广西壮族自治区南宁市南宁沛鸿民族中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1．答题前，考生务必将姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡上．
2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效．
第I卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符各要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查最简二次根式的识别，根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母、小数；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，即可求解．
【详解】解：A、中被开方数含能开得尽方的因数，，不是最简二次根式；
B、中被开方数含分母，不是最简二次根式；
C、中被开方数含小数，不是最简二次根式；
D、是最简二次根式；
故选D．
2. 甲、乙、丙、丁四人各进行30次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是，，则射击成绩最稳定的是（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查方差的实际应用，方差越小，数据越稳定．
【详解】解：，，
，
射击成绩最稳定的是乙．
故选B．
3. 下列函数中，是正比例函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查正比例函数的识别，根据正比例函数的定义：（k为常数且，）判断即可．
【详解】解：A，不是正比例函数，不合题意；
B，不是正比例函数，不合题意；
C，是正比例函数，符合题意；
D，不是正比例函数，不合题意；
故选C．
4. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A. 4， 8， 12B. 6， 8， 10C. 4， 6， 8D. 4， 5， 6
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了勾股定理逆定理的应用，解题的关键是熟记，勾股定理逆定理：如果三角形的三条边长，，，满足，那么这个三角形是直角三角形．找出每个选项中的两个较小的数，求他们的平方和，再求这组数据中最大数的平方，比较两个数是否相等，若相等，就能构成直角三角形，不相等就不能构成直角三角形．
【详解】解：、，此选项不能构成直角三角形，不符合题意；
、，此选项能构成直角三角形，符合题意；
、，此选项不能构成直角三角形，不符合题意；
、，此选项不能构成直角三角形，不符合题意；
故选：B．
5. 下列计算中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式的运算，根据二次根式的加减乘除运算法则逐项计算即可求解．
【详解】解：A，与不能合并，，该选项计算错误；
B，，该选项计算错误；
C，，该选项计算正确；
D，，该选项计算错误；
故选C．
6. 如图，若要使四边形为平行四边形，则需要添加的条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查平行四边形的判定，根据已知条件可得，再根据平行四边形的判定方法逐项判断即可．
【详解】解：由图可得，
，
A，添加，可得，四边形中仅一组对边平行，不能判定四边形为平行四边形；
B，添加，四边形中一组对边平行且相等，能判定四边形为平行四边形；
C，添加，可得，推出与不平行，四边形不是平行四边形；
D，添加，四边形中一组对边平行，另一组对边相等，不能判定四边形为平行四边形；
故选B．
7. 要得到一次函数的图象，可把直线（ ）
A. 向下平移5个单位长度B. 向上平移5个单位长度
C. 向左平移5个单位长度D. 向右平移5个单位长度
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查一次函数的图象平移变换，解题的关键是根据“左加右减、上加下减”的函数图象平移规律解答即可．
【详解】解：将直线的图象向下平移5个单位即可得到直线的图象．
故选：A．
8. 如图，已知直线与相交于点A，则关于的二元一次方程组，的解为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）， 直接根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解得到答案，函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解是解题的关键．
【详解】解：∵直线与交于点，
∴关于的二元一次方程组的解为，
故选：A．
9. 如图，折线描述了一辆新能源汽车在某一直线公路上的行驶过程中，汽车离出发地的距离和行驶时间之间的函数关系．根据图中提供的信息，给出下列说法，其中正确的是（ ）

A. 汽车一共行驶了
