河北省廊坊市安次区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（含解析）

这是一份河北省廊坊市安次区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（试卷页数：8页，考试时间：120分钟，总分：120分）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列各式中，属于最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列运算中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．三边分别为a，b，c，在下列条件中，不能判定为直角三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
4．如图，在中，，对角线，相交于点O，则的长不可以是（ ）
A．B．C．D．
5．关于的叙述，错误的是（ ）
A．是有理数B．面积为的正方形边长是
C．D．在数轴上可以找到表示的点
6．如图，在数轴上点A所表示的数为a，则a的绝对值为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（ ）

A．B．C．D．
8．若，化简的结果为（ ）
A．B．C．D．
9．已知下列命题：①若，则；②互为相反数的两数之和为0；③两直线平行，内错角相等．其中原命题与逆命题均为真命题的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
10．图是甲、乙两名同学的作业（题中为等腰三角形，）
对于两人的作业，下列说法正确的是（ ）
A．两人都对B．两人都不对
C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对
11．将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形，用拉紧的橡皮筋连接，转动这个四边形，使它的形状改变．当时，如图1，测得．当时，如图2，此时（ ）

A．B．C．D．
12．如图，在和中，，点D在边上，M为的中点．连接，．设．若求的长，则下列说法正确的是（ ）

A．必须求得m，n，d的值B．只需求得m的值
C．只需求得d的值D．只需求得n的值
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分，把答案写在题中横线上）
13．计算 ．
14．若是一组勾股数，则的值为 ．
15．菱形是矩形纸片按如图所示的方式折叠而成，若菱形的面积为，则长为 ．
16．将形状、大小相同的两个矩形，如图摆放，已知，在边上找一点F，使得，连接．若，则 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（1）
（2）
18．图是一道例题及其解答过程的一部分，其中M是单项式．
(1)求出单项式M；
(2)将该例题的解答过程补充完整．
19．在中，的对边分别为a、b、c．
(1)若，求a、b；
(2)若，求a、c；
(3)若，，求c边上的高h．
20．如图1，每个小正方形的边长都为1．
(1)①求四边形的面积与周长；
②是直角吗？并说明理由．
(2)在图2、3中，分别画两个不全等的直角三角形，使它们的三边长都是无理数．
21．图是可调躺椅示意图，与的交点为C，测得．
(1)若，求的长；
(2)为躺着更加舒服，准备将躺椅高度进行调节，调整后测得，问与（1）中长度相比，此时的长度有何变化？
22．淇淇同学要证明命题“对角线互相平分的四边形是平行四边形”是正确的，她先作出了如图所示的四边形，并写出了如下不完整的已知和求证．
已知：如图，在四边形中，，__________．
求证：四边形是__________四边形
(1)填空，补全已知和求证；
(2)按淇淇的想法写出证明；
(3)用文字叙述所证命题的逆命题为______________________________．
23．【阅读下列材料】
我们知道：，
即，
（当且仅当时，）．
进一步得到当时，
，即，
（当且仅当时，）
【例】若，求的最小值．
解：，
的最小值为4．
【解决问题】
(1)当时，当且仅当__________时，有最小值__________．
(2)用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长），面积为的长方形菜园，当这个长方形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长是多少？
24．如图，四边形是正方形，点E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F．求证：．
