高考专题复习 解析几何中的隐圆问题

这是一份高考专题复习 解析几何中的隐圆问题，共15页。试卷主要包含了利用圆的定义可确定隐圆，利用圆的性质可确定隐圆，利用轨迹法确定圆，设，则的最小值是 ，若，则的最大值是 .等内容，欢迎下载使用。
在直线与圆的综合考查中，有时题设条件并没有直接给出相关圆的信息，而是隐含在题目中，要通过分析和转化，发现圆的方程或圆的定义，从而可以利用圆的知识来求解，这类问题常被称为“隐圆”问题．此类问题在高考中出现的频率比较高，通过对以往考题的分析与研究，可以总结为如下的几种题型．
1．利用圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹）可确定隐圆
题目中若已知到定点的距离等于定长或者能求出到定点的距离为定常数，则可以得到点的轨迹为圆．
例1 已知圆，圆．若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得，则实数a的取值范围为________．
解 由题意得，圆心在直线上运动，
则动圆M是圆心在直线上，半径为1的圆．
又因为圆M上存在点P，使经过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使，
所以，
即点P也在上，记为圆E，
则圆E与圆O一定有公共点．
于是，
即，
所以实数a的取值范围是．
2．利用圆的性质（动点到两定点的夹角为直角）可确定隐圆
题目中若动点到两定点的夹角为直角，则可以得到点的轨迹为圆．
例2 在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线的距离的最大值为_______．
解法1 直线分别经过定点，且，所以点P在以为直径的圆C上．
则圆C的圆心为，半径．
因为圆心C到直线的距离为，
所以，点P到直线l的距离的最大值为．
解法2 当时，点到直线的距离为；
当时，解方程组得两直线交点P的坐标为，
所以，点P到直线的距离为，
显然当k为正数时取得最大值，
则有，
所以．
综上可知，点P到直线l的距离的最大值为．
3．已知两定点A，B，动点P满足为定值可确定隐圆
已知两定点A，B，动点P满足为定值的轨迹为圆．
例3 已知点，若圆上存在点M满足，则实数a的取值范围是________．
解 设，
因为
所以，
即，表示圆．
又因为点M在圆上，
所以两圆必有交点，，
即，
解得．
4．已知两定点A，B，动点P满足为定值可确定隐圆
已知两定点A，B，动点P满足为定值的轨迹是圆．
例4 如图1，在平面直角坐标系中，已知圆及点．在圆C上是否存在点P，使得？若存在，求点P的个数，若不存在，说明理由．
解 圆C的标准方程为，
所以 圆心，半径为2．
假设圆C上存在点P，
设，则，
又，
即，是圆心为，半径为2的圆．
因为，
所以圆与圆相交，
所以点P的个数为2．
5．给定两定点A，B，动点P满足的关系可确定隐圆
若给定两定点A，B，动点P满足的关系，则P点的轨迹为隐圆，我们称为阿波罗尼斯圆．
例5 已知O为原点，，若，则的最大值为_______．
解 设，
由，得，
即，记为圆C．
所以M的轨迹的圆心为，半径为的圆．
又，所以．
6．利用轨迹法确定圆
所谓轨迹法就是通过设点，根据题目中所给的条件得到轨迹方程．常见求轨迹的方法有：直接法、定义法、相关点法、参数法．
例6 在平面直角坐标系中，已知点，若圆上存在唯一点P，使得直线在y轴上的截距之积为5，则实数m的值为________．
解 设点，则直线方程为，它在y轴上的截距为，
同理在y轴上的截距为，
由截距之积为5，得，化简得，
又满足，
所以点P的轨迹是以为圆心，半径为3的圆．
由题意P的轨迹应与圆M恰有一个适合题意的点，则：
①若A，B不在圆M上，则两圆相切，所以圆心距等于半径之和或差，，解得；或，m无解；
②若A或B在圆M上，把点A代入圆M可知不合题意，把点B代入圆M，解得，经检验也成立．
综上可知，或为所求．
例7 若实数x、y满足，则x的取值范围是________．
解析：令，其中，．则．方程可化为，即，如图1，在平面内，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆在的部分，即圆弧与原点O的并集，其中，A、B分别为圆弧与x轴、y轴的交点，又因为的几何意义是点与原点O两点的距离的平方．易知，所以的取值范围是．
例8 函数的值域是________．
解析：设函数，令，则点位于一个单位圆x轴的上半部分，如图3所示．将函数改写为，它表示定点与点所连直线的斜率．直线与上半单位圆相切时，在直角三角形中，，所以．又，所以．即函数的值域为．
7. 当两个定点到某直线的距离分别确定时
例9 若点和点到直线的距离依次为1和2，则这样的直线有______条．
解析：如图1，分别以A，B为圆心，1，2为半径作圆依题意知，直线l是圆A的切线，A到l的距离为1，直线l也是圆B的切线，B到l的距离为2，所以直线l是两圆的公切线，共3条（2条外公切线，1条内公切线）．
故满足题意的直线有3条．
评注：本题已知条件中虽然没有直接出现圆，但由题意并数形结合，把原问题转化为直线与圆、圆与圆的位置关系问题．
8. “四点共圆”模型
我们知道判定某一四边形有外接圆的常见方法有两个，一种方法是四边形的一组对角互补，另一方法是某一边分别与其对边的两个端点构成的角大小相等，根据圆的内接四边形的这两个性质，若题中出现的向量可以构造出四边形且符合这两种情况，则构造四点共圆．
例10 向量m，n，p满足：，，，则最大值为（ ）
A．2 B． C．1 D．4
解析 因为及，
所以m，n的夹角为．
因为，
所以与的夹角为．
设，
则，
于是．
发现，且，
故构造如图4、图5两个圆，易知两圆半径长均为2，点C均在优弧上，结合圆的性质知，所以的最大值为4．
同步练习
1．在平面直角坐标系xOy中，已知A，B为圆C：（x＋4）2＋（y－a）2＝16上的两个动点，且AB＝，若直线l：y＝2x上存在唯一的一个点P，使得，则实数a的值为 ．
2．在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则当实数变化时，点到直线的距离的最大值为 .
