线，
∴A中∠1和∠2是邻补角，C中的∠1和∠2是对顶角．
故选C．
【点睛】本题主要考查的是邻补角、对顶角的定义，熟练掌握相关概念是解题的关键．
2. 下列各方程中，是二元一次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程的定义，掌握二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程是解题的关键．
【详解】解：A、是代数式，不是二元一次方程；
B、是二元一次方程；
C、不是二元一次方程，因为未知数的最高项的次数为；
D、不是二元一次方程，因为未知数的最高项的次数为；
故选B．
3. 下列各点在第二象限的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平面坐标系下点的特征．熟练掌握不同象限点的特征是解题的关键．根据第二象限点的特征： 进行判断即可；
【详解】解：A、在轴上，不符合题意；
B、在第二象限，符合题意；
C、在第三象限，不符合题意；
D、在第四象限，不符合题意；
故选B．
4. 64的算术平方根是
A. ±4B. ±8C. 4D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】一个正数有两个平方根，且它们互为相反数，其中正的平方根叫它的算术平方根．
【详解】∵64的算术平方根是8，
故选D．
【点睛】本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握算术平方根的定义，即可完成．
5. 二元一次方程有无数多个解，下列四组值中不是该方程的解是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．将各项中x与y的值代入方程检验即可．
【详解】解：A、当时，，是方程的解，不合题意；
B、当时，，不是方程的解，符合题意；
C、当时，，是方程的解，不合题意；
D、当时，，是方程的解，不合题意；
故选：B．
6. 如图，点E在延长线上，下列条件能判断的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定方法，熟练掌握平行线的行线的判定方法是解答本题的关键．平行线的判定方法：①两同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行．根据平行线的判定方法逐项分析即可．
【详解】解：A、根据内错角相等，两直线平行即可证得，不能证，故选项错误；
B、根据同旁内角互补，两直线平行，可证得，不能证，故选项错误；
C、根据内错角相等，两直线平行即可证得，不能证，故选项错误；
D、根据内错角相等，两直线平行即可证得，故选项正确．
故选：D．
7. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离
B. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
D. 垂直于同一直线的两条直线互相平行
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的判定、点到直线的距离、垂线的性质等知识，根据平行线的判定、点到直线的距离、垂线的性质逐项判断即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：A. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，原命题是假命题；
B. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题是假命题；
C. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，是真命题；
D. 同一平面内，垂直于同一直线两条直线互相平行，原命题是假命题；
故选C．
8. 如图，数轴上点表示的数分别是，，且两点到点的距离相等，则点表示的数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了绝对值的几何含义：数轴上两点之间的距离，以及两点间距离的计算：两个点在数轴上对应数的差的绝对值叫做两点间的距离，解题的关键在于正确计算．
【详解】数轴上点所表示的数分别是，
，
点到点的距离相等，
，
点表示的数为，且点表示的数为正数，在的右侧，
点的数为：，
故选：C．
9. 一副三角板如图所示摆放，若直线，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行公理及平行线的性质即可得答案．
【详解】过点作，
∵，
∴，
∴，，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵直角三角形，，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查平行线的知识，解题的关键是掌握平行线的性质，平行公理．
10. 如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点O出发，水平向左平移1个单位长度，再竖直向下平移1个单位长度得到点；接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度得到点；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得到点；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得到点，…，按此作法进行下去，则点的坐标为（ ）
