广东省中山市中山一中教育集团2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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（测试时间：120分钟，满分：120分）
一、单项选择题（共10个小题，每小题3分，满分30分）
1. 二次根式中，的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【详解】解：根据题意得，x−7≥0，
解得x≥7．
故选C．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
2. 下列函数中，经过点的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了某点是否在某条直线上，解题的关键是直接将点的坐标代入直线方程中检验即可．
将点的坐标分别代入四个选项中的直线方程中检验即可判断．
【详解】将分别代入：
A、，故点在直线上，此选项符合题意；
B、，故点不在直线上，此选项不符合题意；
C、，故点不在直线上，此选项不符合题意；
D、，故点不在直线上，此选项不符合题意；
故选：A．
3. 已知直角三角形的两边长为12和，则斜边长为（ ）
A. 5B. C. 和D. 和
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理．熟练掌握勾股定理，并分类讨论是解题的关键．
由题意知，分当为直角三角形的斜边长、直角边长两种情况，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：由题意知，分当为直角三角形的斜边长、直角边长两种情况求解；
当为直角三角形的斜边长时，斜边长为；
当为直角三角形的直角边长时，
由勾股定理得，斜边长为；
综上所述，斜边长为和，
故选：D．
4. 下列函数中，是一次函数的是（ ）
①；②；③；④
A. ①②B. ①③C. ①④D. ②③
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数的定义，掌握一次函数的定义是解题的关键．
根据一次函数的定义条件进行注意分析即可．
【详解】①，属于正比例函数，是一次函数的特殊形式，故本选项符合题意；
②，自变量次数是2，不是一次函数，故本选项不符合题意；
③，符合一次函数的定义，故本选项符合题意；
④，分母中含有自变量，不符合一次函数的定义，故本选项不符合题意；
综上所述：符合题意的有①③，
故选：B．
5. 如图，在四边形中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ）
A. ，，B. ，
C. ，D. ，，
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形、矩形、菱形与正方形的判定，熟练掌握正方形的判定方法是解题的关键． 根据正方形的判定逐项判断即得答案．
【详解】解：A、∵，，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，故本选项不符合题意；
B、，无法判定四边形是正方形，故本选项不符合题意；
C、∵，
∴，四边形是平行四边形，
∴四边形矩形，
∵，
∴矩形是正方形，故本选项符合题意；
D、∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，不能判定四边形是正方形，故本选项不符合题意．
故选：C．
6. 《九章算术》中有一道“折竹抵地”问题：“今有竹高十丈，末折抵地，去根九尺，问折者高几何？”题意是：如图，一根竹子原高十丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根9尺．若设折断处离地面的高度为x尺，则可以列出关于x的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设折断处离地面的高度为x尺，根据勾股定理列出方程即可．
【详解】解：设折断处离地面的高度为x尺，
由题意得，，
故选：C．
7. 一次函数的图象不经过（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象的特点是解题关键．根据一次函数的图象性质即可得到答案．
【详解】解：∵一次函数中的，，
∴它的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，
故选：C．
8. 的三边长分别为7，24，25，顺次连接三边的中点D、E、F．得的面积是（ ）
A. 7B. 21C. 28D. 56
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、中位线定理、矩形的判定与性质等知识点，解题的关键是根据勾股定理的逆定理得出．
先由勾股定理的逆定理判定，再根据中位线定理判定四边形是矩形且求出的长，最后根据直角三角形的面积公式即可求得答案．
【详解】如图所示．不妨设中，，点分别是的中点．

∵，
∴是直角三角形．
∴．
∵点分别是的中点．
∴，
∴四边形是平行四边形，又，
∴四边形是矩形．则，
∵DE、DF分别是△ABC的中位线，
∴，
于是在中，．
故选：B．
9. 如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为18和32，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. 6B. C. 7D. 14
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查算术平方根，二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答．先求出大、小正方形的边长，进而列式计算阴影部分的面积即可．
【详解】解：由题意可知，大正方形的边长为，小正方形的边长为，
∴图中阴影部分的面积为：，
故选：A．
10. 如图，在正方形中，，，点E、点H为、边上的一点，连接和，使得交于点F，点G是线段上的一个动点，连接、．当四边形的面积是8时，线段的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查正方形的性质，三角形的面积，全等三角形的判定及性质．
由正方形的性质得到，，从而求得，，，进而得到，根据三角形的面积公式求得，证明，得到，从而即可解答．
【详解】∵四边形是正方形，
∴，
∵，，
∴在中，，
，
又，即，
∴
∵，
∴，
∵，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故选：C
二、填空题：（共5个小题，每小题4分，满分20分）
11. 化简：___________．
【答案】
【解析】
【分析】被开方数因式分解后将能开方的数开方即可化简二次根式.