B. 汽车出发后前3小时的平均速度为
C. 汽车在整个行驶过程中停留了2小时
D. 汽车出发后3小时至4.5小时之间的平均速度是
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了函数图象、速度，路程、时间三者关系，根据函数图象的纵横坐标的意义，结合图象的起点，折点，终点，进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：依题意，
∵一辆新能源汽车在某一直线公路上的行驶过程，汽车离出发地的距离 和行驶时间 之间的函数关系，
∴汽车出发到距离起点的后再返回出发点，故汽车一共行驶了，故A选项是错误的；
∴汽车出发后前3小时的平均速度为，故B选项是错误的；
∴，汽车在整个行驶过程中停留了0.5小时，故C选项是错误的；
∴汽车出发后3小时至4.5小时之间平均速度是，故D选项是正确的；
故选：D．
10. 如图，在正方形外侧，作等边，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质等，先根据已知条件推出是等腰三角形，再根据等边对等角及三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：在正方形外侧，作等边，
，，，
，
，
，
故选C．
11. 若直线经过点和点，当时，，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查一次函数的增减性，由时，，可得y随x的增大而减小，进而可得一次项系数，解不等式即可．
【详解】解：当时，，
，
，
故选D．
12. 对于实数，我们定义符号的意义为：当时，；当时，．例如：．若关于x的函数为，则该函数的最小值是（ ）
A B. 0C. 5D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查一次函数，联立与成方程组，通过解方程组找出交点坐标，再根据的意义即可得出函数的最小值．
【详解】解：联立与得，
解得，
当时，，
；
当时，，
；
综上可知，该函数的最小值是5，
故选C．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）
13. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是______________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据被开方数大于等于0，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
∴；
故答案为：．
14. 如图，在中，若，点E在的延长线上，则____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的对角相等是解题的关键．根据平行四边形的对角相等，再结合邻补角的性质即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
故答案为：
15. 学校举办“演说中国”青少年演讲比赛，其中综合荣誉分占，现场演讲分占，小明参加了比赛，并在综合荣誉和现场演讲中分别取得90分和80分的成绩，则小明的最终成绩为____________分．
【答案】84
【解析】
【分析】本题主要考查了加权平均数的计算，综合荣誉和现场演讲的成绩分别乘以权重，再相加即可．
【详解】解：小明的最终成绩为（分），
故答案为：84．
16. 如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形．已知正方形的面积分别为，则正方形G的面积为____________．
【答案】625
【解析】
【分析】本题考查勾股树，根据勾股定理可知正方形A、B的面积之和等于正方形F的面积，同法可求正方形E、G的面积．
【详解】解：由勾股定理可知，，
，
，
故答案为：625．
17. 在平面直角坐标系中，如果直线经过点和y轴正半轴上的一点的面积为3，那么b的值为____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，根据题意得出直线和轴正半轴上的交点坐标为，根据三角形的面积公式，即可求解．
【详解】解： 函数，令，则，
直线和轴正半轴上的交点坐标为，
，
又的面积为，直线经过点，
，
所以．
故答案为：．
18. 如图，四边形是菱形，于点H，点E是上一点，且，点F是的中点，点P是线段上一动点．点P在运动过程中，的最小值为____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查菱形的性质，轴对称，勾股定理，两点之间线段最短，添加辅助线，构造轴对称图形，从而运用两点之间线段最短是解题的关键．如图，在上取，由菱形可推知,,，进一步由菱形面积求得，，中，，，所以，故最小值为．
【详解】解：如图，在上取，
∵四边形是菱形，为轴对称图形，
∴,,
，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，

中，，
，
∴，
最小值为．
故答案为．
