（8）平面解析几何——2024届高考数学考前模块强化练(含答案)

这是一份（8）平面解析几何——2024届高考数学考前模块强化练(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知过点和的直线与直线平行，则m的值为( )
A.B.0C.2D.10
2．圆关于直线对称的圆的方程为( )
A.B.
C.D.
3．如图,平面四边形ABCD中,,,.若A,B是椭圆和双曲线的两个公共焦点,C,D是与的两个交点,则与的离心率之积为( )
A.B.C.2D.3
4．已知双曲线C的方程为,则下列说法错误的是( )
A.双曲线C的实轴长为8
B.双曲线C的渐近线方程为
C.离心率为
D.双曲线C上的点到焦点距离的最小值为
5．直线与曲线有且仅有1个公共点,则b的取值范围是( )
A.B.或
C.D.或
6．已知点,,直线,点P在直线l上,则的最大值为( )
A.B.C.D.2
7．3D打印是快速成型技术的一种,通过逐层打印的方式来构造物体.如图所示的笔筒为3D打印的双曲线型笔筒,该笔筒是由离心率为3的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的,已知该笔筒的上底直径为6cm,下底直径为8cm,高为8cm（数据均以外壁即笔筒外侧表面计算）,则笔筒最细处的直径为( )
A.cmB.cmC.cmD.cm
8．已知点是双曲线上位于第一象限内的一点,,分别为C的左､右焦点,C的离心率和实轴长都为2,过点A的直线l交x轴于点,交y轴于点N,过作直线AM的垂线,垂足为H,则下列说法错误的是( )
A.C的方程为
B.点N的坐标为
C.OH的长度为1,其中O为坐标原点
D.四边形面积的最小值为
二、多项选择题
9．已知曲线,则以下说法正确的是( )
A.M可能是两条平行的直线
B.M既不可能是抛物线,也不可能是圆
C.M不可能是焦点在y轴上的双曲线
D.当时,M是一个焦点在y轴上的椭圆
10．某彗星的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆.测得轨道的近日点（距离太阳最近的点）与太阳中心的距离为,远日点(距离太阳最远的点)与太阳中心的距离为,并且近日点,远日点及太阳中心在同一条直线上,则( )
A.轨道的焦距为B.轨道的离心率为
C.轨道的短轴长为D.当越大时,轨道越扁
11．已知双曲线C的方程为,则下列说法正确的是( )
A.双曲线C的实轴长为6
B.双曲线C的渐近线方程为
C.双曲线C的焦点到渐近线的距离为4
D.双曲线C上的点到焦点距离的最小值为8
12．已知抛物线,过其准线上的点作E的两条切线,切点分别为B,C,则下列说法正确的是( )
A.抛物线E的方程为B.
C.直线BC的斜率为D.直线BC的方程为
三、填空题
13．已知圆,过直线上任意一点P,作圆的两条切线,切点分别为A, B两点,则的最小值为_________.
14．设,已知直线,过点作直线,且,则直线与之间距离的最大值是__________.
15．一动圆C与圆外切,同时与圆内切,则动圆C圆心的轨迹方程为______.
16．已知双曲线的右焦点为F,左、右顶点分别为,,轴于点F,且．当最大时,点P恰好在双曲线C上,则双曲线C的离心率为___________．
四、解答题
17．已知双曲线,其中离心率为,且过点,求
（1）双曲线C的标准方程;
（2）若直线l与双曲线C交于不同的两点M,N,且,证明:为定值.
18．在平面直角坐标系中,已知圆,圆N过原点O及点且与圆C外切.
(1)求圆N的标准方程;
(2)若过点A的直线l被两圆截得的弦长相等,求直线l的方程.
19．已知椭圆的右焦点与点连线的斜率为2,且点在椭圆C上(其中e为C的离心率).
（1）求椭圆C的标准方程.
（2）已知点,过点P的直线l与C交于A,B两点,直线DA,DB分别交C于M,N两点,试问直线MN的斜率是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
20．已知椭圆过点,,分别为椭圆C的左,右焦点,且．
（1）求椭圆C的标准方程;
（2）点M,N是椭圆C上与点P不重合的两点,且以MN为直径的圆过点P,若直线MN过定点,求出该定点;若不过定点,请说明理由．
参考答案
1．答案：A
解析：由直线可得：，所以直线的斜率等于，
因为过点和的直线与直线平行，
所以过点和的直线的斜率也是，
所以，解得：，
故选：A.
2．答案：A
解析：表示以为圆心,
以为半径的圆.设关于直线对称的点为,
则有解得：,,
故所求圆的方程为,
故选：A.
3．答案：C
解析：由题意知四边形ABCD为等腰梯形,如图,连接BD,过点D作,垂足为E,
则,所以.在中,,所以与的离心率之积为.故选C.
4．答案：D
解析：因为双曲线C的方程为,为焦点x轴上的双曲线,
所以,,,
所以曲线C的实轴长为,渐近线方程为,离心率为,
双曲线C上的点到异支焦点的距离最小值为,双曲线C上的点到同支焦点的距离最小值为,
故双曲线C上的点到焦点距离的最小值为,故A,B,C正确,D错误,
故选:D.
5．答案：B
解析：曲线,即,表示以为圆心,
半径等于1的半圆(位于y轴及y轴右侧的部分),如图,
当直线经过点时,;当直线经过点时,;
当直线和半圆相切时,由圆心到直线的距离等于半径,可得,
求得(舍去),或,
综上可得,,或,
故选:B.
