（9）计数原理与概率统计——2024届高考数学考前模块强化练(含答案)

这是一份（9）计数原理与概率统计——2024届高考数学考前模块强化练(含答案)，共12页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．某中学的高中部共有男生1200人,其中高一年级有男生300人,高二年级有男生400人．现按分层抽样抽出36名男生去参加体能测试,则高三年级被抽到的男生人数为( )
A.9B. 12C. 15D. 18
2．某校举办了迎新年知识竞赛,将100人的成绩整理后画出的频率分布直方图如下,则根据频率分布直方图,下列结论不正确的是( )
A.中位数70B.众数75C.平均数68.5D.平均数70
3．在中国地图上，西部五省（甘肃、四川、青海、新疆、西藏）如图所示，有四种颜色供选择，要求每省涂一色，相邻省不同色，则不同的涂色方法有( )种.
A.48B.72C.96D.120
4．的展开式中的系数为( )
A.B.C.40D.80
5．某单位选派一支代表队参加市里的辩论比赛,现有“初心”“使命”两支预备队.选哪支队是随机的,其中选“初心”队获胜的概率为0.8,选“使命”队荻胜的概率为0.7,单位在比赛中获胜的条件下,选“使命”队参加比赛的概率为( )
A.B.C.D.
6．投资甲、乙两种股票，每股收益（单位：元）分别如下表：
则下列说法正确的是( )
A.投资甲种股票期望收益大B.投资乙种股票期望收益大
C.投资甲种股票的风险更高D.投资乙种股票的风险更高
7．在的展开式中,x的系数为( )
A.-50B.-35C.-24D.-10
8．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”,主要指德育;“乐”,主要指美育;“射”和“御”,就是体育和劳动;“书”,指各种历史文化知识;“数”,数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动,每艺安排一节,连排六节,一天课程讲座排课有如下要求：“乐”不排在第一节,“射”和“御”两门课程不相邻,则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有_______种( ).
A.408B.120C.156D.240
二、多项选择题
9．某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进.部分芯片由智能检测系统进行筛选,其中部分次品芯片会被淘汰,筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验.记A表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”,B表示事件“某芯片经人工抽检后合格”.改进生产工艺后,该款芯片的某项质量指标服从正态分布,现从中随机抽取M个,这M个芯片中恰有m个的质量指标位于区间,则下列说法正确的是( )(若,则,)
A.
B.
C.
D.取得最大值时,M的估计值为53
10．下列结论正确的是( )
A.若,则
B.若,则
C.在的展开式中,含的项的系数是220
D.的展开式中,第4项和第5项的二项式系数最大
11．用数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的四位数,则下列说法正确的是( )
A.可组成360个不重复的四位数
B.可组成156个不重复的四位偶数
C.可组成96个能被3整除的不重复四位数
D.若将组成的不重复的四位数按从小到大的顺序排成一个数列,则第85个数字为2310
12．甲盒中有3个红球,2个白球;乙盒中有2个红球,3个白球.先从甲盒中随机取出一球放入乙盒,用事件A表示“从甲盒中取出的是红球”,用事件B表示“从甲盒中取出的是白球”;再从乙盒中随机取出一球,用事件C表示“从乙盒中取出的是红球”,则( )
A.事件A与事件B是对立事件B.事件B与事件C是独立事件
C.D.
三、填空题
13．二项式展开式中常数项为____________.
14．甲、乙两人下象棋，已知甲获胜的概率是，平局的概率是，则乙获胜的概率是_________.
15．“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图所示，它是由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现用4种不同的颜色（4种颜色全部使用）给这5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，每个区域只涂一种颜色，则不同的涂色方案有______种.
16．某病毒会造成“持续的人传人”,即存在A传B,B又传C,C又传D的传染现象,那么A,B, C就被称为第一代、第二代、第三代传播者．假设一个身体健康的人被第一代、第二代、第三代传播者感染的概率分别为0.9,0.8,0.6．已知健康的小明参加了一次多人宴会,参加宴会的人中有5名第一代传播者,3名第二代传播者,2名第三代传播者,若小明参加宴会仅和感染的10个人中的一个有所接触,则被感染的概率为____________．
四、解答题
17．（1）二项式展开式中所有二项式系数和为64,求其展开式中含项的系数．
（2）已知．分别求和的值．
18．一个口袋内有3个红球，4个白球.