三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或诫算步骤．）
19. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算，零指数幂，化简绝对值．先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【详解】解：
．
20. 如图，某港口O位于南北延伸的海岸线上，东面是大海．远洋号、长峰号两艘轮船同时离开港O，各自沿固定方向航行，“远洋”号每小时航行12海里，“长峰”号每小时航行16海里，它们离开港口1小时后，分别到达A，B两个位置，且AB=20海里，已知“远洋”号沿着北偏东60°方向航行，请判断“长峰”号航行的方向，并说明理由．
【答案】南偏东30°，理由见解析．
【解析】
【分析】由题意得： OA2＋OB2＝AB2，由勾股定理的逆定理得出△OAB是直角三角形，∠AOB＝90°，求出∠DOB＝30°，即可得出答案．
【详解】解：“长峰”号航行的方向是南偏东30°．理由是：
由题意得：OA=12，OB=16，AB=20，
∵122+162=202，
∴OA2+OB2=AB2．
∴△OAB是直角三角形，
∴∠AOB=90°．
∵∠COA=60°，
∴∠DOB=180°﹣90°﹣60°=30°，
∴“长峰”号航行的方向是南偏东30°．
【点睛】此题考查了勾股定理的逆定理及方向角的理解与运用，利用勾股定理的逆定理得出△OAB为直角三角形是解题的关键．
21. 如图，为平行四边形的对角线．
（1）尺规作图：作出的垂直平分线，垂足为O，分别与边交于点；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）连接，求证：四边形是菱形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查垂直平分线的作法及性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，菱形的判定等，正确作出图形是解题的关键．
（1）根据垂直平分线的画法即可求解；
（2）根据平行四边形的性质可证，可得，可证四边形是平行四边形，再结合垂直平分线的性质可得，由“一组邻边相等的平行四边形是菱形”即可求证．
【小问1详解】
解：如图，分别以点A，C为圆心，以大于长为半径画弧，交于点M，N，连接，与边交于点，直线即为的垂直平分线；
【小问2详解】
证明：如图，连接，
有作图可知：
四边形是平行四边形，
，
，
和中，
，
，
，
四边形是平行四边形，
为的垂直平分线，
，
四边形是菱形．
22. 每年的4月15日是我国全民国家安全教育日．某中学在全校七、八年级共600名学生中开展“国家安全法”知识竞赛，并从七、八年级学生中各随机抽取20名学生，统计这部分学生的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分10分，6分及以上为合格）·相关数据统计、整理如下：
七年级抽取的学生的竞赛成绩条形统计图：
八年级抽取的学生的竞赛成绩：
，
．
七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：____________，____________，____________，____________；
（2）估计该校七、八年级共600名学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数；
（3）从中位数和众数中任选其一，说明其在本题中的实际意义．
【答案】（1），，8，7
（2）150人 （3）见解析
【解析】
【分析】本题考查平均数、中位数、众数，利用样本估计总体等，掌握相关定义是解题的关键．
（1）由平均数、中位数、众数的定义，结合条形统计图以及八年级抽取的学生的竞赛成绩，即可求得答案；
（2）用学生总数乘以被调查学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数所占的比例即可得到答案；
（3）根据中位数和众数的意义进行说明．
【小问1详解】
解：七年级的平均数，
七年级的中位数，
七年级的众数，
八年级的中位数，
故答案为：，，8，7；
【小问2详解】
解：（人），
即估计该校七、八年级共600名学生中竞赛成绩达到9分及以上有150人；
【小问3详解】
解：众数在本题中表示被调查学生中竞赛成绩出现次数最多的数，
中位数在本题中表示被调查学生中竞赛成绩处于中间位置的数，反映学生成绩的一般水平．
23. 春节临近，某网商紧急备货，但目前缺少大量礼品包装盒，该网商通过调研，发现这种礼品包装盒的来源有两种方案可供选择：
方案一：从纸箱厂订购，购买所需费用（单位：元）与礼品盒数x（单位：盒）满足如图所示的函数关系．
方案二：从纸箱厂租赁机器，自己加工制作这种礼品盒，所需费用（包括租赁机器的费用和生产礼盒的费用）（单位：元）与礼品盒数x（单位：盒）满足如图所示的函数关系．
请回答问题：
（1）方案一中礼品盒单价为________元；
（2）请分别求出、与x的函数关系式；
（3）如何选择方案，才能够更省钱？请说明理由．
【答案】（1）3 （2）；