6．答案：C
解析：如图,作出点B关于直线l的对称点,连接延长交直线l于点P,此时点P使取得最大值.
(原因如下:根据点关于直线的对称图形特征,知,此时,
在直线l上另取点,连接,,,则,)
不妨设点,则有:解得:即,
故.
故选:C.
7．答案：C
解析：该塔筒的轴截面如图所示,以C为笔筒对应双曲线的实轴端点,
以OC所在直线为x轴,过点O且与OC垂直的直线为y轴,
建立平面直角坐标系,设A与B分别为上,下底面对应点.
由题意可知,,,设,则,
设双曲线的方程为,因为双曲线的离心率为,
所以,所以方程可化简为,
将A和B的坐标代入式可得,解得,
则笔筒最细处的直径为.
故选：C.
8．答案：B
解析：对于A,因为,解得,
所以其方程为,故A正确;
对于B,,所以AM的方程为,
所以令得直线l交y轴于点,故B错误;
对于C,直线的方程为,与直线AM的方程联立解得,
所以,故C正确;
对于D,四边形的面积为,当且仅当时等号成立,故D正确.
故选：B.
9．答案：AB
解析：A项：当即时,,为两条平行直线,正确．
B项：若M是圆,则,无解,
由于无一次项,故不可能是抛物线,正确;
C项：由,,为双曲线时,此时焦点只能在y轴上,错误;
D项：若M是焦点在y轴上的椭圆,则无解,错误．
10．答案：BC
解析:由,解得,,
则轨道的焦距为,离心率为,轨道的短轴长为.
又,则越大时,离心率越小,则轨道越圆.
11．答案：AC
解析：由双曲线,可得,,则,
对于A中,双曲线C的实轴长为,所以A正确;
对于B中,双曲线的渐近线方程为,所以B不正确;
对于C中,设双曲线C的右焦点,不妨设一条渐近线方程为,即,
可得焦点到渐近线的距离为,所以C正确;
对于D中,根据双曲线的性质,可得双曲线上的点到焦点的最短距离为,所以D错误.
故选：AC.
12．答案：BCD
解析：因为在准线上,所以准线方程为,
所以,抛物线E的方程为,故A错误;
设直线,代入,得,
当直线与E相切时,,即,
设AB,AC的斜率分别为,易知,是上述方程的两根,故,
所以,故B正确;
设,,则,分别是方程,的根,
所以,所以,故C正确;
,,,
所以BC的中点为,直线BC的方程为,即,故D正确.
故选：BCD.
13．答案：
解析：由题知圆的圆心为 , 半径为 1 , 如图所示
，，
当取最小值时,取最小值,此时,,则.
14．答案：5
解析：由于直线,整理得：,
故解得即直线恒过点;则过点作直线,
且,则最大距离.
15．答案：
解析：设动圆C的圆心,半径为r,
又由圆得,圆心,半径,
由圆得,圆心,半径,
由已知得,两式相加消去可得,
根据椭圆定义可得动圆C圆心的轨迹为以,为焦点的椭圆,设为
其中,,
所以,
所以动圆C圆心的轨迹方程为.
故答案为:.
16．答案：
解析：如图：
因为轴,且P在双曲线上,所以,
又,所以Q为中点.
因为最大,所以经过,两点的圆与相切于Q,此时Q点坐标为,
圆心,
由
.
故答案为：.
17．答案：（1）;
（2）证明见解析.
解析：（1）由题设,可得,故双曲线的标准方程为;
（2）由题设及双曲线渐近线,令直线且,则直线,
则,可得,即,故,
所以,
同理可得,故,所以,
所以为定值.
18．答案：（1）
（2）或
解析：（1）由题意知,圆N的圆心N在直线上,设,半径为,
因为圆N与圆C外切,且圆C的圆心,半径为,
所以,即①,
又,即②,由①得,,代入②得,,
解得或(舍),所以,故所求圆N的标准方程为.
（2）当l的斜率不存在时,l的方程为：,与圆相离,不符合题意.
当l的斜率存在时,设为k,故l的方程为,
则圆心C到直线l的距离为：;圆心N到直线l的距离为：,
因为圆的弦长一半与圆心到弦的距离的平方和等于圆的半径的平方,
又l被两圆截得的弦长相等,所以,即,
解得或,故直线l的方程为或.
19．答案：（1）
（2）直线MN的斜率为定值,且定值为
解析：（1）由题意可得解得,
（2）由题意可知直线l的斜率不为0,设直线l的方程为,,,,,
则直线DA的方程为.
联立整理得
则,即.
代入,得.
同理可得,.
因为1
所以直线MN的斜率为定值,且定值为.
20．答案：（1）
（2）直线MN过定点,该定点坐标为
解析：（1）由椭圆定义可知:,解得,
将代入椭圆方程得,解得,
故椭圆C的标准方程为;
（2）当直线MN的斜率不存在时,设,则,
因为以MN为直径的圆过点,
则,
因为,故,解得或,
因为M,N是椭圆C上与点P不重合的两点,所以,故,
故此时直线MN的方程为,
当直线MN的斜率存在时,设方程为,
与联立后,得到,
设,,则,,
其中,
,
则,
即,
整理得,即,
解得或,
当时,,即,此时直线MN过定点,
此时与点P重合,不合要求,
当时,,即,
此时直线MN过定点,
显然当直线MN的斜率不存在,直线也过定点,满足要求,
综上,直线MN过定点,该定点坐标为.