（1）从中任取3个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？
（2）若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取4个球，使总分不少于6分的取法有多少种？
19．某学校参加某项竞赛仅有一个名额,结合平时训练成绩,甲、乙两名学生进入最后选拔,学校为此设计了如下选拔方案：设计6道题进行测试,若这6道题中,甲能正确解答其中的4道,乙能正确解答每个题目的概率均为,假设甲、乙两名学生解答每道测试题都相互独立、互不影响,现甲、乙从这6道测试题中分别随机抽取3题进行解答
（1）求甲、乙共答对2道题目的概率;
（2）设甲答对题数为随机变量X,求X的分布列、数学期望和方差;
（3）从数学期望和方差的角度分析,应选拔哪个学生代表学校参加竞赛？
20．猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名，该游戏中有A，B，C三首歌曲.嘉宾甲参加猜歌名游戏，需从三首歌曲中各随机选一首，自主选择猜歌顺序，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，并且获得本歌曲对应的奖励基金.假设甲猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲的概率及猜对时获得相应的奖励基金如下表：
（1）求甲按“A，B，C”的顺序猜歌名，至少猜对两首歌名的概率；
（2）甲决定按“A，B，C”或者“C，B，A”两种顺序猜歌名，请你计算两种猜歌顺序嘉宾甲获得奖励基金的期望；为了得到更多的奖励基金，请你给出合理的选择建议，并说明理由.
参考答案
1．答案：C
解析：高三年级被抽到的男生人数为.
故选：C.
2．答案：D
解析：的频率为
因为最高小矩形的中点横坐标为,显然众数是75,故B正确;
的频率是0.1,的频率是0.15,的频率是0.25,其频率和为0.5,所以中位数为70,故A正确;
平均数,所以C正确.
故选：D.
3．答案：B
解析：先进行编号：新疆A、甘肃B、青海C、西藏D、四川E，
按的顺序进行涂色，其中B、D颜色可以相同或不相同，
所以不同的涂色方法数有种.
故选：B.
4．答案：B
解析：因为,
故可以来自5个因式的2个因式提供x,余下3个因式提供,
或者5个因式的3个因式提供x,余下1个因式提供,一个因式提供,
故的系数为,
故选:B.
5．答案：D
解析：依题意,记选“初心”队为事件A,选“使命”队为事件B,该单位获胜为事件M,则,,.所以.故选D.
6．答案：C
解析：投资甲种股票收益的期望，.
投资乙种股票收益的期望，，故，.
故投资甲、乙两种股票的期望收益相等，投资甲种股票比投资乙种股票的风险高.
7．答案：A
解析：的展开式中,含x的项是4个因式中任取1个因式选择x,
另外3个因式中选择常数项相乘积的和,则的展开式中,
含x的项为,
所以x的系数为-50.
故选：A.
8．答案：A
解析：根据题意,首先不做任何考虑直接全排列则有（种）,
当“乐”排在第一节有（种）,
当“射”和“御”两门课程相邻时有（种）,
当“乐”排在第一节,且“射”和“御”两门课程相邻时有（种）,
则满足“乐”不排在第一节,“射”和“御”两门课程不相邻的排法有（种）,
故选：A.
9．答案：ACD
解析：直接利用题意判断A;利用条件概率,全概率公式等进行转化判断B;利用正态分布的性质判断C;设,由函数的单调性判断D.
10．答案：BC
解析:若 QUOTE C10m=C103m-2 C10m=C103m-2,则 QUOTE m=3m-2 m=3m-2或 QUOTE m+3m-2=10 m+3m-2=10,解得 QUOTE m=1 m=1或 QUOTE m=3 m=3,故A错误;若 QUOTE An+12-An2=12 An+12-An2=12,则 QUOTE (n+1)n-n(n-1)=12 (n+1)n-n(n-1)=12,求得,故B正确;在 QUOTE (1+x)2+(1+x)3 (1+x)2+(1+x)3 QUOTE +(1+x)4+⋯+(1+x)11 +(1+x)4+⋯+(1+x)11的展开式中,含 QUOTE x2 x2的项的系数是 QUOTE C22+C32+ C22+C32+ QUOTE C42+⋯+C112=220 C42+⋯+C112=220,故C正确;在 QUOTE (x-1)8 (x-1)8的展开式中,第4项的二项式系数为,第5项的二项式系数为 QUOTE C84 C84,故只有第5项的二项式系数最大,故D错误.