小华所在数学兴趣小组完成上述题目的证明后又对题目进行了进一步发掘，得出以下结论：
①连接，则
②点E为线段上任意一点，其他条件不变，则结论仍成立．
请运用所学知识判断他们的结论正确吗？若正确，请加以证明；若不正确，请说明理由．
参考答案与解析
1．B
【分析】本题是对最简二次根式的考查，熟练掌握最简二次根式的定义是解决本题的关键． 根据最简二次根式的概念进行判断即可．
【解答】解：A、，不是最简二次根式，故A选项错误；
B、是最简二次根式，故B选项正确；
C、，不是最简二次根式，故C选项错误；
D、，不是最简二次根式，故D选项错误；
故选B．
2．C
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的运算法则进行判断即可，正确根据运算法则进行计算是解题的关键．
【解答】解：A、与不能合并，故选项不符合题意；
B、，故选项不符合题意；
C、，故选项符合题意；
D、，故选项不符合题意；
故选：C．
3．B
【分析】此题考查勾股定理的逆定理，关键是根据三角形内角和定理和勾股定理逆定理解答．
根据三角形内角和定理可分析出B、C的正误；根据勾股定理逆定理可分析出A、D的正误．
【解答】解：A、由，可得，能判定是直角三角形，不符合题意；
B、由，得出，不能判定是直角三角形，符合题意；
C、由，得出，能判定是直角三角形，不符合题意；
D、由，可得是直角三角形，不符合题意；
故选：B．
4．A
【分析】本题考查了对平行四边形的性质，三角形的三边关系定理等知识点的理解和掌握，得到是的一半是解此题的关键．根据三角形的三边关系定理得到的取值范围，再根据平行四边形的性质即可求出的取值范围．
【解答】解：∵．
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴．
∴，
∴A不符合题意；
故选：A．
5．A
【分析】本题考查了实数的分类、算术平方根及数轴的知识，注意基础概念的掌握．根据无理数的定义、算术平方根、实数与数轴的知识进行判断．
【解答】解：A、，因为是无理数，所以是无理数，说法错误，故选项符合题意；
B、面积为的正方形边长，说法正确，故选项不符合题意；
C、，说法正确，故选项不符合题意；
D、因为实数与数轴上的点是一一对应关系，所以在数轴上可以找到表示的点，说法正确，故选项不符合题意；
故选：A．
6．D
【分析】本题考查实数与数轴的关系及勾股定理，利用勾股定理求得圆弧的半径是解题的关键．利用勾股定理求得数轴上表示圆弧的半径，再利用实数与数轴的关系即可求得，从而可得答案．
【解答】解：如图，，，
∴，
∴，
∴，
∴a的绝对值为，
故选D．
7．C
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可．
【解答】解：由勾股定理得：
楼梯的水平宽度，
∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，
∴地毯的长度至少是．
故选C．
8．D
【分析】本题主要考查了根据二次根式的意义化简，解题的关键是熟练掌握二次根式规律总结：当时，，当时，．若，则，利用这个条件再结合二次根式性质进行化简即可．
【解答】解：∵，
∴，
∴，故D正确．
故选：D．
9．C
【分析】本题主要考查了判断一个命题及其逆命题的真假，先判断原命题的真假，再把原命题的条件和结论互换写出其逆命题，然后判断逆命题的真假即可得到答案．
【解答】解：①若，则，该命题是真命题；
原命题的逆命题为：若，则，该逆命题是假命题；
②互为相反数的两数之和为0，该命题是真命题；
原命题的逆命题为：如果两个数的和为0，那么这两个数互为相反数，该逆命题是真命题；
③两直线平行，内错角相等，该命题是真命题；
原命题的逆命题为：内错角相等，两直线平行，该逆命题是真命题；
故选：C．
10．A
【分析】本题考查了矩形的判定，角平分线的定义，平行四边形的判定，由甲同学的作业可知，，，得到平分，进而得到四个角都为直角，即可判断；由乙同学的作业可知，，得到四边形为平行四边形，又因为，即可判断，掌握相关性质是解题的关键．
【解答】解：由甲同学的作业可知，，，
∴平分，
又∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
由乙同学的作业可知，，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形为矩形，
综上，甲、乙两位同学的作业都符合题意，
故选：A．
11．B
【分析】本题考查了正方形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，先根据正方形的性质求出，再根据菱形的性质和勾股定理求出即可求解，掌握正方形和菱形的性质是解题的关键．
【解答】解：如图1，