详解】，
故答案为：.
【点睛】此题考查二次根式的化简，正确掌握最简二次根式的特点并正确将被开方数因式分解是解题的关键.
12. 如图，点A表示的实数是_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据勾股定理可得OB的长，再求出OA的长，然后求得点A所表示的数即可．
【详解】解：如图：由题意得：OB=，
∵OA=OB
∴点A表示的实数是
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了数轴、勾股定理等知识点，解答本题的关键是求得OA的长度．
13. 将直线的向上平移2个单位长度，得到直线解析式为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一次函数的平移，熟练掌握一次函数平移的规律是解题的关键．根据一次函数平移的规律：左加右减，上加下减求解即可．
【详解】解：直线的图像向上平移2个单位长度得到的直线解析式为，
故答案为：．
14. 在菱形中，对角线，，则菱形的高是______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了菱形的性质与面积求法、勾股定理求斜边，解此题的关键是掌握“菱形的面积等于其对角线积的一半”的应用，同时注意菱形的面积有两种形式．
根据菱形的性质利用勾股定理求得菱形的边长，再根据菱形的两种面积公式建立等式求解即可．
【详解】如图，作，垂足为点H．
∵与是菱形的对角线，
∴与互相垂直平分，
∴，
由勾股定理得：，
∴．
∵，
∴，即菱形的高为
故答案为：．
15. 如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点A在斜边上，连接．若，，则四边形的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的判定，等腰直角三角形的性质，勾股定理 ，解题的关键是熟练掌握相关的性质和定理，
利用证明，得出，，再证明为直角三角形，再利用勾股定理即可求解；
【详解】解：和都是等腰直角三角形，
在和中，
在中，，
，
，
，
为直角三角形，
故答案为：
三、解答题（一）（共4个小题，每小题6分，满分24分）
16. 计算：
【答案】0
【解析】
【分析】本题考查二次根式的混合运算，先计算二次根式的乘法与化简二次根式，再计算二次根式的加法即可．
【详解】解：
．
17. 先化简再求的值，其中，．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查的是约分，二次根式的除法运算，先约分，再把，代入计算即可．
【详解】解：
把，代入上式，
得：原式．
18. 已知y与成正比例，当时；
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）当时，求x的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了正比例函数解析式，一次函数自变量等知识，熟练掌握正比例函数解析式，一次函数自变量是解题的关键
（1）设解析式为，把，代入，可求，进而可得解析式；
（2）将代入得：，计算求解即可．
【小问1详解】
解：设解析式，
把，代入得：，
解得：，
∴解析式为；
【小问2详解】
解：将代入得：，
解得．
∴x的值为．
19. 如图，在四边形中，E为上一点，，，且，，求证：四边形为平行四边形．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，解题的关键是证明，得出，进而推出，，即可求解；利用证明是解此题的关键．
【详解】证明：在和中，
，
∴
∴，，
∴
∵，
∴，
∵，，
∴四边形为平行四边形．
四、解答题（二）（共3个小题，每小题8分，满分24分）
20. 如图，在中，AB边上的垂直平分线DE与AB、AC分别交于点D、E，且
（1）求证：；
（2）若，，求CE的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理的逆定理，勾股定理，根据定理以及线段垂直平分线的性质解题即可．
（1）连接，根据线段垂直平分线的性质和勾股定理的逆定理即可求证；
（2）设，在（1）的结论上，利用勾股定理列出方程计算即可求解．
【小问1详解】
证明：连接，
∵是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，即，
∴是直角三角形，
∴；
【小问2详解】
∵，，
∴，
设，则，
∵，，
∴，
解得，
∴
21. 定义：如果平行四边形的一组对边之和等于一条对角线的长时，我们称这个四边形为“沙漏四边形”．
（1）当沙漏四边形是矩形时，两条对角线所夹锐角为______度；
（2）如图，在沙漏四边形中，对角线、相交于点O，满足，且，过点B、D分别作，，垂足为E、F，连接、，所得四边形也是沙漏四边形．若，求的长以及的面积．
【答案】（1）60 （2），
