安徽省皖江名校联盟2024届高三下学期4月二模试题 数学

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数 学
本试卷共4页，19题。全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数，则的共轭复数（ ）
A．B．C．D．
2．已知集合，，，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．已知是直线，，是两个不同的平面，下列正确的命题是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
4．已知数列的前项和为，等比数列满足，，若，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知的展开式二项式系数和为256，则展开式中系数最大的项为（ ）
A．第5项B．第6项C．第7项D．第8项
6．已知函数（且）有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．已知的内角，，对边分别为，，，满足，若，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数满足，当时，，则（ ）
A．为奇函数B．若，则
C．若，则D．若，则
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。
9．已知函数（，）的部分图象如图，则（ ）
A．B．函数的图象关于轴对称
C．函数在上单调递减D．函数在有4个极值点
10．已知双曲线：（，）左右焦点分别为，，。经过的直线与的左右两支分别交于，，且为等边三角形，则（ ）
A．双曲线的方程为
B．的面积为
C．以为直径的圆与以实轴为直径的圆相交
D．以为直径的圆与以实轴为直径的圆相切
11．已知正方体的棱长为1，，分别为棱，上的动点，则（ ）
A．四面体的体积为定值B．四面体的体积为定值
C．四面体的体积最大值为D．四面体的体积最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．一组样本10，16，20，12，35，14，30，24，40，43的第80百分位数是________．
13．已知抛物线的焦点，直线过与抛物线交于，两点，若，则直线的方程为________，的面积为________（为坐标原点）．
14．已知函数，当时的最大值与最小值的和为________．
四、解答题：共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
已知函数．
（1）求函数在点处的切线方程；
（2）求的单调区间和极值．
16．（15分）
为发展体育运动增强学生体质，甲乙两班各选3名同学进行乒乓球单打比赛，3场比赛每人参加一场比赛，各场比赛互不影响，每场比赛胜者本班获得相应积分，负者班级积分为0。据统计可知甲班3名参赛学生的情况如下表：
（1）求甲班至少获胜2场的概率；
（2）记甲班获得积分为，求的分布列与数学期望．
17．（15分）
将正方形绕直线逆时针旋转，使得到的位置，得到如图所示的几何体．
（1）求证：平面平面；
（2）点为上一点，若二面角的余弦值为，求．
18．（17分）
已知点在椭圆：的外部，过点作的两条切线，切点分别为，．
（1）①若点坐标为，求证：直线的方程为；
②若点的坐标为，求证：直线的方程为；
（2）若点在圆上，求面积的最大值．
19．（17分）
在平面直角坐标系中，利用公式①（其中，，，为常数），将点变换为点的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由，，，组成的正方形数表唯一确定，我们将称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母，，…表示．
（1）在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针旋转得到点（到原点距离不变），求点的坐标；
（2）如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针旋转角得到点（到原点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵；
（3）向量（称为行向量形式），也可以写成，这种形式的向量称为列向量，线性变换坐标公式①可以表示为：，则称是二阶矩阵与向量的乘积，设是一个二阶矩阵，，是平面上的任意两个向量，求证：．
数学参考答案
1．【解析】，故，故选D．
2．【解析】由已知，所以，又，所以，故选C．
3．【解析】选D．
4．【解析】由已知，时，，，，，故，，故选A．
5．【解析】由已知，故，故通项为（，1，…，8），故奇数项的系数为正数，偶数项的系数为负数，由，解得．所以选C．
6．【解析】问题等价于函数的图像与直线，有两个公共点，当时，由图象得，故；当时，由图象得，不符合条件．所以选A．
7．【解析】由已知得，故，所以，由，得，面积的最大值为，故选C．
8．【解析】令，，则；令，，则．令，得，故为偶函数．任取，，，则，
则，故在上为减函数．由已知，可得，故，解得，且．若，则，故选C．
9．【解析】由图可知的周期为：，又，所以；
由，，且，所以；
由，所以，故A错误；所以
因为为偶函数，B正确；
，则，故在上单调递增，C错误；
因为，，，，故D正确。所以选BD。
10．【解析】由已知得，由双曲线定义知：，，故，，
在中，由余弦定理得：，
解得：，所以，方程为，A错误。
的面积为，B正确。
取的中点，，两圆内切，故C错误。
取的中点，则，两圆外切，故D正确。
11．【解析】因为的面积为，到平面的距离不是定值，故A错误；
因为的面积为，到平面的距离为，体积为，故B正确；
因为的最大值为，到平面的最大距离为，
故四面体的体积最大值为，故C正确。
过点作，，，
设，，则，，
，，，，
故四面体的体积为，其最大值为，故D正确．
12．【答案】37.5【解析】从小到大排序为：10，12，14，16，20，24，30，35，40，43；，故第80百分位数是37.5．
13．【答案】，【解析】由已知得抛物线的方程为，所以，
直线的方程为，与联立整理得，
故，，故的面积为．
14．【答案】【解析】，
当时，，递增；当时，，递减；
，，，
故最大值与最小值的和为：．
15．【解析】（1）由已知，
所以，解得，故，
所求切线方程为：，即
（2）由已知函数，定义域为
，
由，解得或
随的变化和的变化如下
函数单调递增区间为和，单调递减区间为
当时，取得极大值，
当时，取得极小值
16．【解析】（1）记，，参赛获胜事件分别记为，，表示，参赛失败分别记为，，，
所以，，，，，
则甲班至少获胜2场事件记为，则
所以甲班至少获胜2场的概率为0.656
（2）由已知取值为0，4，5，6，9，10，11，15，
，，
，，
，，
，，
所以
17．【解析】（1）由已知得平面平面，，所以平面
因为平面，故
因为是正方形，所以
，平面，，平面
又平面，所以平面平面。
（2）又（1）知：，，两两垂直，
以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系如图。
设，，
则，，，，
故，，
设平面的法向量为，则，
故，取，则，
所以
设平面的法向量为，，
故，取，则，
所以
所以，
由已知得
化简得：，解得或（舍去）
故，即
18．【解析】（1）①当斜率存在时，，设方程为：
与：联立整理得：，
由已知得：
化简得：
因为，则，
即，所以
方程为：，即，
故直线的方程为
当斜率不存在时，，直线的方程为或满足上式。
所以直线的方程为
②由①知，设点坐标为，则直线的方程为
由点的坐标为，则，，
故直线的方程为
（2）由（1）知直线的方程为，由题意知，
与：联立整理得：
因为，所以
因为，，则，
所以
点到直线的距离为：
所以面积
当时，令，所以，
故在单调递增，所以的最大值为
由对称性可知面积的最大值为
19．【解析】（1）可求得，设，则，，
设点，，
故
所以
（2）设，，则，，，
故
所以坐标变换公式为
该变换所对应的二阶矩阵为
（3）设矩阵，向量，，则．
，
对应变换公式为：
，
所以
故对应变换公式同样为
所以
学生
获胜概率
0.4
0.6
0.8
获胜积分
6
5
4
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
D
C
D
A
C
A
C
C
BD
BD
BCD
2
3
＋
0
－
0
＋
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增