湖北省武汉市5G联合体2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

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考试时间：2024年4月28日 试卷满分：150分
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.如果a,b是两个单位向量,那么下列四个结论中正确的是
A.a=b
B.a⋅b=0
C.a2=b2
D.a≠b
2.复数m3+i−1+i在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是
A.13B.23C.23D.m>1
3.已知a=0,1,b=1,a+b=3,则a与b的夹角为
A.π3
B.2π3
c.π6
D.5π6
4.已知角α0∘<α<360∘终边上A点坐标为sin320∘,cs320∘,则α=
A.230∘
B.220∘
C.140∘
D.130∘
5.若在三角形ABC中,AC=2DC,CB=3BE,则DE=
A.−43AB+56AC
B.43AB−56AC
c.−43AB−56AC
D.43AB+56AC
6.已知函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,φ<π2的部分图象如图所示,则下列结论错误的是
A.函数的解析式可以为fx=2sin2x+π3
B.函数y=fx的图像关于直线x=7π12对称
C.函数fx在−2π3,−π6上单调递减
D.函数y=fx的图像关于点−π6,0对称
7.已知P为棱长为6的正四面体A−BCD各面所围成的区域内部(不在表面上)一动点,记P到面ABC,面ACD,面BCD,面ABD的距离分别为h1,h2,h3,h4,若h3+h4=1,则12h1+4h2的最小值为
A.2
B.252
c.9+422
D.12+42
8.在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c, S为△ABC的面积,a=4,且2S=a2−b−c2,则△ABC的周长的取值范围是
A.(8,45+4]
B.(12,25+2]
C.(8,25+2]
D.(12,45+4]
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.下列等式成立的是
A.sin26∘−cs26∘=cs12∘
B.sin600∘=−32
C.sin6∘−cs6∘=−2sin39∘
D.3−tan15∘1+3tan15∘=33
10.在平面直角坐标系中,设OA=a,OB=b,OC=c且a为单位向量,满足a⋅b=2,a⋅c=12,则下列结论正确的有
A.a=1
B.c在a上的投影向量为12a
C.向量b−a与a的夹角正切值最大为24
D.若向量b−a与c−a垂直,则b−2a+c≥32
11.如图,正方形ABCD的边长为2,E是BC中点,如图,点P是以AB为直径的半圆上任意点;AP=λAE+μAD,则下列结论正确的有
A.λ最大值为1
B.μ最大值为1
C.AP⋅AD最大值是2
D.AP⋅AE最大值是5+2
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.如图是一座山的示意图,山呈圆锥形,圆锥的底面半径为1公里,母线长为4公里,B是母线SA一点,且AB=1公里,为了发展旅游业,要建设一条最短的从A绕山一周到B的观光铁路,则这段铁路的长度为 公里.
13.若sinθ−π6=35,则cs2θ+8π3= .
14.英国数学家泰勒发现了如下公式:
sinx=x−x33!+x55!−x77!+⋯csx=1−x22!+x44!−x66!+⋯
其中n!=1×2×3×4×⋯×n
(1)cs1= (1分)
（2）已知在△ABC中,A=2,边BC=2,则△ABC面积的最大值为 (4分)
(以上两空均用小数作答,且精确到0.001)
四、解答题:本题共5小题,共77分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)知复数z1=5+10i,复数z2在复平面内对应的点为Z3,−4
(1)若复数z2是关于x的方程x2+mx+n−1=0的一个根,m、n∈R,求m+n的值:
(2)若复数z满足1z=1z1+1z2,求复数z的共轭复数z.
16.（15分）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图,如图所示.已知A′B′=4,B′C′=2,A′D′=52,且A′D′//B′C′.
(1)在平面直角坐标系中作出原平面图形ABCD并求面积;
(2)将原平面图形ABCD绕BC旋转一周,求所形成的几何体的表面积和体积.
17.(15分)已知向量a=23,sinωx,b=cs2ωx,2csωx,函数fx=a⋅bω>0,函数fx图像相邻对称轴之间的距离为π2.
(1)求fx的单调递减区间;
(2)将函数fx图象上所有点的横坐标缩短为原来的12,再向左平移π12个单位得gx的图象,若关于x的方程gx=m在−π12,π6上只有一个解,求实数m的取值范围.
18.(17分)已知△ABC的内角A,B,C的对边为a,b,c,且a−bc=3sinC−2sinB3sinA+sinB.
(1)求tanA;
(2)若△ABC的面积为832;
(1)E为BC的中点,求△ABC底边BC上中线AE长的最小值;
(2)求内角A的角平分线AD长的最大值.
19.(17分)如图,设△ABC中角A、 B、C所对的边分别为a,b,c,AD为BC边上的中线,c=2,2asinCcsB=asinA−bsinB+14csinB,cs∠BAD=217
(1)求b边的长度;
(2)求△ABC的面积;
(3)设点E,F分别为边AB,AC上的动点(含端点),线段EF交AD于G,且△AEF的面积为△ABC面积的13,求AG⋅EF的取值范围.