2024湖北省荆荆襄宜四地七校高一下学期期中联考数学试题含答案

这是一份2024湖北省荆荆襄宜四地七校高一下学期期中联考数学试题含答案，共10页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答，已知函数其中且，已知，，且，则的取值范围是等内容，欢迎下载使用。

祝考试顺利
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知角的终边过点，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．若复数，则（ ）
A．B．C．D．
5．一船以每小时的速度向东航行，船在处看到一个灯塔在南偏东，行驶小时后，船到达处，看到这个灯塔在南偏西，此时测得船与灯塔的距离为，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
6．已知函数其中且．若时，恒有，那么实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．已知的外接圆的圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
8．已知，，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则一定为锐角三角形
B．若，则是锐角三角形
C．若，则
D．若，，，则有两解
11．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（LEJBruwer），简单的讲就是对于满足一定条件的图象不间断的函数，存在点，使，那么我们称该函数为“不动点函数”，为函数的不动点，则下列说法正确的（ ）
A．函数为“不动点”函数
B．函数恰好有两个不动点
C．若函数恰好有两个不动点，则正数的取值范围是
D．若定义在上仅有一个不动点的函数满足，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分．
12．已知正六边形的边长为2，则__________．
13．已知，且，i为虚数单位，则的最小值是__________．
14．函数的图象与函数的图象所有交点的横坐标之和等于__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
（1）计算：；
（2）已知，求的值．
16．（15分）
已知函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为，
（1）求函数的解析式及在上的单调递增区间；
（2）在中，为的一个内角，若满足，，求周长的最大值．
17．（15分）
已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，，，且．
（1）求；
（2）若，的面积为，求a，b．
18．（17分）
已知函数．
（1）设，若为偶函数，且不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
（2）已知函数的图象过点，设，若对任意的，，都有，求实数的取值范围．
19．（17分）
在锐角中，点为的外心，．
（1）当时，若，求的最大值；
（2）当时，求的值；
（3）在（2）的条件下，求的取值范围．
2024年春“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”
高一期中联考数学试题参考答案
12．13．414．2025
15．（1）原式．
（2），，
展开，，
又．
16．（1）由题意知周期，则，且，所以，
故；
由，，整理，，
所以函数的单调递增区间为：，；
，则当时，有；当时，有；
单调递增区间为：，．（开区间也给全分）
（2），．
，，
，．
方法1：设三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，由余弦定理，
又，有，即，
整理，，，，，当且仅当时取等号．
故周长的最大值为．
方法2：设三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
由正弦定理，
有，，，
，，
，，
，故，
所以，当且仅当时取等号．
故周长的最大值为．
17．（1）由有，
展开，由正弦定理，
有（*），
又，所以，
有，
代入（*）有，
，，
则，
变形为，，
，故；
（2），，
，又，，
联立解得，或．
18．（1）因为为偶函数，所以，，
，，所以，
所以
．
又因为在上恒成立，
即在上恒成立，
所以在上恒成立，
所以且，
因为，所以，所以，
则，所以的取值范围为；
（2）因为过点，所以，，
所以，
又因为，所以，
所以，
又因为对任意的，，都有成立，
所以，．
，
因为，所以，设，
则有，，
当时，在上单调递增，所以，
所以，解得，所以；
当时，在上单调递减，，
所以，解得，此时；
当时，在上单调递增，
在上单调递减，，
所以，解得，此时．
综上所述：．即实数的取值范围为．
19．（1）因为，所以，
即，
为三角形的外接圆的圆心，则，
由，得，
，所以，
所以，
因为，当且仅当时，等号成立，
所以，即，
解得或．
因为三角形为锐角三角形，其外心必在三角形内，
由可知，再由可知，
所以应舍去，所以，
即的最大值为，当且仅当时取得；
（注明：用等和线直接给出答案扣2分）
（2）延长BO交圆于，则，过作，
垂足为，过作，垂足为，如图：
，即，
因为，所以，
又，
所以，，
所以，
所以，即，
故；
（注明：用奔驰定理直接给出答案扣2分）
（3）由于，，所以，．
由（2）知：，
所以，
为锐角三角形，，所以，
可得，所以，
由，得．
所以．
而，所以，，
即，
所以，即的取值范围是．
（注明：建立平面直角坐标系解答相应酌情给分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
C
B
D
B
C
C
D
B
ABC
AC
ACD