3．已知平面上两定点A、B，且，动点P满足，若点P总不在以点B为圆心，为半径的圆内，则负数的最大值为 ．
4．函数的最大值为 ．
5．在平面直角坐标系中，点，直线，设圆C的半径为1，圆心在l上，若圆C上存在点M，使，求圆心C的横坐标a的取值范围．
6．在平面直角坐标系中，已知为圆上两点，点，且，则线段的长的取值范围是 ．
7．设，则的最小值是 ．
8．已知向量，，为平面向量，，且使得与所成夹角为，则的最大值为（ ）
A．B．C．1D．
9．若，则的最大值是 .
参考答案：
1．2或－18
【解析】由“圆C的弦AB长度为定值AB＝”知，弦AB的中点M的轨迹是以点C为圆心的圆，由“”得，可求得动点P的轨迹也在圆上，此时直线l上存在唯一的一个点P符合要求，故直线l和动点P的轨迹（圆）相切．
【详解】设AB的中点为M（x0，y0），P（x，y），则由AB＝得，CM＝，即点M的轨迹为（x0＋4）2＋（y0－a）2＝5.又因为，所以，即（x0－x，y0－y）＝，从而，
则动点P的轨迹方程为，又因为直线l上存在唯一的一个点P，所以直线l和动点P的轨迹（圆）相切，则，解得，a＝2或a＝－18.
故答案为：2或－18
【点睛】此题考查直线与圆的位置关系，结合弦长分析点M的轨迹，转化成直线与圆相切，充分体现了转化与化归思想.
2．
【详解】 由题意得，直线的斜率为，且经过点,
直线的斜率为，且经过点，且直线
所以点落在以为直径的圆上，其中圆心坐标，半径为，
则圆心到直线的距离为，
所以点到直线的最大距离为．
3．##-0.75
【分析】利用解析方法，以所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，得到动点P点的轨迹方程，分和两种情况讨论，当时，利用两圆的位置关系得到关于的不等式，进而求解得到的取值范围.
【详解】以所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则
．
设，且动点P满足，
即，
则，
当时，满足题意；
当时，点P在以原点为圆心，为半径的圆上，同时点P总不在以点B为圆心，为半径的圆内，
即圆与圆相离或外切内切或内含，
所以或，
解得或（舍去），
所以负数的最大值为．
故答案为：.
4．2
【分析】令，则，原问题可化为在条件下，求的最大值问题，利用线性规划思想求得最大值.
【详解】令，则，
．
原问题可化为在条件下，求的最大值问题.
将目标函数化为，其图象是一条与平行的直线．
当直线与圆弧相切时，z取最大值，
此时，由圆心到直线的距离等于半径，易知，得（舍去负值），
所以函数的最大值为2．
故答案为：2.
5．
【分析】设，由得出点的轨迹方程，轨迹是圆，由此圆与圆有公共点可得．
【详解】因为圆心C在直线．
可设圆心，则圆C的方程为．
设，由，得，
化简整理得，
所以点M在以为圆心，2为半径的圆上，
由题意得点M也在圆C上，
所以圆D和圆C有公共部分，
即 ，
，
解得，
故圆心C的横坐标a的取值范围．
6．
【分析】设的中点为，由已知，因此可设，求出点的轨迹方程知点轨迹是圆，从而易得的取值范围．
【详解】设的中点为，因为，
所以，化简得，
即点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
所以的取值范围是，
从而的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】本题考查动点的轨迹的求法以及点与圆的位置关系中的最值问题，对于圆中的弦长问题，注意通过弦心距进行转化，本题属于中档题.
7．
【分析】的几何意义为点与点之间的距离的平方．利用参数方程思想分别考察的轨迹，得到在直角坐标系中，点A在直线上，点B在半径的圆上．利用点到直线的距离公式和圆的性质求得，然后平方即得所求.
【详解】的几何意义为点与点之间的距离的平方．
设，则点A在直线上；
设，则点B在半径的圆上．
如图，在直角坐标系中，
圆心O到直线的距离，
则．
所以P的最小值为．
故答案为：.
8．A
【分析】先根据已知条件求出向量，的夹角，建立平面直角坐标系，设，，设，，，根据线性运算可得，，，结合正弦定理可求出点的轨迹，当三点共线时取得最大值，即可求解.
【详解】因为，所以，可得，
因为，所以，
如图所示：在平面直角坐标系中，，，
不妨设，，延长到使得，则，
点为平面直角坐标系中的点，，则，，
则满足题意时，，结合点，为定点，且，
由正弦定理可得：，可得，
则点的轨迹是以为圆心，为半径的优弧上，
当三点共线，即点位于图中点位置时，取得最大值，
其最大值为，
故选：A.
9．
【详解】设，则，根据面积公式得，①
根据余弦定理得，，
将其代入①式得，
，
由三角形三边关系有，解得，
故当时，取得最大值
考点：解三角形
点评：主要是考查了三角形的面积公式的运用，属于基础题.