（3）当时，两种方案同样省钱；当时，选择方案一；当时，选择方案二．理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意；
（1）根据图象可知500个盒子共花费1500元，据此可以求出盒子的单价；
（2）根据图象经过的点的坐标用待定系数法求得函数的解析式即可；
（3）求出当的值为多少时，两种方案同样省钱，并据此分类讨论最省钱的方案即可．
【小问1详解】
解：由图象得：，
方案一的盒子单价为3元；
故答案为3；
【小问2详解】
解：设图象的函数解析式为：，
由图象知函数经过点，
，
解得，
函数的解析式为；
设图象的函数关系式为，
由图象知道函数的图象经过点和
，
解得：，
函数的解析式为；
【小问3详解】
解：令，
解得，
当时，两种方案同样省钱；
当时，选择方案一更省钱；
当时，选择方案二更省钱．
24. 如图，在正方形中，过点A引射线，交边于点H（点H与点D不重合）．通过翻折，使点B落在射线上的点G处，折痕交于点E，延长交于F．
【感知】如图1，当点H与点C重合时，可得．
【探究】如图2，当点H为边上任意点时，猜想与之间的数量关系，并说明理由．
【应用】在图2中，当时，利用【探究】中的结论，求的长．
【答案】探究：，理由见解析；应用：
【解析】
【分析】本题考查正方形的性质，折叠的性质，勾股定理等．
探究：连接，利用折叠的性质及正方形的性质证明，即可得出；
应用：设，利用勾股定理解即可．
【详解】解：探究：猜想，
理由如下：如图，连接，
四边形是正方形，
，，
由折叠的性质可得，，
，，
在和中，
，
，
；
应用：设，
，
，，
，，，
在中，由勾股定理得，
，
解得，
．
25. A城有肥料城有肥料．现要把这些肥料全部运往两乡．从A城往两乡运肥料的费用分别为20元/t和25元/t；从B城往两乡运肥料的费用分别为15元/t和24元/t．现C乡船要肥料乡需要肥料．
（1）设从A城往C乡运x吨肥料，则从A城往D乡运____________吨肥料，从B城往C乡运____________吨肥料，从B城往D乡运____________吨肥料；（用含x的式子表示，并化简结果）
（2）x的取值范围是____________；
（3）设调运的总运费为w元，求w关于x的函数解析式以及调运总费用最少的方案．
【答案】（1）；；
（2）
（3），从A城运往C乡0吨，运往D乡200吨；从B城运往C乡240吨，运往D乡60吨，此时总运费最少，最少的运输费用是10040元．
【解析】
【分析】此题考查了一次函数的应用，根据已知得出城和城运往各地的肥料吨数是解题的关键．
（1）设从A城往C乡运x吨肥料，分析列表如下：
从而可得答案；
（2）由运量不能为负数，建立不等式组，再解题即可；
（3）根据题意得总费用与之间的函数关系式，再利用一次函数的增减性即可求解；
【小问1详解】
解：由题意可得：
设从A城往C乡运x吨肥料，则从A城往D乡运吨肥料，从B城往C乡运吨肥料，从B城往D乡运吨肥料；
故答案为：；；；
【小问2详解】
∵，
解得：；
故答案为：；
【小问3详解】
由题意可得：
，
∵，随的增大而增大，，
∴当时，，
∴从A城运往C乡0吨，运往D乡200吨；从B城运往C乡240吨，运往D乡60吨，此时总运费最少，最少的运输费用是10040元．
26. 如图，取一张矩形的纸片进行折叠，具体操作过程如下：
图1 图2 图3
（1）【探究发现】
第一步：如图1，对折矩形纸片，使与重合，折痕为，把纸片展平；
第二步：在上选一点P，沿折叠纸片，使点A落在矩形内部的点M处，连接．根据以上操作，当点M在上时，____________；
（2）【类比应用】
如图2，小李将矩形纸片换成边长为的正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接，当点M在上时，求的度数；
（3）【拓展延伸】
如图3，在（2）的探究中，改变点P在上的位置（点P不与点重合），当时，请直接写出的长．
【答案】（1）30 （2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）取中点O，连接，利用折叠的性质及直角三角形斜边中线的性质证明是等边三角形，即可求解；
（2）同（1）可证，再利用折叠的性质和正方形的性质证明，推出，可得；
（3）分点Q在点F的下方、上方两种情况，利用勾股定理解即可．
【小问1详解】
解：由第一步折叠知，，
由第二步折叠知，，
，
如图，取中点O，连接，
在中，点O是斜边中点，
，
，
是等边三角形，
，即，
，
故答案为：30；
【小问2详解】
解：如图，
同（1）可证，
，
在正方形中，，，
由折叠知，，
，，
在和中，
，
，
，
，
【小问3详解】
解：当点Q在点F的下方时，如图，
正方形中，，
，
，
由（2）知，
，
设，由折叠知，
，，
在中，，
，
解得，即；
当点Q在点F的上方时，如图，
则，
，
，
设，
则，，
中，，
，
解得，即；
综上可知，的长为或．
【点睛】本题考查正方形折叠问题，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等，掌握折叠前后对应角相等、对应边相等，注意分情况讨论是解题的关键．
年级
平均数
中位数
众数
合格率
七年级
a
b
d
八年级
7.4
c
8
城
城
合计
乡
乡
合计