A. （1012，1012）B. （2011，2011）C. （2012，2012）D. （1011，1011）
【答案】A
【解析】
二、填空题（共6小题，每题3分，共18分）
11. 如图，将三角形ABC沿水平方向向右平移到三角形DEF的位置．已知点A，D之间的距离为1，CE＝2，则BF的长为________．
【答案】4
【解析】
【分析】根据平移的性质，得到BE和CF的长度，再根据，即可求出．
【详解】解：∵平移，点A，D之间的距离为1，
∴，
∴．
故答案为：4．
【点睛】本题考查平移的距离：对应点间线段的长度即为平移的距离．
12. 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能以 小数形式全部写出来，因为的整数部分是1，于是可以用表示的小数部分．类似的，的小数部分可以表示为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了求无理数的整数部分以及小数部分，先模仿题干的过程，得出，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
∴是的小数部分，
故答案为：．
13. 比较两数的大小：______1．（填“”或“”）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查无理数估算，熟练掌握估算方法是解决问题的关键．先判定，可得，从而可得答案．
【详解】解：，
，
，
∴
故答案为：．
14. 已知二元一次方程组的解x、y满足，则k的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，先解方程组组求出x，y的值，代入计算是解题关键．
【详解】解：解方程组得，
把代入得，
故答案为：．
15. 已知点A的坐标为，直线轴，且，则点B的坐标为______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形性质，主要利用了平行于轴的直线上的点的纵坐标相等的性质，难点在于要分情况讨论．根据平行于轴的直线上的点的纵坐标相等求出点的纵坐标，再分点在点的左边与右边两种情况求出点的横坐标，即可得解．
【详解】解：轴，点的坐标为，
点的纵坐标为2，
∵，
点在点的左边时，横坐标为，
点在点的右边时，横坐标为，
点的坐标为或．
故答案为：或．
16. 如图，，F为上一点，，且平分，过点F作于点G，且，则下列结论：①；②；③当时，则平分；④；⑤平分，其中正确的结论是______．
【答案】②③④
【解析】
【分析】此题考查了角平分线的定义和平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质；延长，交于I，根据角平分线的定义和平行线的性质即可解答．
【详解】解：延长，交于I．
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
∴①错误；②正确，
∵平分，
，
∵，
∴，
，
∴平分；
故③正确；
平分，
∴，
∴，
故④正确；
∵，，
，
∵未必为，
∴⑤不一定正确．
故答案为：②③④．
三、解答题（一）（共3小题，每题7分，共21分）
17. （1）解方程组：
（2）计算：
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的混合运算和解二元一次方程组，熟练掌握算术平方根、立方根的定义，加减消元法的一般步骤，是解题的关键．
（1）用加减消元法解二元一次方程组即可得出结果；
（2）先根据算术平方根、立方根的定义进行化简，然后再进行计算即可．
【详解】解：（1）
①②得，
解得，
把代入①得，
解得，
∴方程组的解为；
（2）
18. 如图，E点为上的点，B为上的点，，，那么，请完成此结论成立的理由．
证明：
且，（______）
（______）
____________（______）
（______）
（______）．
【答案】对顶角相等；等量代换；，；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行
【解析】
【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质是解本题的关键，根据题干信息提示逐一完善推理过程与推理依据即可．
【详解】证明：，
且，（对顶角相等），
（等量代换），
（内错角相等，两直线平行），
（两直线平行，同位角相等），
，
，
（内错角相等，两直线平行）．
19. 如图，在边长为个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系．已知三角形的顶点的坐标为，顶点的坐标为，点的坐标为．
（1）把三角形向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到三角形，请你画出三角形；
（2）请直接写出点的坐标；
（3）求三角形的面积．
【答案】（1）作图见解析；
（2），，；
（3）．
【解析】
【分析】（）根据平移的性质作图即可；
（）根据平移后的图形即可求解；
（）利用割补法计算即可求解；
本题考查了作平移图形，坐标与图形，三角形的面积，掌握平移的性质是解题的关键．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
【小问2详解】
解：由平移后的图形可得，，，；
【小问3详解】
解：三角形的面积．
四、解答题（二）（共3小题，每题9分，共27分）
20. 如图，直线、相交于点，平分，，