当时，，
∴四边形是正方形，
又∵，
∴，
如图2，与的交点为，

当时，，
∴四边形是菱形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
故选：B．
12．D
【分析】本题考查了三角形全等的证明，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，熟练掌握勾股定理和三角形全等的判定定理是解题的关键．先证明，，再证明，可证明，从而可得结论．
【解答】解：∵，
∴，，
即．
，，
∴，
∵M为的中点．
∴，
∴求的长，只需求得n的值．
故选D
13．4
【分析】根据二次根式的性质进行解答即可．
【解答】解：．
故答案为：4．
【点拨】本题主要考查了二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质．
14．
【分析】本题考查了勾股数的定义，分 为直角边和斜边两种情况分类讨论，再由勾股数的定义得出答案即可，解题关键是掌握勾股数的定义是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数．
【解答】解：当为直角边时，，不是正整数，不符合题意，
当为斜边时，，是正整数，符合题意，
综上，若是一组勾股数，则的值为，
故答案为：．
15．
【分析】本题解题的关键是根据折叠以及菱形的性质发现特殊角，根据的直角三角形中各边之间的关系求得的长．根据折叠的性质结合菱形的性质可得，再根据含角的直角三角形的性质结合勾股定理与菱形的面积即可求得结果．
【解答】解：∵四边形为菱形，
∴，，
由折叠的性质可知，，
又，
∴，
∵矩形，
∴，，
∴，，
∵菱形的面积为，
∴；
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：
16．
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，连接，过点作于点，由矩形的性质得到，利用勾股定理求出，再求得，即可求解，灵活应用矩形的性质和勾股定理是解题的关键．
【解答】解：连接，过点作于点，如图：
∵形状、大小相同的两个矩形，
∴，，
∵，，，
∴，，
∴点为的中点，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，(即)，
∴，
设，则，
在中，，
即，
解得：，（舍去），
∴，
在中，，
∴，
故答案为：．
17．（1）；（2）
【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键；
（1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）先计算二次根式的乘法运算，再合并即可．
【解答】解：（1）
；
（2）
．
18．(1)
(2)过程见解析
【分析】本题考查的是分式的化简求值，二次根式的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键；
（1）先逆用分式的加减运算可得单项式的值；
（2）先计算括号内分式的减法运算，再计算除法运算，最后把代入计算即可．
【解答】（1）解：∵
，
∴；
（2）
，
当时，
原式；
19．(1)；
(2)；
(3)．
【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
（1）利用勾股定理，勾三股四弦五，可求出的值；
（2）利用勾股定理，可求出的值；
（3）利用直角三角形的性质，可求出的值，再利用面积法，可求出边上的高．
【解答】（1）解：设则
即
解得：
∴．
（2）解：∵
∴
解得：．
（3）解：∵
∴
∵
∴
解得：
∴边上的高．
20．(1)（1）①周长为，面积为；②是，证明见解析；
(2)画图见解析
【分析】本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，无理数的识别，化为最简二次根式，掌握勾股定理的逆定理是解本题的关键．
（1）①根据勾股定理求解边长，再求解周长即可，利用割补法求解面积即可；②连接，利用勾股定理的逆定理求解即可；
（2）先画图，再利用勾股定理的逆定理以及全等三角形的判定证明即可．
【解答】（1）解：①∵，
∴四边形的周长为，
四边形的面积为：；
②如图，连接，
∴，而，
∴，
∴；
（2）如图，即为所求，
理由：∵，，
∴，
∴，
∴为直角三角形，且三边都为无理数；
如图，即为所求，
∵，，，
∴，
∴，且三边都为无理数，与不全等．
21．(1)；
(2)变长了，理由见解析．
【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
（1）直接利用勾股定理即可求解；
（2）过点作于点，利用勾股定理求出的长即可比较判断．
【解答】（1）解：∵，，
∴，
∴的长为．
（2）解：过点作于点，如图：
∵，，，，
∴，
∴，
，
∵，
∵，
∴此时的长度比（1）中的长度变长了．
22．(1)，平行；
(2)证明过程见解答；
(3)平行四边形的对角线互相平分．
【分析】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
（1）根据题意补全已知和求证；
（2）证明得出，，同理，即可得证．
（3）交换原命题的条件和结论即可得到它的逆命题．
【解答】（1）解：已知：如图，在四边形中，，，
求证：四边形是平行四边形，
故答案为：，平行．
（2）证明：在与中，
，
，
，
，同理，
四边形是平行四边形．
（3）解：对角线互相平分的四边形是平行四边形的逆命题是：平行四边形的对角线互相平分，
故答案为：平行四边形的对角线互相平分．
23．(1)，；
(2)这个长方形的长、宽分别为米，米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米；
【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，二次根式的应用，理解题意是关键．
（1）直接利用（当且仅当时，），再计算即可；
（2）设垂直于墙的一边为xm，利用长方形的面积公式得到菜园的面积关于x的关系式，再利用求解即可；
【解答】（1）解：∵，，
∴，
当时，则，
解得：（舍去），
即当时，，
故答案为：，
（2）设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为米，
则，
∴，
∴所用篱笆的长为米，
，
∵当且仅当时，的值最小，最小值为，
此时，
∴或（舍去）．
∴，
∴这个长方形的长、宽分别为米，米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米；
24．证明过程见解答；①②都成立，理由见解答
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识，取，证明是解题的关键．
（1）根据点E为的中点，取的中点G，连接，证明可得答案；
（2）①作于Q，证明，再用勾股定理得出与的关系即可得出结论；
②取，连接，首先说明是等腰直角三角形，再证明，可得答案．
【解答】证明：取的中点G，连接．
点E为的中点，
，
点G为的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
①；
理由：
作于Q，
正方形外角的平分线为，
，
，
，
，
，
，
，
，
中，，
中，，
，
即；
②点E为线段上任意一点，其他条件不变，则结论仍成立．
证明：取，连接，
四边形是正方形，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
．
甲：
1．过点A作．垂足为D；
2．延长到N，作的角平分线；
3．过点C作，垂足为E四边形为矩形．
乙：
1．过点A作．垂足为D；
2．以A为圆心，长为半径画弧；以B为圆心，长为半径画弧；
3．两弧交于上方一点E．连接；四边形为矩形．
，
其中
解：原式