11．答案：BC
解析：A选项,有个,错,
B选项,分为两类：在末位,则有种,不在末位,则有种,
共有种,对,
C选项,先把四个相加能被整除的四个数从小到大列举出来,
即先选：,、、、,
它们排列出来的数一定可以被整除,共有：种,对,
D选项,首位为的有个,前两位为20的有个,前两位为21的有个,此时共有个,
因而第85个数字是前两位为23的最小数,即为2301,错,
故选：BC.
12．答案：AD
解析：对于A:事件BCD与事件B不能同时发生,且没有其他的可能结果,事件A与事件B是对立事件,故A正确;
对于B:事件B发生与否与事件C有关,事件B与事件C不是相互独立事件,故B错误;
对于C:,故C错误;
对于D:,,
所以,故D正确.
故选:AD.
13．答案：28
解析：的展开式的通项公式为
,
令,解得,故的展开式中常数项为.
14．答案：
解析：设事件A表示“乙获胜”，则，则.
15．答案：48
解析：由题意，分2步进行，第一步，对于区域①②⑤两两相邻，有种涂色方法，
第二步，对于区域③④必须有1个区域选剩下的1种颜色，有2种选法，选好后，剩下的区域有1种选法，则有2种涂色方法，
所以共有种涂色方法，
故答案为：48.
16．答案：0.81
解析：设事件“小明与第一代传播者接触”,
事件“小明与第二代传播者接触”,
事件“小明与第三代传播者接触”,
事件“小明被感染”,
则,,,
,,,
所以,
所以所求概率为0.81．
故答案为：0.81.
17．答案：（1）;
（2）,
解析：（1）由题意得,解得,
故展开式的通项公式为,
令得,,
故,故其展开式中含项的系数为;
（2）中,
令得,
令得,①
令得,②
②+①得,
又,故,
的展开式通项公式为,
当得,令得,
故中含的项为,
所以.
18．答案：（1）13
（2）22
解析：（1）有2种取法：3个红球，2个红球和1个白球.
当取3个红球时，取法有1种；
当取2个红球和1个白球时，取法有种.
根据分类计数原理知，共有种取法.
（2）有2种取法：2个红球和2个白球，3个红球和1个白球.
当取2个红球和2个白球时，取法有种；
当取3个红球和1个白球时，取法有种.
根据分类计数原理知，共有种取法.
19．答案：（1）
（2）答案见解析
（3）应选拔甲学生代表学校参加竞赛
解析：（1）由题意得甲、乙两名学生共答对2个问题的概率：
．
（2）设学生甲答对的题数为X,则X的所有可能取值为1,2,3．
,,．
X的分布列为：
所以,．
（3）设学生乙答对的题数为Y,则Y的所有可能取值为0,1,2,3．则．
所以,．
因为,,即甲、乙答对的题目数一样,但甲较稳定,
所以应选拔甲学生代表学校参加竞赛．
20．答案：（1）0.4
（2）期望都是2200，按照“A，B，C”的顺序猜歌名，理由见解析.
解析：（1）由题意可知甲按“A，B，C”的顺序猜歌名，至少猜对两首歌名分两种情况：猜对A，B；猜对A，B，C，这两种情况不会同时发生.
设“甲按“A，B，C”的顺序猜歌名至少猜对两首歌名”为事件E，
由甲猜对每首歌曲的歌名相互独立可得
.
（2）甲决定按“A，B，C”顺序猜歌名，获得的奖金数记为X，
则X的所有可能取值为0,1000,3000,6000，
，
，
，
，
所以；
甲决定按“C，B，A”顺序猜歌名，获得的奖金数记为Y，
则Y的所有可能取值为0,3000,5000,6000，
，
，
，
，
所以.
参考答案一：由于，
由于，所以应该按照“A，B，C”的顺序猜歌名.
参考答案二：甲按“C，B，A”的顺序猜歌名时，获得0元的概率为0.5，大于按照“A，B，C”的顺序猜歌名时获得0元的概率0.2，所以应该按照“A，B，C”的顺序猜歌名.
甲种股票收益分布列
乙种股票收益分布列
收益
-1
0
2
收益
0
1
2
概率
0.1
0.3
0.6
概率
0.2
0.5
0.3
歌曲
A
B
C
猜对的概率
0.8
0.5
0.5
获得的奖励基金金额/元
1000
2000
3000
X
1
2
3
P