（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据角平分线的定义求得，再根据邻补角定义求得，然后利用垂直定义求解即可；
（2）设，则，利用角平分线的定义和邻补角定义求得，再根据垂直定义列关于x的方程求解即可．
【小问1详解】
解：∵平分， ，
∴，
∴，
又∵，
∴；
【小问2详解】
解：∵
∴设，则．
∵平分∴．
∴，
又∵，
∴ ，
解得：，
∴．
【点睛】本题考查了角平分线的定义、邻补角和垂直定义、解一元一次方程，理解相关定义并正确进行角的运算是解答的关键．
21. 如图，把两个面积均为的小正方形分别沿对角线裁剪后拼成一个大的正方形．
（1）求大正方形的边长．
（2）若沿此大正方形边的方向裁剪出一个长方形，能否使裁剪出的长方形纸片的长宽之比为，且面积为．若能，试求剪出的长方形纸片的长宽；若不能，试说明理由．
【答案】（1）
（2）不能，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据正方形面积公式求解即可；
（2）设长方形纸片长为，宽为，根据长方形的面积公式和无理数的估算得到，，进而可得结论．
【小问1详解】
解：由题意，大正方形的面积为，
∴大正方形的边长是．
【小问2详解】
解：不能，理由为：
设长方形纸片的长为，宽为，
则，∴．
∵，
∴，则．
∵，
∴，
∵正方形的边长为，
∴沿此大正方形边的方向裁剪不能裁剪出长宽之比为，且面积为的长方形纸片．
【点睛】本题考查正方形和长方形面积公式、求一个数的算术平方根、无理数的估算，理解题意，正确求解是解答的关键．
22. 综合与实践：
在《第七章平行线的证明》中我们学习了平行线的证明，今天我们继续探究：折纸中的数学——长方形纸条的折叠与平行线：
（1）知识初探：如图1，长方形纸条中，，，.将长方形纸条沿直线折叠，点A落在处，点D落在处，交于点G．
①若，求的度数．
②若，则________（用含α的式子表示）．
（2）类比再探：如图2，在图1的基础上将对折，点C落在直线上的处.点B落在处，得到折痕，点、G、E、在同一条直线上，则折痕与有怎样的位置关系？并说明理由．
【答案】（1）①；②；
（2），理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了长方形的性质、折叠的性质、平行线的判定与性质、平角的定义等知识点；熟练掌握折叠的性质和平行线的判定与性质是解题的关键．
（1）①由题意得，则，由平行线的性质得，由平角的定义即可得出结果；②由题意得，则，由平行线的性质得，由平角的定义即可解答；
（2）由题意得，，由平行线的性质得，推出，最后根据平行线的判定定理即可解答．
【小问1详解】
解：①由题意得：，
∴，
∵，
∴
∴
②由题意得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【小问2详解】
解：，理由如下：
由题意得：，，
∵，
∴
∴，
∴．
五、解答题（三）（共2小题，每题12分，共24分）
23. 如图，在平面直角坐标系中，已知，点，，．
（1）请直接写出A、B的坐标；
（2）若点在第二象限内，请用含m的式子表示四边形的面积：
（3）在（2）的条件下，若四边形的面积与的面积相等，求出点P的坐标．
【答案】（1），
（2）
（3）点P的坐标是．
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形性质，算术平方根的非负性的应用，解题的关键是利用坐标计算线段的长度和判断线段与坐标轴的位置关系，也考查了三角形的面积公式．
（1）根据几个非负数和的性质得到，分别解一元一次方程得到即可；
（2）根据三角形的面积公式和进行计算即可；
（3）先求出，由得到，求出m的值，然后写出P点的坐标即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
可得：；
∴，；
【小问2详解】
由（1）可得则，
∴，
∵，
，
∴，
即．
【小问3详解】
∵，
∴，
∵，
∴，
则，
即点P的坐标是．
24. 将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图1方式叠放在一起，其中，，．
（1）填空：与的数量关系：______；
（2）直接写出与的数量关系：______；
（3）如图2，当点E在直线的上方时，将三角尺固定不动，改变三角尺的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合：探究以下问题：
①当时，画出图形，并求出的度数；
②这两块三角尺是否还存在一组边互相平行？若存在，请直接写出此时角度所有可能的值：若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）① ②或或或
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线性质，几何图形中的角度计算，余角的性质，解题的关键是数形结合，注意分类讨论．
（1）根据余角的性质进行解答即可；
（2）根据角度之间的关系进行解答即可；
（3）①根据题意画出图形，作，利用平行线的性质进行解答即可；
②分别画出图形，利用平行线的性质求出的度数即可．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
解：，
故答案为：；
【小问3详解】
解：①如图①所示,当 时,作,
∵,
∴.
∴.
∴.
∴.
②如图②所示,当时,,
∴；
如图③所示,当时,；
如图④所示,当时,,
∴.
如图⑤所示,当时,,
∴.
∴这两块三角尺仍存在一组边互相平行，此时的角度可能为或或或．