2024北京丰台区高一下学期4月期中考试数学（B卷）含答案

这是一份2024北京丰台区高一下学期4月期中考试数学（B卷）含答案，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第I卷（选择题 共40分）
一、选择题：本部分共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出最符合题意的一项．
1．已知是两个单位向量，则下列四个结论正确的是
2．已知向量满足，则
3．已知向量满足，且，则
4．各棱长均为的三棱锥的表面积为
如图，在复平面内，复数，对应的点分别为，，
则复数的虚部为
6．若某圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则它的体积为
7．在△中，角的对边的长度分别为a，b，c，若，则等于
8．在△中，若，则△一定是
9．设是非零向量，则“”是“”的
10．我国古代数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，后人称为
“赵爽弦图”．他用数形结合的方法给出了勾股定理的证明，
极富创新意识．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中
间的小正方形拼成的一个大正方形．如图，若大正方形的面积
是25，小正方形的面积是1，则
第Ⅱ卷（非选择题共110分）
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分.
11．复数=__________．
12．已知单位向量满足，则向量与向量的夹角的大小为__________．
13．体积为的球的表面积是 ．
14．在梯形中，，，为中点，若，则=__________．
15．已知非零向量，，其中是一组不共线的向量．能使得与的方向相反的一组实数x，y的值为x=________，y=__________．
三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16．（本小题共14分）
复数．
（ = 1 \* ROMAN I）若复数z是实数，求实数m的值；
（ = 2 \* ROMAN II）若复数z是纯虚数，求实数m的值；
（ = 3 \* ROMAN III）在复平面内，复数z对应的点位于第三象限，求实数m的取值范围．
17．（本小题共14分）
已知向量．
（ = 1 \* ROMAN I）求和的值；
（ = 2 \* ROMAN II）若向量与互相垂直，求的值．
18．（本小题共13分）
已知向量满足：，，夹角为．
（ = 1 \* ROMAN I）求；
（ = 2 \* ROMAN II）求；
（ = 3 \* ROMAN III）若与方向相同的单位向量为，直接写出在上的投影向量．
19．（本小题共14分）
在△中，，，．
（ = 1 \* ROMAN I）求△的面积；
（ = 2 \* ROMAN II）求c及sinA的值．
20．（本小题共15分）
在△中，，．
（ = 1 \* ROMAN I）求；
（ = 2 \* ROMAN II）在下列三个条件中选择一个作为已知，使△存在且唯一确定，并求出边上的中线的长度．
条件①：；条件②：△的周长为；条件③：△的面积为．
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
21．（本小题共15分）
对于任意实数a，b，c，d，引入记号表示算式，即=，
称记号为二阶行列式．是上述行列式的展开式，其计算的结果叫做行列式的值．
（ = 1 \* ROMAN I）求下列行列式的值：
①； ②；
（ = 2 \* ROMAN II）求证：向量与向量共线的充要条件是；
（ = 3 \* ROMAN III）讨论关于x，y的二元一次方程组（）有唯一解的条件，并求出解．（结果用二阶行列式的记号表示）．
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）A．
B．
C．
A．
B．0
C．
D．7
A．12
B．
C． 4
D．2
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．或
D．或
A．等腰直角三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．等边三角形
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A．9
B．12
C．15
D．16
丰台区2023-2024学年度第二学期期中练习
高一数学（B）卷 参考答案
选择题
二、填空题
11． 12． 13． 14． 15．（不唯一）；1
三、解答题
16．解：（ = 1 \* ROMAN I）因为复数是实数，
所以， ……………………………2分
解得或； ……………………………4分
（ = 2 \* ROMAN II）因为复数是纯虚数
所以， ……………………………8分
所以，
解得； ……………………………9分
（ = 3 \* ROMAN III）因为复数对应的点位于第三象限，
所以， ……………………………13分
所以，
解得m的取值范围是． ……………………………14分
17．解：（ = 1 \* ROMAN I） ……………………………4分
； ……………………………8分
（ = 2 \* ROMAN II），……………………………10分
因为向量与互相垂直，
所以， ……………………………12分
所以，
解得． ……………………………14分
18．解：（ = 1 \* ROMAN I） ……………………………4分
（ = 2 \* ROMAN II） ……………………………7分
……………………………10分
（ = 3 \* ROMAN III）． ……………………………13分
19．（ = 1 \* ROMAN I）在△中，，，
因为，可知， ……………………………3分
所以． ……………………………6分
（ = 2 \* ROMAN II）在△中，由余弦定理，
可得，
又，所以解得， ……………………………10分
由（ = 1 \* ROMAN I）可知，
所以由正弦定理，可得，即，
解得． ……………………………14分
解：（Ⅰ）在△中，因为，又，
所以． ……………………………2分
因为，所以． ……………………………4分
因为，所以． ……………………………6分
（Ⅱ）选择条件①不符合要求，得0分；
选择条件②：因为△中，，，，
所以，即△为等腰三角形，其中．……………………………9分
因为，所以．
所以． ……………………………12分
设点D为线段AC的中点，在△中，．
因为△中，
，
所以，即边上的中线的长度为． ……………………………15分
选择条件③：因为△中，，，，
所以，即△为等腰三角形，其中．……………………………9分
因为△的面积为，即，
所以． ……………………………12分
设点D为线段AC的中点，在△中，．
因为△中，
，
所以，即边上的中线的长度为． …………………15分
21. 解：（ = 1 \* ROMAN I）①；②. …………………4分
（ = 2 \* ROMAN II）证明：若向量与向量共线，则：
当时，有，即，
当时，有，即，
所以必要性得证 ． …………………7分
反之，若，即，
当c，d不全为0时，即时，
不妨设，则，所以，
因为，所以，
所以，与共线，
当且时，，所以与共线，
充分性得证.
综上，向量与向量共线的充要条件是.
…………………10分
（ = 3 \* ROMAN III）用和分别乘上面两个方程两端，然后两个方程相减，
消去y得：，①
同理，消去x，得：，② …………………12分
所以当时，即时，由①②得：
，，
所以当时，关于x，y的二元一次方程组（）
有唯一解，且，. …………………15分题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
B
C
D
A
A
B
A
B