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
（1）根据沙漏四边形即平行四边形的特征得出，，，，在根据矩形的性质得出，得出为等边三角形，即可得出夹角的度数；
（2）根据四边形ABCD是沙漏四边形，得，在证，根据，，得，利用四边形BEDF是沙漏四边形，得，利用勾股定理得出，根据三角形面积计算公式即可得出结论．
【小问1详解】
四边形ABCD是沙漏四边形，
，，，
四边形ABCD是矩形，
，
，
为等边三角形，
故答案为：60．
【小问2详解】
，
，
四边形ABCD是沙漏四边形，
，，，
，
，，
，，
，，，
∵四边形BEDF沙漏四边形，
，
，
，
在中，
，
22. 如图，四边形的对角线相交于点O，且互相平分，若，过点D作，且，连接．
（1）求证：四边形为矩形；
（2）连接AE．若，，求四边形的面积．
【答案】（1）证明见解析
（2）12
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握特殊平行四边形的性质和判定定理是解题的关键．
（1）首先根据题干判定四边形是菱形，然后根据菱形的性质得，，再结合已知条件，得，结合，可知四边形是平行四边形，进而得出结论；
（2）由（1）可知，，，根据勾股定理可求得，由菱形面积公式即可求解．
【小问1详解】
证明：∵四边形的对角线相交于点O，且互相平分，同时，
∴四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，再结合
∴四边形为矩形；
【小问2详解】
由（1）可知，，，
，
菱形的面积．
五、解答题（三）（共2个小题，第23题10分，第24题12分，满分22分）
23. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线相交于点A，且点A的横坐标为，直线与坐标轴交于点E、B；直线与坐标轴交于点C、D，且．
（1）求出直线的解析式；
（2）求的面积；
（3）坐标轴上是否存在点P，使得，若存在，请直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，或或或
【解析】
【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式，坐标系中求三角形面积，已知三角形之间的面积关系求点的坐标，解题的关键是运用分类讨论思想．
（1）先求得直线上的三点的坐标，再求得点C的坐标，于是可求得直线的解析式；
（2）将的面积分割成x轴上下的两个三角形面积之和即可求解；
（3）分点P在x轴与y轴两种情况讨论，并注意点P在每条坐标轴上所有可能的位置，得出点P坐标的四种情形．
【小问1详解】
解：对于直线，
令，得，则；
令，得，则；
令，得，则．
∴，即，
∴．则．
设直线的解析式为：．
将点与点的坐标代入上式得：
，解得：．
∴直线的解析式为：．
【小问2详解】
由与可得：．
又知点A与点B纵坐标分别为，
∴．
即的面积为．
【小问3详解】
存在．分两种情况讨论：
①点P在x轴上时，设点P的横坐标是x．
∵，点
∴，即，
∴．
∴或．
∴或．
②点P在y轴上时，设点P的纵坐标是y
∵，点
∴，即，
∴．
∴或．
∴或．
综合①与②可知，或或或．
24. 实践与探究
（1）如图1，在矩形中，点F是上一点，点E是的中点，平分．求证：；
（2）如图2，将（1）中的“矩形”改为“”，结论是否成立？若成立，请证明；
（3）如图3，将（1）中的“矩形”改为“正方形”，边长，其它条件不变，求线段的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）成立，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）过点E作得垂线，垂足为G，结合矩形性质，通过证明，因为点E是中点，得证，化简线段的和差关系，即可作答．
（2）在上截取，连接，结合平分线的定义，得证，因为平行四边形的性质，结合角的换算，即可作答．
（3）结合正方形性质，设，则，，由勾股定理列式代入数，得，再进行解方程即可．
【小问1详解】
解：如图1，过点E作得垂线，垂足为G，
∴
∵四边形是矩形，
∴，
∵平分，
∴
在和中
，
∴
∴，，
∵点E是中点，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：成立，理由如下：
如图2，在上截取，连接，
∵平分，
∴
在和中
，
∴
∴，，
∵点E是中点，
∴，
∴，
∴
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴
又∵，，
∴，
∴
∴，
∴
在和中
，
∴，
∴
∵，，，
∴，
∴
【小问3详解】
解：如图3，在上截取，
∵正方形是特殊的平行四边形，
∴（2）中的仍然成立．
设，则，，
在中，，
∴，
解得：，
即．
【点睛】本题考查了正方形的性质与判定、矩形的性质与判定、全等三角形的综合，勾股定理等知识内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键．