2023-2024学年上海市四校（金山中学、闵行中学、崇明中学、嘉定一中）联考高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年上海市四校（金山中学、闵行中学、崇明中学、嘉定一中）联考高二（下）期中数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在等差数列{an}中，a1=-9，a4=-3.记Tn=a1a2⋅⋅⋅an(n为正整数)，则数列{Tn}
A. 有最大项，也有最小项B. 有最大项，但无最小项
C. 无最大项，但有最小项D. 无最大项，也无最小项
2.在△ABC中，a2+b2+c2=2bccsA+2accsB，则△ABC一定是( )
A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 等边三角形
3.如图，已知正方形ABCD的边长为4，若动点P在以AB为直径的半圆上(正方形ABCD内部，含边界)，则PC⋅PD的取值范围为( )
A. (0,16)
B. [0,16]
C. (0,4)
D. [0,4]
4.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x2+y2=1+|x|y就是其中之一(如图).给出下列三个结论：
①曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；
②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过 2；
③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3．
其中，所有正确结论的序号是
( )
A. ①B. ②C. ①②D. ①②③
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.若“a>b”，则“a3>b3”是______命题(填：真、假)
6.集合A={1,2,3,4}，B={x|(x−1)(x−5)1)在x=a处有最小值，则a= ______．
12.已知函数f(x)=ex,(x≥0)x+1,(x0)的左、右顶点，O为坐标原点，|AB|=6，点(2,53)在椭圆C上，过点P(0,−3)的直线l交椭圆C于M，N两个不同的点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若点B落在以线段MN为直径为圆的外部，求直线l的倾斜角θ的取值范围；
(3)当直线l的倾斜角θ为锐角时，设直线AM，AN分别交y轴于点S，T，记PS=λPO，PT=μPO，求λ+μ的取值范围．
21.(本小题17分)
已知函数f(x)=−2alnx−2x，g(x)=ax−(2a+1)lnx−2x，其中a∈R．
(1)若x=2是函数f(x)的驻点，求实数a的值；
(2)当a>0时，求函数g(x)的单调区间；
(3)若存在x∈[1e,e2](e为自然对数的底)，使得不等式f(x)≤g(x)成立，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：设等差数列{an}的公差为d，由a1=−9，a4=−3，得a4=a1+3d=−3，解得：d=2.所以an=−9+2(n−1)=2n−11．
令an=2n−11=0，得n=112，而n∈N*，可知数列{an}是单调递增数列，且前5项为负值，自第6项开始为正值．
可知T1=−90，T3=−3150为最大项，自T5起均小于0，且逐渐减小
∴数列{Tn}有最大项，无最小项．
故选：B．
由已知求出等差数列的通项公式．分析可知数列{an}是单调递增数列，且前5项为负值，自第6项开始为正值．进一步分析得答案．
本题考查数列的函数特性，考查学生的运算能力，属于中档题．
2.【答案】C
【解析】解；∵a2+b2+c2=2bccsA+2accsB，
∴由余弦定理可得，a2+b2+c2=2bc⋅b2+c2−a22bc+2ac⋅a2+c2−b22ac，
∴a2+b2+c2=b2+c2−a2+a2+c2−b2=2c2，化简整理可得，a2+b2=c2，∠C=π2，
故△ABC一定是直角三角形．
故选：C．
由余弦定理结合题意得a2+b2=c2，由勾股定理逆定理即可得解．
本题考查了余弦定理的应用，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：建立直角坐标系，如图所示：正方形ABCD的边长为4，
设：A(0,0)，B(4,0)，C(0,4)，D(4,4)，
取CD的中点E，连接PE，所以PE的取值范围为[AD2,AE]，
即[2,2 5]，
由于PC⋅PD=(PE+ED)⋅(PE+EC)=PE2−CD24，
故PC⋅PD∈[0,16]．
故选：B．
直接利用向量的数量积运算求出结果．
本题考查的知识要点：向量的数量积运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了方程与曲线，属于拔高题．
将x换成−x方程不变，所以图形关于y轴对称，根据对称性讨论y轴右边的图形可得．
【解答】
解：将x换成−x方程不变，所以图形关于y轴对称，
当x=0时，代入得y2=1，
∴y=±1，
即曲线经过(0,1)，(0,−1)，
当x>0时，方程变为y2−xy+x2−1=0，
所以由△=x2−4(x2−1)≥0，
解得x∈(0,2 33]，
所以x只能取整数1，当x=1时，y2−y=0，
解得y=0或y=1，
即曲线经过(1,0)，(1,1)，
根据对称性可得曲线还经过(−1,0)，(−1,1)，
故曲线一共经过6个整点，故①正确；
当x>0时，由x2+y2=1+xy得x2+y2−1=xy≤x2+y22，
(当x=y时取等)，
∴x2+y2≤2，
∴ x2+y2≤ 2，
即曲线C上y轴右边的点到原点的距离不超过 2，
根据对称性可得：曲线C上任意一点到原点的距离都不超过 2，
故②正确；
在x轴上方图形面积大于矩形面积=1×2=2，
x轴下方的面积大于等腰直角三角形的面积=12×2×1=1，
因此曲线C所围成的“心形”区域的面积大于2+1=3，
故③错误，
故选C．
5.【答案】真
【解析】解：函数f(x)=x3在R是单调增函数，∴当a>b，一定有a3>b3，故是真命题
答案为：真．
利用函数f(x)=x3在R是单调增函数判定．
本题考查了命题的真假判定，涉及到不等式的性质，属于基础题．
6.【答案】{2,3,4}
【解析】解：A={1,2,3,4}，
B={x|(x−1)(x−5)