江西省宜春市高安市2023-2024学年九年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1．全卷满分120分，考试时间120分钟；
2．请在答题卡上答题，否则不给分．
一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
1. 下列各数中，是无理数的数是（ ）
A. B. C. D. 0
2. 榫卯（sǔn mǎ）是中国古代建筑，家具及其他器械的主要结构方式，不用钉子就可以加固物件，体现了中国古代的文化智慧，其中突出部分叫做榫，凹进部分叫卯．如图所示的“榫”和“卯”中，“卯”的左视图是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 不等式≥1的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 我们知道，溶液的酸碱度由确定．当时，溶液呈碱性；当时，溶液呈酸性．若将给定的溶液加水稀释，那么在下列图象中，能反映溶液的与所加水的体积（）的变化关系的是（ ）
A. B. C. D.
6. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，，则下列说法正确的是（ ）
A. a的值可以是0B.
C. D. ，都是正数
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 高安东方红体育公园欢乐世界是高安市2023年重点招商引资项目，总投资1.2亿元，将打造以高安为中心，辐射周边景区，具备特色旅游的综合文旅项目．数据1.2亿用科学记数法表示为______．
8. 分解因式：________.
9. 五线谱是世界上通用一种记谱法，由等距离等长度的五条平行横线组成，如图，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是______．
10. 为有效提高道路通行效率，高安市公安局交警大队在我市中心城区建设了锦绣大道等6条绿波道路（通过对主干道上连续的多个路口实现信号联动控制，设定路口之间红绿灯启动时间差，车辆按照“绿波速度”通行，实现连续通过多个路口都是绿灯的效果）﹒如图是某绿波路段的一部分，限速，长，路口B的每次绿灯时长为，小车经过路口A后，以的速度行驶后，B路口小车通行方向变绿灯，若小车想在这个绿灯间顺利通过B路口，则小车行驶的平均速度的取值范围是______．
11. 如图，将含角直角三角尺的直角顶点放在一把直尺的一边上，顶点在直尺的另一边上，与直尺的另一边交于点，当平分时，，两点在直尺上的读数分别为1，7，则直尺的宽为______．
12. 如图，中，，，，平分，动点从点出发，以每秒的速度沿边匀速运动，连接，当是以为腰的等腰三角形时，点的运动时间为______秒．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. （1）计算：
（2）如图，中，，，以点A为圆心，为半径画弧，交边于点D，求度数．
14. 以下是小明同学解分式方程的过程：
解：……第一步，
……第二步，
……第三步，
，……第四步，
经检验：，是原方程的解．
（1）以上解题过程中，第一步变形的依据是（ ）
A．不等式的基本性质 B．等式的基本性质 C．分式的基本性质
（2）从第＿＿＿＿步开始出现错误，这一步错误的原因是＿＿＿＿；
（3）请求出该方程的正确解．
15. 为落实“双减”政策，我市第十四小学积极开展丰富多彩的课余活动，开设了A汉风古韵、B翰墨飘香、C琴乐悠扬、D巧手灵心等课程，要求人人参与（每人只能选择其中一门课程）．
（1）小华同学选到A汉风古韵这一课程是＿＿＿＿事件（填“不可能”，“必然”或“随机”）；
（2）请用画树状图法或列表法求出小华和小明两位同学都选到D巧手灵心课程的概率．
16. 如图，在的正方形网格中，小正方形的顶点叫做格点．现有A，B，C三个格点，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹，不写画法）．
（1）如图1，作出中边上的高；
（2）如图2，作出的角平分线．
17. 在中，，的对边长分别为a，b，c，设的面积为S，周长为l．
（1）填表：表格中＿＿＿＿，＿＿＿＿；
（2）设，观察上表猜想：＿＿＿＿（用含有m的代数式表示）；
（3）说出（2）中结论成立的理由．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. “隐患胜于明火，责任重于泰山”，我市进行了消防安全隐患大排查．某校为提高师生的消防意识，举行了消防知识讲座和消防安全演练，并进行了消防安全知识测试，从七，八年级中各随机抽取了20名学生的成绩进行了统计分析（满分100分，成绩x均为整数，共分成四组：A组；B组；C组；D组）：
①八年级抽取的学生成绩为：86，88，90，90，92，92，94，94，96，96，98，98，98，100，100，100，100，100，100，100；
②七，八年级抽取的学生成绩统计表：
③七年级抽取的学生成绩扇形统计图：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：＿＿，＿＿，＿＿；
（2）根据以上统计数据，你认为该校七，八年级中哪个年级学生的竞赛成绩更好？请说明理由（写一条合理理由即可）﹔
（3）若该校七年级有700名学生，八年级有600名学生，试估计七，八两个年级学生的竞赛成绩为满分的总人数．
19. 如图，中，，，顶点O为原点，点A的坐标为，反比例函数的图象经过点B．
（1）求k的值；
（2）设直线与y轴交于点M，求的面积．
20. 风能是一种清洁无公害的可再生能源，利用风力发电非常环保．如图所示，是一种风力发电装置；如图为简化图，塔座建在山坡上（坡比，垂直于水平地面，，，三点共线），坡面长，三个相同长度的风轮叶片，，可绕点转动，每两个叶片之间的夹角为﹔当叶片静止，与重合时，在坡底处向前走米至点处，测得点处的仰角为，又向前走米至点处，测得点处的仰角为（点，，，在同一水平线上）．
（1）求叶片的长；
（2）在图状态下，当叶片绕点顺时针转动时（如图），求叶片顶端离水平地面的距离．（参考数据：，，，，结果保留整数）
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 如图，内接于，，是的外角的角平分线，连接并延长交于点M，的延长线与交于点N．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，
①求的半径r的长；
②求值．
22. 【课本再现】连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．已知：如图1，D，E分别是的边，的中点．求证：，且．
（1）如图2，小明在研究了课本的证法后，想到了“延长至点F，使，连接”．
请你按照小明的提示完成证明，聪明的你也可以利用图1用其他方法完成证明．
【迁移应用】（2）如图3，在四边形中，，，E，F分别为，的中点，试判断线段，，之间有何数量关系，并说明理由．
【拓展应用】（3）如图4，在中，，，D是边的中点，E是边上一点．若平分的周长，则的长是 ．
六、（本大题共1小题，共12分）
23. 如图①，为等边三角形，动点从点出发，以的速度沿边运动至点；动点从点出发，以的速度沿边运动至点．若，两点同时出发，设点的运动时间为，的面积为，运动过程中，关于的函数图象如图②所示．
（1）的边长为 ， ， ；
（2）当时，求的长；
（3）当时，求关于的函数解析式，并求出的最大值．a，b，c
3，4，5
2
5，12，13
4
p
8，15，17
6
q
年级
平均分
中位数
众数
满分率
七年级
95.6
96
b
30%
八年级
95.6
a
100
35%